利用Excel进行FFT和Fourier分析的基本步骤

1、 利用Excel进行FFT和Fourier分析的基本步骤实例：杭州市2000人口分布密度根据2000年人口普查的街道数据经环带(rings)平均计算得到的结果，数据由冯健博士处理。下面的变换实质是一种空间自相关的分析过程。第一步，录入数据在Excel中录入数据不赘述(见表1)。表1原始数据序列表2补充后的数据序列IZAQB1距离人口密度20.32S18430.92682141.52462152.12317662.71891073.31960183.91694594.510829105.17282115.76200126.35644136.94297147.53306158.13153168.7

2、2683179.32354189.920281910.513232011.116512111.715812212.314902312.9L4652413.512782514.110332614.19582715.3382第二步，补充数据由于Fourier变换(FT)般是借助快速Fourier变换(FastFourierTransformation,FFT)算法，而这种算法的技术过程涉及到对称处理，故数据序列的长度必须是2n(N=1,2,3,，)。如果数据序列长度不是2n，就必须对数据进行补充或者裁减。现在数据长度是26,介于24=16到25=32之间，而26到32更近一些，如果裁减数据，就会损

3、失许多信息。因此，采用补充数据的方式。补充的方法非常简单，在数据序列后面加0,直到序列长度为32=25为止(表2)。当然,延续到64=26也可以，总之必须是2的整数倍。不过，补充的“虚拟数据”越多，变换结果的误差也就越大。第三步，Fourier变换的选项设置沿着工具（Tools）f数据分析（DataAnalysis）的路径打开数据分析复选框（图1）。画文件迥编辑视臥边極入榕式工具数据（窗口（如帮助金13占毋拼写F7二自动保存B3L=0AB1C共享工作轉（也保护（巳联机协作（啪F1距离人口密度20.32E18430.926821规划求解陋41.52462152.123176协载宏自定义g选项辽6

4、2.71翻1073.319601E3.91645數据分析側94.510S29105.17282MicrosoftEncel-Fouriet1Analysis图1数据分析（DataAnalysis）的路径在数据分析选项框中选择傅立叶分析（FourierAnalysis）（图2）。图2数据分析（DataAnalysis）在Fourier分析对话框中进行如下设置：在输入区域中输入数据序列的单元格范围“$B$1:$B$33”；选中“标志位于第一行（L）”；将输出区域设为“$C$2”或者“$C$2:$C$33”（图3a）。b图3傅立叶分析（FourierAnalysis）注意：如果“输入区域”设为“$B

5、$2:$B$33”，则不选“标志位于第一行（L）”（图3b）表3FFT的结果 第四步，输出FFT结果选项设置完毕以后，确定(OK),立即得到FFT结果(表3)。显然，表3给出的都是复数(complexnumbers)。假定一个数据序列表为f(t)，则理论上Fourier变换的结果为F()=Jf(t)e-jtdt=Ff(t),(ga)g表3中给出的正是相应于F()的复数，这里为角频率。第五步，计算功率谱Excel好像不能自动计算功率谱，这需要我们利用有关函数进行计算。计算公式为P()=1F()2=1(A2+b2)式中A为复数的实部(realnumber)，B为虚部(imaginarynumber

6、)，T为假设的周期长度，实则补充后的数据序列长度。对于本例，T=32。注意复数的平方乃是一个复数与其共轭(conjugate)复数的乘积，若F(e)=a+bj,则IF(e)l2=(a+bj)*(a-bj)=a2+b2。这样，根据表3中的FFT结果，我们有(218701.8572+02)/32=1494703196(104459.6342+103400.5382)/32=675108949其余依次类推。显然，这样计算非常繁琐。一个简单的办法是调用Excel的模数(modulus)计算函数ImAbs，方法是在函数类别中找“其他”在其他类中找“工程”类，在工程类中容易找到ImAbs函数(图4)。确定

7、以后，弹出一个选项框，选中第一个FFT结果，确定，得到218701.857(图5)。我们知道，复数的模数计算公式为M=(A2+B2)1/2 # #函数名(W：日期与时间數学与三角函数统计查找与引用数据库文本逻辑信息用尸定义|VFACTDOUELE(j-eStepGESTEFKEX2BINHesEIlecHEK2UE匚HesZOctHEK20CTInktis ImAbs(inumber)Returnstheabaolntevalue(juodiilus)cfacomplexnumber取消|图4模数计算函数对于第一个FFT结果，由于虚部为0模数就是其自身，即（218701.8572+02）1/2

8、=218701.857但对于后面真正的复数，就不一样了。抓住第一个模数所在的单元格的右下角往下一拉，或者用鼠标双击该单元格的右下角，立即得到全部模数。图5计算模数最后，用模数的2次方除以数据长度32立即得到全部功率谱密度结果（表4）。表4功率谱密度下表是利用Mathcad2000计算的功率谱密度（表5）。利用Mathcad进行FFT，过程要简单得多，只要调用FFT命令，可以直接给出各种结果（包括图表）。但Mathcad的计算不求精度，有一定误差。将Mathcad的变换结果copy到Excel中进行比较，可以看到，如果不计误差，二者是一致的（表4）。表5借助Mathcad2000进行FFT的结果

9、001.495?096.751?082.948?081.026?083.188?072.476?072.985?07Power72-446?071.172?076.238?068.908?061.073?071.042?079.42?066.494?064.79?064.697?06第六步，功率谱分析功率谱分析目前主要用于两个方面，一是侦测系统变化的某种周期或者节律，据此寻找因果关系（解释）或者进行某种发展预测（应用）；二是寻找周期以外的某些规律，据此对系统的时空结构特征进行解释。表6以对称点f=0.5）为界，从完整的数据序列中截取一半1自然数列频率功率谱密度自然数列频率功率谱密度200149

10、4703196001494703196310.0312567510894910.03125675108949420.062529476665120.0625294766651530.0937510257415430.09375102574154640.12531878317.740.12531878317.7750.1562524756703.250.1562524756703.23&0.1册529845517.1&0.1S7529845517.1勺70.2187524457983.170.2187524457983.110S0.2511715162.4S0.2511715162.41190.

11、2S1256237997.0690.2S1256237997.0612100.31258907606.99100.31258907606.9913110.3437510727756.2110.3437510727756.214120.37510425178.7120.37510425178.715130.406259420298.3130.40625942029S.316140.43756493747.84140.43756493747.S417150.4&S754789004.98150.468754789004.9818160.54698112.22160.54698112.2219170

12、.531254789004.98上面基于杭州人口密度数据的FFT,实际上是一种空间自相关分析过程，属于FT的第二类应用。这种过程不以寻找周期为目标，实际上也不存在任何周期。不论目标是什么，都必须借助频谱图（频率功率谱密度图）进行分析和解释。下面第一步就是绘制频谱图。首先要计算频率，线频或角频都可以，因为二者相差常数倍（2n）。一个简单的办法是，用0到T=32的自然数列除以T=32（表6）。如果采用的频率变化范围01，则绘制的频谱图是对称的（图6）。实际上，另一半是多余的，Mathcad2000自动生成的频谱图就没有考虑另外一半儿（图7）。因此，我们可以以对称点f=0.5为界，截取前面一半的数据

13、，在Excel上绘制频谱图（图8）。度密谱率功1600000000140000000012000000001000000000800000000600000000400000000200000000。 # 图6对称的频谱图（基于完整的数据序列）1.51091.495x109-.1109Powerj51084697x10600.500.10.20.30.4freq频率杭州人口密度衰减的频谱图（2000）图7Mathcad2000生成的频谱图下图是常用的频谱图形式，如果存在周期，则在尖峰突出的最大点可以找到。这个图中是没有显示任何周期的，但并不意味着没有重要信息。在理论上，如果人口密度分布服从负指

14、数模型，则其频率与功率谱之间应该满足如下关系P（f）*f一,为了检验这种推断，不妨用下式进行拟合P（f），f-这正是卩噪声（卩-noise）表达式。1400000000度密谱率功1000000000800000000600000000 # #图8利用Excel绘制的频谱图（常用形式）为了拟合幂指数模型，去掉0频率点，结果得到P（f）=1280514f-1-7983,R2=0.9494多种模型比较的结果，发现幂指数模型的拟合效果最好（图9）。将图9转换成对数刻度拟合效果就尤其明确（图10）。显然，卩=1.7983工2。800000000700000000600000000度密谱率功500000000400000000300000000200000000100000000R2=0.94940.40.10.20.30.5频率P(f)=1280514.1795f-1.7983 # #图9频谱图的模型拟合结果（去掉0频点） 利用模型及其参数，我们可以对杭州市人口分布特征及其变化进行系统分析。但是，深入的分析仅仅借助