21.3实际问题与一元二次方程(教师版)

1、 21.3实际问题与一元二次方程二同步讲解新课堂知识点1传播/传染问题传播/传染模型1最初传播源在以后每一轮仍然传播问题（病毒感染类）方程模型：传播源X（1+每轮传播人数X）2=最终传染人数传播/传染模型2最初传播源在以后每一轮不再传播问题（数值分叉类）方程模型：传播源+传播源X每轮传播人数+传播源X每轮传播人数X每轮传播人数=最终传染人数知识点2平均增长率（降低率）问题平均增长率问题模型1最后产量是b表示不累计的量方程模型：原数X（1+平均增长率）2=新数即Q（l+X）2=b（A表示增长前的原数，b表示增长后的新数，X表示平均增长率）（注意：解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题）2

2、平均增长率问题模型2最后产量是b表示总共累计的量方程模型：原数+原数X（1+平均增长率）+原数X（1+平均增长率）2=新数即A+A（l+X）+A（l+X）2=b（A表示增长前的原数，b表示增长后的新数，X表示平均增长率）平均降低率模型原数X（1平均增长率）2=新数即a（1X）2=b（A表示增长前的原数，b表示增长后的新数，X表示平均降低率）（注意：1与X的位置不能调换，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题）知识点3比赛/握手/增贺卡/发微信/问题单循环比赛/握手模型方程模型：总人数x（总人数-1）_总次数2心双循环比赛/互赠贺卡模型方程模型：总人数x（总人数-1）=总次数知识点4营销

3、利润问题（每每型问题）1方程模型：总利润=（售价一进价）X销售数量题干中已知量为进价a元，原售价b元，销量m件，销量随售价提高（降低）元而减少（增加）c件，获得利润w元.（1）若设提（降）价x元，方程模型为:cxTOC o 1-5 h z提价减销量：(b+xa)(m)=wdcx降价提销量：(bxa)(m+)=wd（2）若设售价x元，方程模型为：xb提价减销量：（xa）mc（）=wdbx降价提销量：（xa）m+c（）=wd（3）题干中已知量为盈利a元，销量m件，销量随售价提高（降低）d元而减少（增加）-cxc件，获得利润w元设提（降）价x元，方程模型为：（ax）（m+）=wd（要注意题设中“在顾

4、客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息）知识点5几何图形面积问题（1）阴影部分面积几何模型（空白部分宽均为X）Q；厅La广匚方程模型：（a2x）（b2x）=阴影部分面积几何模型（阴影部分宽均为X）方程模型:ab-（a-x）（bx）=阴影部分面积知识点6篱笆围墙问题1无缺口型的篱笆围墙问题（设垂直墙面长X）方程模型：（篱笆总长一垂直墙面长X个数）X垂直墙面长=矩形面积2有缺口型的篱笆围墙问题（设垂直墙面长X）方程模型：（篱笆总长+所有缺口长一垂直墙面长X个数）X垂直墙面长=矩形面积一考点梳理新认知考点1传染问题例1有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感（

5、1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？【答案】见解析.【解析】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染X个人，根据题意得：1+x+x&+1）=81,整理，得：x2+2x-80=0,解得：X=8,x2=-10（不合题意，舍去）.答：每轮传染中平均一个人传染8个人（2）81+81X8=729（人）.答：经过三轮传染后共有729人会患流感考点2树枝分叉问题例2某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【答案】见解析.【解析】解：设每个支干长出的小分支的数目

6、是X个，根据题意列方程得：1+x+x2=91,解得：x=9或x=-10（不合题意，应舍去）；.x=9；答：每支支干长出9个小分支考点3平均增长率问题（不累计增长量）例3互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿（1）求平均每年增长率；（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由（参考数据：v21.414）【答案】见解析.【解析】解：（1）设平均每年增长率为X，依题意，得：4.5（1+x）2=9,解得：X=0.414=41.4%,x2=-2.414（舍去）.答：平均每年增长率为41.4%（2）9X（1+41.4%）217

7、.995（亿）.T7.99517,A2020底全球支付宝用户数会超过17亿.考点4平均增长率问题（累计增长量）例4某公司一月份营业额为100万元,第一季度总营业额为331万元,问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？【答案】见解析.【解析】解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是x.根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331,解得X=0.1，x2=-3.1（不合题意，舍去）.答：该公司二、三月份营业额平均增长率是10%考点5单循环比赛/握手问题例5我校九年级组织一次班际篮球赛，若赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则需安排45场比赛问共有多少个班级球队参加比赛？答

8、案】见解析.【解析】解：设共有x个班级球队参加比赛,根据题意得：x(x-1)2=45整理得：x2-x-90=0，即（x-10）（x+9）=0,解得：x=10或x=-9（舍去）.则共有10个班级球队参加比赛考点6双循环比赛/互赠贺卡、礼物问题例6新年到了，班上数学兴趣小组的同学互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共送了210张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？【答案】见解析.【解析】解：设数学兴趣小组的人数为x人.根据题意，得x&-1)=210,解得x=15或x=-14(不合题意，应舍去).答：数学兴趣小组的人数为15人考点7营销利润问题例7商场某种商品平均每天可销售30件

9、，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元(用含x的代数式表)；在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【答案】见解析.【解析】解：(1)当天盈利：(50-3)X(30+2X3)=1692(元).答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元7每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利(50-x)元.故答案为：2x

10、；50-x根据题意，得:(50-x)X(30+2x)=2000，整理，得：x2-35x+250=0，解得：x1=10，x2=25，7商城要尽快减少库存，x=25答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元例8某汽车专卖店经销某种型号的汽车已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆(1)当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润(2)若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价【答案】见解析.【解析】解：(1)由题意，可得当售价为22万元/辆时，25

11、22平均每周的销售量是：0亍X1+8=14,则此时，平均每周的销售利润是：(22-15)X14=98(万元)；(2)设每辆汽车降价x万元，根据题意得：(25-X-15)(8+2x)=90，解得x1=1，x2=5，当x=1时，销售数量为8+2X1=10(辆)；当x=5时，销售数量为8+2X5=18(辆)，为了尽快减少库存，则x=5，此时每辆汽车的售价为25-5=20(万元)，答：每辆汽车的售价为20万元考点8旅游花费问题例9为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：(1)如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；(2

12、)如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】见解析.【解析】解：T100X30=300080，符合题意；当x=45时，人均旅游费用为100-2(45-30)=7020，因此不合题意舍去，答：道路为lm宽例11如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行道的宽度相同，则人行道宽为多少米？18米【答案】见解析.【解析】解：设人行道的宽度为x米(0VxV3),根据题意得：(

13、18-3x)(6-2x)=60，整理得，(x-1)(x-8)=0.解得：x1=1，x2=8(不合题意，舍去).即：人行道的宽度是1米.考点10篱笆围墙问题例12如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）用砌60米长的墙的材料，当矩形的长AB为多少米时，矩形花园的面积为300平方米.DF【答案】见解析.1【解析】解：设矩形花园BC的长为X米，则其宽为2（60-X+2）米，依题意列方程得:12（60-x+2）x=300,x2-62x+600=0，解这个方程得：X1=12，X2=50，.28V50,.x2=5

14、0（不合题意，舍去）,.x=12.答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米.考点11动态几何问题例13如图，在ABC中，ZB=90,AB=6,BC=8.点P从点A开始沿边AB向点B以lcm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.设P、Q分别从从A、B同时出发，运动时间为当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动解答下列问题：（1）经过几秒，PBQ的面积等于8cm2?（2）是否存在这样的时刻/,使线段PQ恰好平分QABC的面积？若存在，求出运动时间若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）设经过x秒，APEQ的面积等于8cm2则

15、：BP=6-x，BQ=2x,1所以SZpbq=2X（6-x）X2x=8，即x2-6x+8=0,可得：x=2或4，即经过2秒或4秒，APEQ的面积等于8cm2.（2）设经过尹秒，线段PQ恰好平分QABC的面积，QPBQ的面积等于12cm2,1SQPBq=2x（6-y）x2y=12，即y2-6y+12=0，因为Q=b2-4ac=36-4x12=-12V0,所以QPBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分QABC的面积.二分层巩固新空间1永辉超市以每袋25元的成本价收购一批桂圆，当桂圆售价为每袋40元时，一月份销售256袋。二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份销

16、售量达到400袋。设二、三这两个月月平均增长率不变。求二、三这两个月的月平均增长率；从四月份起，该超市采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该桂圆每降价2元/袋，销售量就增加10袋，当桂圆每袋降价多少时，永辉超市四月份获利4250元？【答案】见解析.【解析】解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x,根据题意可得：256(1+x)2=400，19解得：x1=4，x2=4(不合题意舍去).答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；(2)设当每袋降价m元时，根据题意可得：(40-25-m)(400+5m)=4250,解得：m1=5，m2=-70(不合题意舍去).答：当每袋降价5元时，获利425

17、0元2商场某种商品平均每天可销售30件，每件成本50元，售价100元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价5元，商场平均每天可多售出10件，设每件商品降价x元.据此规律，请回答：商场日销售量增加件，每件商品盈利;(用含x的代数式表示)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？【答案】见解析.【解析】解：(1)商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50-x)元，故答案为：2x、(50-x)；(2)根据题意可得(30+2x)(50-x)=2100，解得：x=15或x=20，该商场为了尽快减少库存，降的越多，越吸引顾客，选

18、x=20,答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件，据此规律，请回答：商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？【答案】见解析.【解析】解：设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元.则每件商品比50元高出(x-50)元，每件可盈利(x-40)元，每日销售商品为500-10X&-50)=1000-10 x(件).依题意得方程(1000-10 x)(x-40)=8000，整理，得x2-140 x

19、+4800=0,解得x=60或80答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？若宾馆某一天获利10640元，则房价定为多少元？【答案】见解析.【解析】解：(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为(180+40-20)40X(50-10)=9200元；a180(2)设每个房间的定价为a元，根据题意，得：(a-20)(

20、50-仍)=10640，解得：a=300或a=400，答：若宾馆某一天获利10640元，则房价定为300元或400元.5.随着“十一”小长假的来临，某旅行社为了吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：若某单位组织员工去古城旅游，预计将付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共如果人数不超过25人，人均匹游费用天1000元如果人数超过笳人，每増加1人,人均旅游裁用降低加元，旦人均旅游费用不得底于700元有多少员工去古城旅游？答案】见解析.【解析】解：25X1000V27000,化人数应该大于25，设共有x名员工去古城旅游.1000-(x-25)X20Xx=27000解得x=30或x=45

21、，当x=45时，付费单价为1000-(x-25)X20=600700.答：共有30名员工去古城旅游6.如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD.（1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2?（2）能围成总面积为240m2的长方形花圃吗？说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）设AB的长是x米，则BC的长为（48-3%）米，根据题意列方程得，x（48-3x）=180，解得X=6,x2=10，当x=6时，48-3x=3025，不符合题意，舍去；当x=10时，48-3x=18V25，符合题意;答：当AB的长是

22、10米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2(2)不能，理由如下：同(1)可得x(48-3x)=240,整理得x2-16x+80=0,=(-16)2-4x80=-64V0,所以此方程无解，即不能围成总面积为240m2的长方形花圃.7如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的边留1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，面积为80m2?住房墙【答案】见解析.【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+l)m,由题意得x(25-2x+l)=80，化简，得x2-13

23、x+40=0，解得：旺=5,x2=8，当x=5时，26-2x=1612(舍去)，当x=8时，26-2x=10V12,答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米?【答案】见解析.【解析】解：设小路的宽应是x米，贝9剩下草总长为(32-2x)米，总宽为(15-x)米，由1题意得(32-2x)(15-x)=32X15X(1-),即x2-31x+30=0,解得：x1=30，x2=1，T路宽不超过15米，.x=30不合题意舍去,答：小路的宽应是1米

24、社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道已知铺花砖的的面积为640平方米（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？【解析】解：（1）设甬道的宽为x米，根据题意得：（52-2X）（28-力）=640，解得：x=34（舍去）或x=6，答：甬道的宽为6米；（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400

25、元，根据题意得：a（200+a）（64-10）=14400，整理，得a2-440a+16000=0，解得：a1=400，a2=40，答：每个车位的月租金上涨400元或40元时，停车场的月租金收入为14400元读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？【答案】见解析.【解析】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.由题意得；10（x-3）+x=x2，解得：X=5,x2=6，当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去当x=6时，周瑜

26、年龄为36岁，完全符合题意答：周瑜去世的年龄为36岁二同步检测新导向(2019春阜阳期中)今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数【答案】见解析.【解析】解：设每轮传染的人数是x人，根据题意得：4x+4+(4x+4)x=196,解得：x=6或x=-8(不合题意，舍去).答：每轮传染的人数是6个人(2019春全椒县期中)某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件假设四、五两个月销售量的月

27、平均增长率不变.求四、五两个月销售量的月平均增长率；从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？【答案】见解析.【解析】解：(1)设四、五月份销售量平均增长率为x,则128(1+x)2=200解得X=0.25=25%,x2=-2.25(舍去)，所以四、五月份销售量平均增长率为25%；设商品降价m元，则(40-m-25)(200+5m)=2250解得m1=5，m2=-30(舍去)，所以商品降价5元时，商场获利2250元(2019春香坊区校级期中)六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个

28、月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？【答案】见解析.【解析】解：(I)设销售单价应定为X元，由题意，得(X-40)500-10&-50)=8000,解得x1=60,x2=80,尽可能让利消费者，口%=60.答：消费单价应定为60元.设销售单价定为a元，由题意，得40500-10(a-50)75,答：销售单价至少定为75元.(2019春宣城市期末)一个小服装厂生产某种

29、风衣，售价P(元/件)与日销售量X(件)之间的关系为P=160-2x，生产x件的成本为人=500+30 x元.该厂的日销售量为多大时，获得的日利润为1500元？【答案】见解析.【解析】解：依题意得，(160-2X)X-(500+30X)=1500，-2X2+130X-500=1500，.x2-65x+1000=0,.*.(x-40)(x-25)=0,解得X1=40，X2=25；.当日产量为40或25件时，月获利为1500元.(2019春淮南龙湖中学期期末)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角AD,DC(两强足够长)用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两

30、边)，设AB=xm,若围成的花园面积为192m2，求x的值.【答案】见解析.【解析】解：.AB=xm,则BC=(28-x)m,.X(28-X)=192,解得：X1=12,X2=16,答：x的值为12m或16m.（2019春包河区期中）合肥市某小区有一块长12米、宽6米的，计划在其中修建两块矩形空地相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有【解析】解：设小路的宽度为x米，根据题意得，（12-3x）（6-2x）=36，解得X=1，x2=6（不合题意，舍去）.答：小路的宽度为1米（2019春庐阳区期末）某农场要建一个饲养场（矩形/ECD）两面靠现有墙C4D位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米.（1）饲养场另一边BC=米（用含x的代数式表示）.（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：（48-3x）米.故答案是：（48-3x）；（3）由题意得：x（48-3x）=180，解得x1=6，x2=10，.0W483xW27,0WxW15,7WxW15,.x=10.（2018年淮南