著名机构初中数学培优讲义相似的判定第06讲B教师版

1、讲义制作人：王婿老师但三中考要求内容基本要求略局要求较局要求相似了解比例的基本性质，了解线段 的比、成比例线段，会判断四条 线段是否成比例，会利用线段的 比例关系求未知线段；了解黄金 分割；知道相似多边形及其性质； 认识现实生活中物体的相似；了 解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问 题；会用相似多边形的性质解决 简单的问题；能利用位似变换将 一个图形放人或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定 进行简单的推理和计算；会利用 三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似会用相似多边形的性质解决简单问题重难点.相似定义，性质

2、，判定，应用和位似.相似的判定和证明.相似比的转化立课前预习上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以 2,正是赤道的时分度；搭高乘以 10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3. 1415926；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材 内部尺寸，正好是几 千年后希腊数学家华连哥拉斯发 现华连哥拉斯数一一345.数学的趣味是无法言

3、语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘-例题精讲模块一平行线类相似问题平行线类相似的基本模型有?模型一、二类综合题1【例1】 如图，在4ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE 一 AB ,连接EM并延长，交BC 4的延长线于D ,则空CDA【难度】3星【解析】先介绍常规的解法:如图，过点C作DE或AB的平行线均可，不妨以左图为例来说明.过点C作CF/DE,交AB于点F ., AM MC , CF/DE ，AEEF1 AE AB4BFEF CF /DEBCCD时2 EF当然，过点M、点E作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出.以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：看

4、ABC为直线EMD所截，由梅涅劳斯定理可知，AE BD CM iEB DC MApi八 皿BD BC又 AE AB , AM CM ,故324DC CD上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1,先讲变式1再介绍本解法.【巩固】如图， AD是4ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点.AF 1（1）如果E是AD的中点，求证:FC 2 （2）由（1）知，当E是AD中点时，世 1 ”成立，若E是AD上任意一点（E与A、D不FC 2 ED重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明

5、理由.【难度】3星【解析】（1）过点口、E、F作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来解题.以下给出6种辅助线（还有几种没给 出），解题过程不再给出.当然，本题也可由梅氏定理直接得出结果.看 ADC被直线BEF所截，由梅氏定理可得 处 CB 运 1FC BD EAAF 1又 AE DE , BD CD ,故一.FC 2（2）结论依然成立，解法同上（包括用梅氏来解题），不再给出.【答案】（1）见解析；（2）结论依然成立【拓展】如图，在 ABC中,D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O .(1)当任AC(2)当任AC（3）试猜想解答AEECAEAC当ae

6、AC当Ai1 ,. 一时，求23、4 时，AEACAO的值;AD求公O的值;AD时皿的值,AD并证明你的猜想.1 时，AO4 AD工时, n 1AOADAOADAO证明方法比较多,选择两种介绍:如上右图，过点D作DF /BE,交AC于点F . DF/BE, BD CD . EF CF.AE 1AC n 1 DF / /BE1 _ nCE nAE , EF - CE - AE 22,AO AE 2 AO 2OD EF nAD 2另一种解法就是梅氏定理，看ADC被直线BOE所截可知【例2】AODBCEODBCEA, 工AE1 ,而ACCE nAE , BD CD ,AOAD 2AO (1ADAEA

7、CAOADAE1AO2；当-时，-AC4AD5当AEAC如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,直线l平行于及AC的延长线分别相交于点 M、N、R、S和P .求证：PM BD /MSBOPROCCPODPNBDPN且与.型PRODBOBD /MSBOPMAOAPODPSPSPMODBOpnPRPSPMPNPR PSPM点评：本题通过证明原结论的变形式例）来证明他们AEAO时，一n 1 ADAB、DC、BC、ADPR PS两个分式（比例）等于一个相同（或相等）的分式（比【巩固】已知，如图，四边形ABCD,两组对边延长后交于 E、F ,对角线BD / EF , AC的延长线交EF于G .求

8、证：EG GF .【难度】5星【解析】略【答案】证法一：过 C 作 MN / EF 交 AE、AF 于 M , N ,MC EM FN CNBD EB FD BDMC CN，又 MN II EF ,证法二：由塞瓦定理的充分性可得EG FD ABGF DA BEABBEADDF代入上式得EG FD ADGF DA DF1 ,即EG 1 .所以EGGF【巩固】已知：P为 ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边求证：股玉1 DC EBAC、AB 于 D、E ,CBCMCACCNEGAGGFEGGF .【难度】5星【解析】略【答案】延长BD、CE分别交过A的平行BC的直线于R、Q两

9、点, QR / MN / BC ,且 AM BM ,PQ PC,PR PB又 QPRCPBPQR0PCB ,可得 QR BC , AD AR AE AQ 又，DC BC EB BC.AD AE AR AQ AR AQRQ BCCD EB BC BCBCBCBC?模型三类综合题【例3】如图，已知 AB/EF/CD ,若ABCDEF c,求证：-aAB/EF CD/EF两式相加并变形可得,如上图， ABBD,1 1EFDFABBDEFCDBFBD1EF1AB1CDCD1垂足分别为B、D, AC和BD相交于点 E, EF BD ,垂足AB CD EF【解析】【巩固】由 AB BD, CD BD ,

10、EF BD ,则必有 AB/CD/EF .进而可知 变AB -1两式相加并变形可得，EF如图，已知 AB/EF/CD ,1S BED11S ABD S BCD垂足为由变式一， 11可知，EM1AH1AB1CD找出A、1CNS ABD、S BEDE、C分别作DFBdEFCDBFBD，S BCD之间的关系，并证明你的结论CBD的垂线,111 BD EM211 -BD 2AH1-1BD CN2BED1S ABD1S BCD点评：此题的证明过程体现了集中”这一思想,正集中到同一条线段 BD上，从而发CD现它们的和是一个常数【拓展】 如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AD a , BC b,

11、 E , F分别是 AD , BC的中点，AF交BE于P , CE交DF于Q ,求PQ的长。【解析】：方法一：由AD / BC可知,EPPB1生1 aBF lb b2EP a PQabPQ -EB a b BCa b方法二：观察此题与上题颇为相似，于是猜想PQ / /AB / /CD，但是本题中没有可以直接使用基本图形结论的条件，可通过连接EF来实现，设 EF、PQ交于点O.1. AD /BCAP AEDQ DE一 一，PF BFFQ CF. AE DE , BF CF,AP DQPF FQPQ / /AD /BC.OP OF OQ AE EF DEOP OQ （, AE DE,其中正为中间过

12、渡量）EF1.AE/OP/BF1112 2 ab OP OP AE BF a b2(a b)PQaba b如果双向延长PQ分别与AB、CD交于点G、H ,则有GP OP OQ QH模块二 角平分线类相似问题角平分线类的相似模型如下:*方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决.【例4】 在RtABC中，线段CE平分 ACB交AB于点E ,交斜边上的高 AD于点O ,过O引BC的平行线交于F .求证： AE BF .【难度】3星【解

13、析】在相似问题中遇到证明线段相等的问题时一定要能想到：这个证明可能是由两组成比例线段进行等量代换得到.本题由角平分线得到角相等再由都是直角三角形，可证明一组相似三角形得到一AEAC BFAB组成比例线段，再根据平行线分三角形两边成比例得到比例线段，最后 TOC o 1-5 h z ODCDODAD ACABAE BF再根据一组相似三角形得到成比例线段，等量代换得到 ，题目得证CD ADOD ODAE BF .【答案】: CE平分 ACB23CAEs RtACDOAE ACOD CD又 OF II BCBF ABOD AD又,Rt ABDsRDCADAC AB 口 AE BF,即 CD AD O

14、D OD .AE BF注意：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。【巩固】在 ABC中,BAC 120 , AD平分 BAC交BC于点D ,求证:111AD AB AC【难度】3星【解析】解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点D作AB的平行线，由于所给 BAC 120平分之后有两个

15、60的特殊角，可判定 4ADE为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最 后发现问题得证.解法二：分别以 AB,AC为边向外作两个等边三角形，即AABM AACN ,由平分后的角度为CD AD 一 BD AD60,可轻易证明 AD II BM II CN得到两组比例线段 和 ，两者相加后又重新 BC BM BC CN得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证.（本题只给出第一种解法的步骤）过点D作AB的平行线，交AC于点E.BAC 120 ,BADCADBAD CAD60. DE II AB ,【

16、拓展】ADEBAD60 AD AEDE / AB.DE AEAB ACDEDEABCDBCCDBCAEACBDBCBDBC等式两边同除以AD ,则有:1AB1AC1AD如图所示， ABC的三条外角平分线 BE、AD、CF ,与对边所在直线交于E、D、F三点,求证：D、E、F三点共线.本题接触到了一个新的定理叫作梅涅劳斯定理.下面给学生介绍一下这一定理.梅涅劳斯定理：X、Y、Z分别是 ABC三边所在直线 BC、CA、AB上的点.则X、Y、Z共线的充分必要条件是:CX BZ AY , 1 .XB ZA YC根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形:或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而

17、其它两点在三角形的边上；或X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上.CX证明：(1)必要性，即若X、Y、Z三点共线，则 XBBZZAAYYC CX设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c .则CX XBBZZAAYYCCX BZ即得XB ZAAYYC(2)充分性,即若CXXBBZZAAY1 ,则X、Y、Z三点共线.YC设直线XZ交AC于Y ,由已证必要性得:CX BZ AYXB ZA Y C1又因为空区XXB ZA YC1,所以AYYCAYYC因为Y和Y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上,并且能分得比值相等， 所以Y和丫比重合为一点，也就是 X、Y、Z三点共线.梅涅劳斯定理的应用

18、，一是求共线线段的笔，即在CXXBBZ、人工三个比中，已知其中两个可ZA YC以求得第三个.二是证明三点共线.【答案】由外角平分线性质定理可得:BD AB CE，一BC AC EABCABAFFBAC ,所以BCBD CE AFBC EA FBABACBC AC , 1 .AB BC由梅涅劳斯定理的逆定理可得D、E、F三点共线.【拓展】如图,已知证明:A是1OPXOY的平分线上的定点，过点 A任作一条直线分别交 OX、OY于P、Q.1 1、一 ，是定值；求OQ_22OP OQ的最小值Q【难度】6星【解析】略【答案】方法过点A作OA的垂线，分别交 OX、OY于点F、E ,过点P作OY的平行线交E

19、F的延长线于XOAYOA, EFOAOEOFKP / OYKPQEPAAQKPOEPFOF KP PFKPQEPFQEPAAQXOAYOAPAOPAQOQ,pf opQE OQPFOPQEOQOFOPOFPFOPOPOPOE1OE OQOQEQOQOFOP三1OQOFOPOE 2OQOP OQ OE因为A点为定点，故F均为定点,OE为定值，所以1OP1 、一是定值.OQ方法 过 A 作 AM / OY ,交 OXQ Y易证得:AMOM设AMOMa , AM / OYaOQPMOP整理得:OQ OP a 已知A是 XOY的平分线上的定点,a为定值.11为定值.OQ OP因为工2 OP OQ11

20、211()2OP OQ OP OQ，其中Op1 、一 为定值，要使OQ1op21，一2的值最OQ小，则必须使OPOQ的值最小.而 OP OQ (OFPF) (OE EQ) OE2(OEEQ)PFOEEQ PF又Q -EQOPOQ(OEEQ) PFOE EQ OE PF OPEQ(OEOQ)PF当且仅当OP OF,即点P处于点F处时OP OQ有最小值2OE .，1此时12OP OQ,9有最小值当OE2本题的小问归根结底用到的也是拆分,不过它里面结合了角平分线定理”和复杂的比例变换.【例5】 已知 ABC中， BAC的外角平分线交对边AD2BDCD AB AC【难度】5星【解析】略BC的延长线于

21、D ,求证:【答案】在 ABC外作 ABEADB交DA的延长线于点E ,24 ,又 1 BDE,AEBs ADCAE AB一,即 AE AD AB AC ,AC AD由 AEBs ADC 可得： ACD E ,又 ADC BDE ,DACs DBE , DA DE DC DB ,得：DA DE-AE AD=DC DB AB AC AD(DE AD) DC DB AB AC ,即 AD2 BD CD AB AC已知：AD、AE分别为 ABC的内、外角平分线,-2AB2 BM272 ZAC2 CMM为DE的中点，求证:【难度】5星【解析】略【答案】连接AM ,由已知条件可知DAE 90 ,ACM

22、CAD ADC BAD DAC CAM又 AMC AMBAMC s BMA ,AB BMAB AM，AC AMAC CM2AB2 BMAC2 CM课堂检测.如图所示， ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线 BA与EF、FE与CD、DC 与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果AB ： PR CD： RQ EF ： QP ,求证：BC：US DE ：ST FA: TU .【难度】5星【解析】略【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB、CD、EF构成一个与PQR相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB、CD、EF集中到一起构

23、成一个与PQR相似的三角形.如图所示，将CD平移至OE位置，则 OE / CD ,且OE=CD ,所以 FEOQ ,且 EO：QR CD：QR EF：QP ,因此 FEO s PQR ,从而 OFE P ,且 FO ： PR EF ： QP AB ： PR .这说明 FO / AB,且 FO=AB,进而 FA II OB ,且 FA = OB .又因为CO II DE ,于是 COBs STU ,所以 BC：US CO ：ST OB: TU ,注意到 CO DE , OB FA , 故 BC：US DE：ST FA:TU .2.已知AD、AE分别为 ABC的内、外角平分线，求证:112BD B

24、E BC【难度】【解析】【答案】由三角形内、外角平分线性质定理得:AC CDAB BDACABCEBE .CD CEBD BEBE1BCBE ，+, BC BD故BD整理得：BC(BE BD) 2BD BE ,一,一_人,-112两边同除以BC BE BD得BD BE BC遍系总结复习1.通过本堂课你学会了 2,掌握的不太好的部分 3.老师点评：课后作业1.如图，在直角 4ABC中（C 90）,放置边长分别3,4, x的三个正方形，则 x的值为【难度】3星【解析】根据已知条件可以推出 CEF sOMEPFN然后把它们的直角边用含 x的表达式表示出来,利用对应边的比相等，即可推出x的值.【答案】

25、7,在直角 ABC中（C 90）,放置边长分别3,4, x的三个正方形,，根据CEF sOMEsPFN ,OE OMPN PF. EF x, MO 3,PN.OE x 3,PF x4,3x412,2.如图，在0 （不符合题意,舍去），xABC中，M是AC的中点,E是AB上一点，且AE1-AB,连接 4EM并延长，交BC的延A. 1BLi/的长为（CD).C.【解析】先介绍常规的解法:如图，过点C作DE或AB的平行线均可,不妨以左图为例来说明.过点C作CF/DE ,交AB于点F . AM MC , CF/DE . . AEEF1 AE AB 4BFEF CF /DE更CDBFEF当然，过点M、点

26、E作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出.以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：看ABC为直线EMD所截，由梅涅劳斯定理可知，AE BD CM 1EB DC MA1一 BD BC又 AE -AB, AM CM ,故324DC CD上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1,先讲变式1再介绍本解法.【答案】B3.如图1, 4ABC中，AI,BI分别平分 BAC, ABC. CE是4ABC的外角 ACD的平分线，交 BI延长 线于E ,连接CI .4ABC变化时，设 BAC 2 .若用 表示 BIC和 E,那么 BIC =, Z E=;(2)若AB 1,且4ABC与AICE相似，求相应 AC长；(3)如图2,延长AI交EC延长线于F .当 ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与 4A旧 相似？写出这些三角形，并选其中之一证明.图1图2【难度】3星【解析】(1)根据三角形内角与外角的关系可以用表示 BIC和 E ;(2) ABC与 ICE相似，根据题意知ICE 90,可分三种情况讨论并求出相应AC长;(3)共三对 EIF.ECB,AC