高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析n

1、高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3, 4, 5,且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ()A. 25nB. 50 71C. 125nD ,都不对【答案】B【解析】 如图所示，设球的半径为 R,则球的直径二十炉+交_50所以球的表面积【考点】外接球的表面积求法. 一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是.【答案】2【解析】 设底面圆的半径是 r,周长为c,圆柱的高(即母线)为h,圆柱侧面积=cxh=2jt rxh, 圆锥侧面积=c冲+2= (2jtrXD会 所以，圆柱侧面积比圆锥侧面积=2: 1【考点】圆柱和圆锥的底

2、面积.如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB = 2 , BB = BC = 1, E 为 D1C1 的中点，连结 ED ,EC , EB 和 DB .求证：EDL平面EBC ;求三棱锥E- DBC的体积.【答案】见解析；(2)心的W【解析】易得ADD R为等腰直角三角形 =DE，EC, BCL平面乌k*今BC，DE ,所以DEL平面 EBC =平面 DEB，平面 EBC .(2)需要做辅助线，取 CD中点M,连接EM=EV II匚孰面DCB EAf _而X(这个证明很关键)，然后根据公式= 2 .33 23试题解析：(1)在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB = 2,

3、 BB1 = BC = 1, E 为 D1C1 的中点. ADDE为等腰直角三角形，/D1ED = 45.同理/C1EC = 45.-DEC班,即 DE XEC .在长方体ABCD 一片耳CA中，BC，平面DQCC,又DE u平面鼻办CQ ,BCXDE ,又文克=C,.DE，平面EBC ,又纯二面口包E为DiCi的中点，ii。生，且 rv = ec： = i,又於 DCB /: .一 .，一 【考点】线面垂直，三棱锥的体积4.如图所示，在四棱锥 尸-仙 中，一石，平面总必，.如；8 ,?办=_必，石是尸9的中点，F是8上的点且, FH为己切中 切边上的高（1）证明：FH_L平面 J3CD;若阳

4、=1,皿= , FC = 1，求三棱锥E3（?广的体积;（3）证明：F_平面0.【答案】（1）见解析；（2）体积Fl三见解析5皿 12【解析】 试题分析：（1）利用线面垂直的判断定而证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式厂=酬求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直3的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算 .试题解析：（1）证明：因为.密人平面X山，所以因为为 F.翅中.狂）边上的高,所以,。因为

5、 10 -A ,所以所_L平面.笛匚口。4 分（2）连结3,取2月中点仃,连结EG 因为E是行的中点，所以EG mo 因为PK_L平面ABS ,所以E5_L平面超8。则 -一. 一八-j1,m 3EF:上J Z8分（3）证明：取巴4中点H,连结30,鼠E因为e是尸h的中点， 所以.1加Lb。因为DF ? 20 所以,所以四边形政下是平行四边形,所以 因为 因为 所以 因为 所以EF.,/助。叩二.山， 所以D_Fd。AH，平面必，AID 一。EdflHBta, 所以.KD_L平面 上切,EF_L 平面【考点】（1）空间中线面垂直和平行的判定（13 分2）几何体的体积.5.平面拿截球O的球面所得

6、圆的半径为1,球心O到平面a的距离为忑，则此球的体积为（）D. 6百几【解析】球的半径为# =_一（二=道,所以球的体积为了 = 3 【考点】球面的简单性质，球的体积6.直三棱柱各侧棱和底面边长均为。，点Q是CC1上任意一点，连接42好的体积为（）A. ”6C.脑12D. 学X 【解析】如图，正三棱柱AHCAB中，ASAA = a .【考点】三棱锥的体积.7.如图，一个底面半径为 R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为高度恰好升高=,则r的实心铁球，水面【解析】由题知半径为r的实心铁球的体积和水面上升的体积相等，即R 2(A. 60+12 亚30+6 B . 56+ 12 J28+6 ,

7、 一【答案】C【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：丸=10 ,S-=W , 后,因此该几何体表面积 一3*545黑-5一30 + 6、弓，故选C。【多点】三视图与几宿体的关系点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力.亿 如图，在棱长为 1的正方体 业8 %选J马中.(1)求异面直线与三所成的角；(2)求证平面jca：，平面卒/户.【答案】(1) 6廿(2)先证AC _面即可得证D(1)如图，口5/2芝，则口泻C就是异面直线B口与耳亡所成的角.连接乌C,在中，S

8、声：-毁,则151c =婚，因此异面直线 了D与喀所成的角为(J0.(2)由正方体的性质可知叫一曲C,故叫_1_/白，又 正方形 中，E 口 = HC1 直用鼻口3 ;又AC u平面平面 国口平面华丹,【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离.点评：本题考查的知识点是向量语言表述直线的垂直关系，用空间向量求直线间的夹角，其中解 法一（几何法）的关键是熟练掌握空间线面关系的判定、性质及相互转换；解法二（向量法）的关键是建 立恰当的空间坐标系，将空间线面关系问题转化为向量夹角问题.两个球的体积之比为那么这两个球的表面积的比为 .【答案】【解析】因为已知中两个球的体积

9、之比为E： 2.，可知其半径比为 2: 3,那么结合球的表面积公式可知其面积的比值为 4: 9,故答案为4: 9【考点】本试题考查了球的表面积和体积知识。点评：对于球的表面积公式要理解表面积的比值就是半径平方的比值，体积的比值，就是球的半径立方的比值，那么根据已知题意得到半径的比是解决该试题的关键。属于基础题。 TOC o 1-5 h z .四面体的五条棱长都是 2,另一条棱长为 1,则四面体的体积为（）A.2B. 卢C.亚D.亚3612【答案】C【解析】根据已知题意可知四面体的五条棱长都是 2,另一条棱长为1,那么说明了设以 1为棱长所在的平面 ABC,另外的 顶点为D,则设AB=1 ,取A

10、B的中点E,那么连接 DE,CE,则可知AB垂直平面 CDE ,那么可知 将所求的体积分为两个同底面的三棱锥的体积和，高为土，底面CDE的面积，利用已知的边长和7 一等腰三角形的性质，可知其高为叵,底边为2=CD ,那么则四面体的体积为11，市收X xl = 3 226,最选C.【考点】本试题考查了四面体的体积知识。点评：解决该试题的关键是利用已知的边的长度找到一个棱的垂面，然后将所求的几何体转换为有确定形状的几何体的体积来求解，这是问题的核心，也是入手点，属于中档题。20.（本小题满分12分）如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC中点，且（1）求证：匚

11、5_百35。；（2）求直线BD与面A CD所成角的大小.【答案】（1）;BD是底面圆直径， 8上50，又.打工面占？，面8 , AE-CD , 从而8_1_面ABC （2）郑【解析】（1）证明：BD是底面圆直径，.CDBC,2 分又.一面8CD, CDu面38, . AB-CD ,4分（2）连接DE,由（1 ）知 BE，D又E是AC中点，二乙山C 90。 TOC o 1-5 h z 则5E_TC,所以，8E1面dB. 7分于是，直线BD与面A CD所成角为, 9分而E_面as,则比_即,即心切为直角三角形.又一岳则 bd=n而RE=点，所以乙ffDE-30 12分【考点】 本题考查了圆柱中线面

12、关系点评：空间几何体中的线面角一般都是利用定义作出角，然后再直角三角形中求出即可A. 48+12 依B . 48+24C . 36+12D . 36+24一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位:【答案】A【解析】由三视图知，这个几何体是三棱锥，它的底面是两直角边都为6的直角三角形，另两侧面是底为6、高为5的三角形，剩下一个侧面是底为63、高为4的三角形，结合三角形面积公式二得，三棱锥的表面积 与3后5-23外口，艮4=二第+此点【考点】 三视图；几何体的表面积。点评：给出几何体的三视图，进而求出其表面积或体积是一类题目。本题为基础题。12分）求一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴

13、截面为正三角形）的三个体积之比。【答案】一-. o【解析】设球的半径为 R,则外切圆柱的半径为 R,高为2R;外切等边圆锥底面半径为6尺，高为3R ,所以 ,，, 一上旗,事=；点上:七:飞【考点】本题考查空间几何体的体积。点评：本题的关键是由球的半径求出外切圆柱、外切等边圆锥的半径和高。考查了空间想象力23.、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.【答案】 因为卜）士斤霜= ;士4 5% 2bl隼犷）1二=二/梃=上T+ H 241 &制）2 32 33-因为_所以，冰淇淋融化了，会溢出杯子.【解析】 本题考查球的体积，

14、圆锥的体积，考查计算能力，是基础题.根据题意，求出半球的体 积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即可得答案.解：因为-2 -3*33因为一 %匚-电a *5所以，冰淇淋融化了，会溢出杯子.24.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分A. 6B. 36别为2、3、6,则它的体积为C. 714D. 2相【答案】A【解析】设长方体的长范|Wj为凡瓦，则二1皿=瓦二日=3=1|W = W 1心=6 25.（本小题满分 14分）右图为一简单组合体，其底面 ABCD为正方形，尸口_|_ 平面 ABCD, EC FD ,且 2 s - 2EC =2.（1）求证：BE,平面PDA ；（2）求四棱锥 B-

15、CEPD的体积.【答案】（1）见解析；（2） 2.【解析】 取PD的中点F,证明四边形 AFEB为平行四边形即可.根据体积公式求出四边形 PDCE的面积，高BC的长即可. TOC o 1-5 h z 证明：法1 :取PD的中点F,连接EF、AF ,则ECFD 1分四边形EFDC是平行四边形，町女.3.DC3 分四边形EFAB是平行四边形-.3E ;AF 4分她工平面U.M七平面二她/平直Ml 6分法2:E匚FD，阳匚平面DW，ECH平面. EC/平面曲,2分同理可得 BC/平面产0a 3 分, EC 匚平面 EBC,BC 二平面 EBC 且 EgM二 C:平面诋/平面尸口45分又BE 二平面

16、EBC BE/ 平面 PDA 6分丁产口 _L平面AS8 ,尸D匚平面PDCL:平面平面ABCD 8分 3C1CD BC，平面 PDCE 1 分S.T -iPDEC） DC = 伊工四棱锥B-CEPD的体积七.注口二:占/子.片二:丁三丫之二之14分26.已知圆锥的表面积为 9皿？,且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为A. 也.B. 3万8C . DemD .（）【答案】C【解析】解：煦说=击3=.侧面展开图是半区 则2m=用 =，=忑1cm ,根据图27. 16用一个边长为 力的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个鸡蛋蛋巢, 将表面积为4弦的鸡蛋（视为球体）放入其中

17、，则鸡蛋中心（球心）与鸡蛋巢底面的距离为解：正囚面律.正方才生惊佚与善边圆af值面直&艰相等片叵柱）的亮”炉的百G和相等说为：捌怔四面林的襄硝为:ix手内打4收正才体的声能力尊起弱柱的会面枳为：日工饷=3可在录面也才11rx迪工孥球正四面伟嘘醐量小： TOC o 1-5 h z 29.设正方体的全面积为 如产，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）A.乐五城B . C-C .延后D .【答案】D【解析】 设正方体的边长为 x,则船： = ,，解得工二与。因为；v0,所以工二之。而内切于正方体的球的球心为正方体的中心，其直径为正方体边长2,所以球体积为3落二=五，故选D HYPERLINK

18、 l bookmark4 o Current Document 3330.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A. |二5.1B . SO*C. |E5tD.都不对【答案】B【解析】长方体的8个顶点都在同一球面上，则该球是长方体的外接球。可知长方体的外接球球 心在长方体的中心上，且长方体的体对角线是其外接球的球直径，由已知的棱长可知长方体的体对角线长为 厅d3一s志,所以其外接球球半径 点二工心，从而可得球的表面积为$=我相=505，故选B31. （10分）如图，这是一个奖杯的三视图，（1）请你说明这个奖杯是由哪些基本几何体组成的；（

19、2）求出这个奖杯的体积（列出计算式子，将数字代入即可，不必求出最终结果） TOC o 1-5 h z 【答案】（1）该奖杯由一个球、一个直四棱柱、一个四棱台组成.（6分）（2）由三视图可知，球的直径为 4cm ；直四棱柱的高为20cm ,底面长为 8cm ,底面宽为 4cm ；四棱台的高为 2cm,上底面长为12cm、宽为8cm,下底面长为 20cm、宽为16cm. （9分） 所以，所求奖杯的体积为- =:加8x420+ : 口2 乂 8+侬加4 m而陪西卜 2-.31【解析】略.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是日山，那么圆柱的体积等于（）A.B .C . 4HD .1而【答案】B【解析】设

20、轴截面的正方形的边长为则该圆柱的底面半径为 口，高为二口，因为圆柱的侧面积是，不，所以 . .,. 一 一，所以匚花mF k 2 =京。.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC ,它的表面积.【答案】-【解析】略.长方体的一个顶点上三条棱长分 别是:且它的弓个顶点都在同一球面上，则这个球的表 面积是（）A.二次B. /工C.乐D.都不对【答案】B【解析】略.若一个球与棱长为 a的正方体的各条棱都相切，则这个球的体积为 TOC o 1-5 h z 【答案】一J-【解析】略.设长方体的长、宽、高分 别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A . 3怔B . 6出？C

21、 .D .u：【答案】B【解析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R） 2=6a2,代入球的表面积公式，S球=4nR2,即可得到答案解：根据题意球的半径R满足（2R） 2=6a2,所以 S 球=4TtR2=6Tta2.故选B.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3,对角线长为卜信，则这个长方体的体积为（）A. 6B . 12C. 24D . 48【答案】D【解析】【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题.分析：先设出长方体的长宽高，然后根据对角线求出长宽高，最后根据

22、长方体的体积公式求出所 求即可.解答：解：,长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3,设三条棱长分别为 k, 2k, 3k则长方体的对角线长为.1. 一 . =k / 1 =2 J ）k=2长方体的长宽高为 6, 4, 2这个长方体的体积为 6 M 2=48故答案为：48应选D点评：本题主要考查了棱柱的对角线以及体积的求解，需熟练掌握有关公式，属于基础题.38.（本小题13分）一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为2m、高为4m的圆柱形物体，上面是一个直径为2m的半球形体，如果每平方米大约需要鲜花200朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（笈取3.1 ） ?【答案】6200解；圆槎形

23、物体的侧面面积冬工。小T战唱分半球勒物雄的表面积是51工二（ ）. 分【解析】所以$ + 5：鼠）.31X300=6300 f条）.if.我分 瑞1兼临电子莅柱大妁森要日在靠花.-3分39.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A、：5芷； 右、击足； 。、125.E； D、都不对。【答案】B【解析】略40.已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为90半径为4的扇形，则圆锥的体积为 【答案】打几 i【解析】略41. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为底面周长为3,那么这个球的表

24、面积为（B. 4C.3【答案】B【解析】略42.已知边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为间，棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为:【答案】 3【解析】略心,推广到空 143.圆锥的底面半径是 3,高是4,则它的侧面积是（）【答案】B【解析】略44.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4 ,体积为1 6,则这个球的表面积是（A.l 67tB.20tiC . 2 4 dD.32ti【答案】C【解析】略.全面积是的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A.B. 2mC. KgD.养血【答案】B【解析】略.已知各顶点都在一个球面上的正方体的体积为8 ,则这个球的表面积是（）A.阮B .C. 16TD .【答案】B【解析】设正方体的边长为 白，由/ =,g解得：1a = ?,又因为：正方体的外接球的球心在其对角线 的中点，半径为正方体的体对角线，所以此正方体的外接球的半径为：R =1-7?+? J，1两-枢,所录球的表面积为：41T=4巾13 = 12,工，故选择B.【考点】1.正方体的体积公式;； 2.H方法的外接球；3.球的表面积.圆台的上，下底面积分 别为胃.4F，侧面积为6T，则这个圆台的体积是 一【答案】、-3【解析】由题意可知，圆台上底面的半径为 1,下底面的半径为 2,设母线