新高考数学模拟卷分类汇编三期专题12《立体几何》解答题(解析版)

1、专题12 立体几何解答题1（2021广东广雅中学高三月考）如图，正方形的边长为2，的中点分别为C，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，.（1）证明:当时，求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）当时，点是的中点，因为，所以，又，所以，所以，因为，所以平面，平面所以，且，所以平面；（2）因为，两两互相垂直，所以以点为原点，以，作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图，平面，所以向量是平面的法向量，设平面DBC1的法向量，所以，即 ，令， ，所以平面DBC1的一个法向量，所以二面角的余弦值是2（2021江苏海安高级中学高三期中）已知在四棱锥P-ABC

2、D中，底面ABCD是矩形，AD =2AB，PA平面ABCD，E为线段BC上一点.且平面PDE将四棱锥P - ABCD分成体积比为3：1的两部分.（1）求证：平面PDE平面PAE；（2）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：平面，即，为的中点，由，得，又是矩形，则，同理：，则，面，面，而，面，由面，面面.（2）依题意，建立空间直角坐标系如下图所示，不妨设，又平面，即为与平面所成角的平面角，故，则，由（1）知：面的一个法向量，设是平面的一个法向量，而，令 ，故，则锐二面角的大小为.3（2021江苏扬州中学高三月考）如图所示，在三棱

3、锥中，平面，分别是，的中点，与交于点，与交于点，连接.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为，分别是，的中点，所以，.所以.又平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.又，所以.（2）在中，所以.又平面，所以，两两垂直.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.所以，.设平面的一个法向量为，由，得取，得.设平面的一个法向量为，由，得取，得.设二面角为，由图象知二面角为锐角，则.4（2021江苏苏州中学高三月考）如图，在四棱锥中，平面，.（1）求证：平面平面；（2）若点M为的中点，点N为线段上一动点，求

4、直线与平面所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】（1）设的中点为，因为，所以，因为，所以，所以三点共线，所以，因为平面，平面，所以,因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）以所在的直线分别为轴、轴，过点点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，因为为的中点，所以，由点N为线段上一动点，设，则，所以所以，由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角，则，又由因为，当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为，所以，可得，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围.5（2021南京市中华中学高三月考）如图，在四棱锥P-ABCD中

5、，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=，BC=，PA=1.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=，BC=，可得ABC是等腰直角三角形，即ABAC，因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB，又PAAC=A，故AB平面PAC，又PC平面PAC，所以ABPC.(2)取BC的中点E，连接AE，则AEBC，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，

6、故，设，易得，点为，所以，设平面的法向量是，则，令，则，则可取，又是平面ACD的一个法向量，故，解得，即点M是线段PD的中点.此时平面MAC的一个法向量可取，设BM与平面MAC所成的角为，则.6（2021湖南湘潭高三一模）如图，在三棱锥中，底面，（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）60【解析】（1）因为底面，所以，又，所以，又，为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）解法一：由（1）可知，为二面角的平面角，所以，又，所以，过点作于，则平面且为中点，连接，则为直线与平面所成的角，在中，所以，故，所

7、以直线与平面所成的角为60解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得，设，（），则，因为，所以，解得，所以，故，设平面的法向量为，因为，由，得，令，则，所以为平面的一个法向量，所以，故直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为607（2021湖北襄阳四中高三月考）如图，在三棱柱中，平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：在三棱柱中，平面，因为平面，故，同理.因为，故四边形为菱形，故.因为，故，平面，平面，平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，

8、取，得，点在线段上，且，点在线段上.设，则，即，解得，平面，解得.的值为.8（2021河北沧州高三月考）如图，在四棱锥，平面，.（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以.连接.因为，所以，得，又，所以，即.因为平面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由（1）知平面，以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，设，则，.设平面的一个法向量为，则得所以.令，得，所以.设平面的一个法向量为，则得所以，得

9、，所以.则，即平面与平面夹角的余弦值为.9（2021广东珠海高三月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：底面，平面，由于底面为长方形，而，平面，平面，为的中点，平面，又，平面（2）由题意易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，可得，设，则有，设平面的法向量，由，则令，则，-由（1）平面，为平面PBC的法向量，设二面角为，由图知二面角为锐角则-所以二面角的余弦值为10（2021广东佛山一中高三月考）如图，在三棱锥中，、分别是线段、的中点，二面角的

10、大小为（1）证明：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1），为的中点，则，又因为为的中点，则，且，则，则，平面，平面，因此，平面平面；（2）平面，平面，平面，则，所以，二面角的平面角为，所以，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，则，取，可得，因为，所以，因此，直线和平面所成角的正弦值为.11（2021广东省深圳市七中高三月考）如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，M为线段PB上一点.（1）若，则在线段PB上是否存在点M，使得平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由.（2

11、）已知，若异面直线PA与CD成角，二面角的余弦值为，求CD的长.【答案】（1）存在，点M是线段PB的中点；（2）.【解析】（1）延长BA，CD交于点E，连接PE，则平面PCD.若平面PCD，由平面平面，平面PBE，则.由，则故点M是线段PB的中点.（2）因为，平面ABCD，平面ABCD，则平面ABCD，以点A为坐标原点，以AD，AP所在的直线分别为y轴z轴，过点A与平面PAD垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，.设平面PBC和平面PCD的法向量分别为，由，得即令，则，故.同理可求得，于是，即，解之得（负值舍去），故，所以.12（2021广东省广州市第一中学高三月考）如图，在

12、棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点，（1）求证：平面（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系：. 设，设平面的一个法向量为，则，故可设.由于，而平面，所以平面.（2）由（1）知平面的一个法向量为，易知平面，所以平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为13（2021广东茂名高三月考）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，与交点为，且，（1）证明：平面；（2）若且，则在线段上是否存在一点使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在点；为线段上靠近点的三等分点【解析】（1）四边

13、形为等腰梯形，取的中点，连接，则，又平面，平面，又平面，平面，平面（2）平面，以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，令，解得：，；设点，由得：，解得：，设平面的法向量为，令，解得：，若满足题意的点存在，则，解得：，在线段上，即，存在符合题意的点，为线段上靠近点的三等分点.14（2021福建南平高三月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为，是中点，所以.因为平面，平面，所以.又，平面，所以平面，而平面，从而.因为点，分别为

14、，的中点，所以，从而.又，平面.所以平面.（2）解：分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.所以.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为15（2021重庆八中高三月考）如图，在长方体中，点在棱上移动.（1）证明：； （2）当时，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意，以D为坐标原点，分别以，为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设，所以，. （2）由题意易知：，所以，故，所以. 设平面的法向量是，设平面的法向量是，因为，由，即令，得.由，即令，得， 所以，故二面角的正弦值1

15、6（2021重庆巴蜀中学高三月考）如图，在四棱锥中，四边形的对角线互相平分，；在直角边长为的等腰直角中，；在等腰直角中，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）四边形的对角线互相平分，为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面；（2）在等腰直角中，又为的中点，又，所以，平面.以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以，设平面和平面的法向量分别为，由，得，令，可得，由，得，令，可得，则，所以二面角的正弦值为.17（2021重庆西南大学附中高三月考）在五面体中，四边形为正方形，平面平

16、面，.（1）若平面平面，求的长；（2）在第（1）问的情况下，过点作平行于平面的平面交于点，交于点，求三棱柱的体积.【答案】（1）1；（2）1【解析】（1）因为平面平面，平面平面，平面，平面，又，以为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则、，设平面的法向量为，设平面的法向量为，由，取，可得，由，取，可得，因为平面平面，则，所以，解得；（2）若，则由（1）可知平面的一个法向量为，因为、，所以，点到平面的距离为，又因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，在梯形中，则，所以，直角的面积为，所以.18（2021重庆西南大学附中高三月考）如图，在直三棱柱中，为的中点，在上且（1）求证：平面平

17、面； （2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在直三棱柱中，在上，为的中点，则，因平面，平面，则，而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面；（2）依题意，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，令，则，0，0)，4，0)，3，4)，2，0)，4)，0)，0)，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值.19（2021重庆南开中学高三月考）如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，点是棱的中点，点在棱上，（）证明：直线平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求平面与平面所成的锐角的余弦值【答案】（）证明见解析（）（）【解析】（）取的中点，连，因为分别是的中点，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以直线平面；（）因为平面，所以，又，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：则，设平面的一个法向量为，则，取，则，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；（）因为，所以，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，则，取平面