力学作业解答第三章

1、第三章基本知识小结1牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。矢量式：F=ma=dvd2rm=m-dtdt2分量式：F=ma,F=ma,xxyydvF=ma=m,FTTdtnF=ma（直角坐标）zzv2=ma=m一（弧坐标）np动量定理适用于惯性系、质点、质点系。导数形式：F=dpdt微分形式：Fdt=dp积分形式：I（=JFdt）=Ap（注意分量式的运用）动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即若工f=o,贝yp=恒矢量。外（注意分量式的运用）在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。在直线加速

2、参考系中：fo在转动参考系中：f*=m2r,f*=2mvxck质心和质心运动定理=工mvma=工maiicii(1)mr=工mrmvciic工F=mac（注意分量式的运用）3.4.1质量为2kg的质点的运动学方程为r二(6t2-l)i+2+3t+1)j(单位：米，秒)，求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。解：a二d2r/dt2二12i+6j,F二ma二24i+12j为一与时间无关的恒矢量，质点受恒力而运动。F=(242+122)i/2=12七5N,力与x轴之间夹角为：a二arctgF/F二arctg0.5二2634yx3.4.2质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：r二a

3、coseti+bsinetj，a,b,3为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。八八证明：a=d2r/dt2=-e2(acoseti+bsinetj)=-e2rF=ma=-me2r,作用于质点的合力总指向原点。pmip1P2*3.4.4题图3.4.4桌面上叠放着两块木板，质量各为皿凹2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为p2,m1和m2间的摩擦系数为pb问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。解：以地为参考系，隔离m1m2,其受力与运动情况如图所示，N2Fm1g其中，N1=N1,f1=f1=p1N1,f2=p2N2，选图示坐标系o-xy，对m1?m2分别应用牛顿二定律，有pN=ma11

4、11F-pN-pN=ma112222N-mg=011N-N-mg=0212解方程组，得a1=p1ga=(F-pmg-pmg-pmg)/m21121222要把木板从下面抽出来，必须满足aa，即:.F(p+m)g121221Fmgmgmgm|Hg112122213.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m,m2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为p，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离m,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1=p叫=m1g，f2=pN2=p(N1+m2g)=p(m1+m2)g.在水平方向对两个质点应用牛二定律：

5、T-pmg=ma11F-mg一卩(m+m)g-T=ma112ma2+可求得：F-2pmgma=-Pgm+m12m1J丿m2IN1ihb-cim,ga1m(F-2pmg)将a代入中，可求得：T=t+-m+m12iii12g3.4.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等.若物体A,B与桌面间的摩擦系数为p，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离A,B,C,受力及运动情况如图示，其中：f1=pN1=pm1g，f2=pN2=pm2g，T=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以(a1+a2)/2=a

6、3对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：T-pmg二maT-pmg二maiii222mg-2T二m(a+a)/233i2，,联立，可求得：2mm(1+p)23p(m+m)m+4mm123122mm(1+p)13p(m+m)m+4mm12312(m+m)m(1+p)123p(m+m)m+4mm12312Ta1mgm3gf2amg*3.4.9跳伞运动员初张伞时的速度为v，0阻力大小与速度平方成正比：av2，人伞总质量为m。求v二v(t)的函数。提示：积分时可利用式1-v22(1+v)2(1-v)dv解，mg-av2=mp,dtdvmgdt-av2mdtdvmg(1-av2/mg)mgm

7、常量，-,Pamg上式写成dv1-P2V2=gdt,dvdv2(1+Pv)2(1-Pv)=gdt.d(1+卩v)2卩(1+卩v)-鳥-Pv)=gdt，积分ln(rr|v)=2卩gt+C，代入，In/+严)二2pgt+lnj+,01-Pv1-Pv0，(1+Pv)(1-Pv)，lno-(1-pv)(1+pv)0二2pgt,ve1+Pv(e2pgto1)_11-pv=p0/1+pv1、(e2pgto+1)1-Pv03.5.14北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为9km，将要建设的京沪列车时速250km/h,若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m

8、.h解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：车厢速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2R；设轨矩为Z，外轨比内轨高h,有cosa_；12-h2/1,sina_h/1选图示坐标o-xy,对车箱应用牛顿第二定律：Ncosa_N、l2-h2/1_mg，Nsina_Nh/1_mv2/R/得：12-h2/h_gR/v2，两边平方并整理，可求得h：h_v21/严+g2R2_69.42x1.435/69.44+9.82x90002_0.0782m_7.8cm3.4.15汽车质量为1.2X10kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15，沿公路取自然坐标，汽车

9、运动学方程为s=0.5t3+20t(m),自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示：v=ds/dt=1.5t2+20，v|=1.5X52+20=57.5m/s，a=v2/R=57.52/100=33t=5n设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律：Ncosa+fsina二mgNcosa二mgfsinaNsinafcosa二maNsina二ma+fcosan/得：tga=(ma+fcosa)/(mgfsina)m(gtgaa)ncosa+sinatganmgt

10、gafsinatga=ma+fcosa,ngtgaa=9.8tgl5。-33=-30.430,/.fm2相对升降机的加速度.以向下为正方向，由牛顿二定律，有mg-T-ma=11mg2-ma-=1解得-T-ma=ma22(m-m)a+(m-m)ga=i221-m+m12T=2mm(g-a)/(m+m)1212设m1、m2的加速度分别为a、a2,根据相对运动的加速度公式,a=a+a1a=a+a写成标量式：a=-a+a,a=a+a，将a代入，求得:2212a1a22ma-(m-m)g221m+m122ma+(m-m)g12+m+m)123.6.1就下面两种受力情况：F二2ti+2j(N,s),、八八

11、F=2ti+(1-t)j(N,s)分别求出t=0,1/4,1/2j3/4,1时的力并用图表示；再求t=0至t=1时间内的冲量,也用图表示。解：(1)F=2tj+2j,代入t值得:F(0)=2j,F(+)=+i+2j,F(士)=i+2j422F(3)=孑j+2j,F=2j+2j42111I=JFdt=2iJtdt+2jJdt=i+2j000I=12+22=、：5Ns，与x轴夹角a=arctgl/I=arctg2=63.5yx(2)F=2ti+(1t)j,代入t值得:F(0)=j,F(4)=/X/X/X/Xi+3j,F(1)=i+ij422012FG)=3i+1j,F(1)=2i424.1111I

12、=JFdt=2iJtdt+jJdtjJtdt=i+j20000I=J2+0.52=f5/2Ns，与x轴夹角a=arctgIy/Ix=arctg0.5=26.5y012y3.6.2一质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为:TOC o 1-5 h z八八r=acosti+bsinj，求质点的动量。解：质点速度：v=dr/dt=-wasineti+wbcosj八八质点动量：p=mv=-mwasinwti+mwbcoswj大小：P=P2+p2=mw2sin2wt+b2cos2Wtxy方向：与x轴夹角为e,tgO=p/p=-ctgwtb/ayx3.6.5质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为

13、p0,质量为m的滑块与M均处于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高，松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M?设当m下落h后经过极短的时间At后与绳的铅直部分相对静止。解：以地为参考系，选图示坐标，先以m为研究对象，它被托起h,再落回原来位置时，速度大小为v=：顽,在At极短时间内与绳相互作用，速度又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有:FAt=0一(一mv)=mv-m.J2ghF=m*；2gh/At再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F，M受到的最大静摩擦力为于=pMg

14、，因此，能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是：maxoF刁，即mj2gh/At、卩Mg/.h、卩2M2(At)2g/2m2maxoo3.7.1质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？(分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解)解：(1)用质点系动量定理解：以岸为参考系，把车、船当作质点系，该系在水平方向只受缆绳的拉力F的作用，应用质点系动量定理，有FAt=mvF=mv/At=15005/5=1500N用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac，据质心定义式，有：(m1+mac=mip，1+m2，a1为车对岸的加速度，a1=(v-

15、0)/At=v/At,a2为船对地的加速度，据题意a，Aa=a1m/(m1+m2)，代入a1，a=m1v/(m1+mAt，*.F=m1v/At=1500N用牛顿定律解：a2=0a1分别分析车、船两个质点的Fmff“m受力与运动情况：其中f为21静摩擦力，a=v/At,对两个质点分别应用牛顿二定律：f=吒=咛/At=1500NF-f=0F=f=1500N3.7.570kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。v1，相对船的速度为m1解：以地为参考系，选图示坐标o-x,设人的质量为叫=70kg，人相对地的

16、速度为v，它们的方向显然与x轴同向；设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2,（方向显然与x轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1+v2.由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有m1+m2v2=0,即m1+v2）+m2v2=0，可求得v2=-v1m（m1+m2），将上式两边同时乘上相互作用时间At，v尹t=s2为船相对地的位移，v严t=s；=32m,即s2=-s1m/m+m/=-3.2X70/(70+210)=-0.8m解：设两车撞后的共同速度为V，由动量守恒:向x轴投影：m甘（化+m2）VxmV+mV11223.7.7载人的切诺基和桑塔纳汽车质量各为