高中数学解题方法技巧汇总

1、目 前言 2 第一章 高中数学解题基本方法 3 一配方法 3 二换元法 7 三待定系数法 14 四定义法 19 五数学归纳法 23 六参数法 28 七反证法 32 八消去法 九分析与综合法 十特殊与一般法 十一、 类比与归纳法 十二、 观察与实验法 第二章 高中数学常用的数学思想 35 一数形结合思想 35 二分类讨论思想 41 三函数与方程思想 47 四转化（化归）思想 54 第三章 高考热点问题和解题策略 59 一应用问题 59 二探索性问题 65 三选择题解答策略 71 四填空题解答策略 77 附录 一高考数学试卷分析 二两套高考模拟试卷 三、 参考答案 2 前 美国著名数学教育家波利亚

2、说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解 题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有 对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考 试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过 程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题 解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； 数学思维方法观察与

3、分析概括与抽象分析与综合特殊与一般 归纳和演绎等； 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数 学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将 来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维 的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一 阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式 化与可操作性的特征，可以选用作为解题

4、的具体手段。数学思想是数学的灵魂， 它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质 的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用数学素质的综合体现就 力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中 常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消 去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法， 再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、 转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在 附录部

5、分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形 式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行 详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果， 起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个 部分重要章节的数学知识。 2 3 第一章 高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配 方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且 合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时

6、也 将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已 知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解， 或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)2a22abb2， 将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2b2(ab)22ab(ab)22ab； a2abb2(ab)2ab(ab)23ab(ab)2（ 3b）2； 2 1 a2b2c2abbcca2(ab)2(bc)2(ca)2 a2bc2(abc)2(abbcca)(abc)2(abbc 结合其它数学知识和性质，

7、相应有另外的一些配方形式，如： 1sin212sincos（sincos）2； 2 (x x2112 (x 222(x )22 ； 等等。 xx 、再现性题组： 1. 在正项等比数列an 中，a1 a5 +2a3 a5 +a3 a7 =25，则a 3 a5 _。 2. 方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. 111 k1 B. k1 C. kR D. k或k1 3. 已知sincos1，则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 0 4. 函数ylog1 ( 2x5x3)的单调递增区间是_。 2 A. （, 55155 B. ,+) C. (, D. ,3)

8、 5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x2，则点P(x,x2)在圆x+y 上，则实数a_。 【简解1 小题利用等比数列性质amamam 2 （aa）2易求。答案是：5。 3 4 2小题配方成圆的标准方程形式(xa)2(yb)2r2解r20即可选B 3小题已知等式经配方成(sin2cos2)22sin2cos21求出sin cos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 4小题配方后得到对称轴结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。 选D。 5小题：答案3 11。 、示范性题组： 例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体 的一条对角线长为_

9、。 A. 23B. 1C. 5 D. 6 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为 x,y,z，则 4( z 4 y2 2 将其配凑成两已知式的组合 24( z 4 y2 2 将其配凑成两已知式的组合 形式可得。 【解】设长方体长宽高分别x,y,z，由已知“长方体的全面积11， 条棱的长度之和为24”而得：2( z 1。 4( z 4 长方体所求对角线长为： x2 y2 2 x y 2 y z z 62 115 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观 察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已 知和未知，从而求解。

10、这也是我们使用配方法的一种解题模式。 p 例2.设方程xkx2=0的两实根为p、q，若( )+( )7成立，求实 q 数k的取值范围。 【解】方程xkx2=0的两实根为pq，由韦达定理得：pqk，pq 2 , p 2q 2p4 q4(p2 q22 2p2q2(pq2 2pq2 2p2q () +() qp(pq2(q2(pq2 k2 42 87， 解得k 1或k 10 。 4 又 p、q为方程xkx2=0的两实根， k80即k2 2 k2 2 综合起来，k的取值范围是： 1k2 2 或者 2 2k 1。 4 5 5 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知 方程有两根

11、时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pqpq后，观察 已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示pp的组合式。 假如本题不“讨论结果将出错即使有些题目可能结果相同去掉 的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 a 例3. 设非零复数a、b满足aabb2=0，求(ab)(ab)8 【分析】 对已知式可以联想：变形为(a)(a)10，则a bb 1的立方虚根）；或配方为(ab)2ab 。则代入所求式即得。 【解】由a2abb2=0变形得：(a)(a)10 ， b 设a210为1：b3 b 31。 又由a2abb2=0变形得：(ab)2ab ， a8b8a2999

12、b2999a 所以()()()()( )999( )999 ababababb 999 9992 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧的立方虚根，活用的 性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们 善于联想和展开。 由a2abb20变形得(a)(a)10出b1 bba 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(a)999(b)999后，完成后面的运 b 算。此方法用于只是未1联想到时进行解题。 2 假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可a2abb2解出：a 1b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用 2 棣莫佛定理完成最后的计

13、算。 、巩固性题组： 1. 函数y(xa)2(xb)2（a、b为常数）的最小值为_。 C. a2 b D.最小值不存在 2C. a2 b D.最小值不存在 2. 是方程x22axa60的两实根则(-1)2+( -1)2 是_。 2 5 6 6 A. B. 8 C. 18 D.不存在 3. 已知x、yR ，且满足x3y10，则函数t28有_ A.最大值2 2B.最大值 2 2 C.最小值2 B.最小值 4. 椭x22ax3y2a26的一个焦点在直xy4上，a _。 A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或6 5. 化简：2 1n8 22s8的结果是_。 A. 2sin4 B. 2sin44c

14、os4 C. 2sin4 D. 4cos4 2sin4 6.设F1和F2为双曲线x y21的两个焦点点P在双曲线上且满足F1PF2 4 90，则F1PF2的面积是_。 7. 若x1，则7. 若x1，则f(x)x22x x 8. 已知 3，cos(-)12，sin(+)3 2413 sin2 值。(92年高考题) 9.设二次函数f(x)Ax2BxC给定m（m0； 是否存在一个实数t，使当t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR，xlogtlogs，ylog4tlog4sm(log2 log2s), 将y表示为x的函数yf(x)，并求出f(x)的定义域； 若关于x的方程f(x)0有且仅有一个

15、实根，求m的取值范围。 二、换元法 6 7 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得 到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等 量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使 非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件 联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的 形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次化分式为整式化无理式为有理式化超越式为代数式， 在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛

16、的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元， 是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问 题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为 设2xt（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式 中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y 1的值域时，易发 现x0,1，设xsin2 ，0, ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。 2 为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如 变量xy适合条件x2y2r

17、2（r0换xrcosy 化为三角问题。 均值换元，如遇到xyS形式时，设xt，yt等等。 2 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重 新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也 不能扩大。如上几例中的t0和0, 。 、再现性题组： 1.ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。 2.设f(x21)log(4x4) （a1），则f(x)的值域是_。 3.已知数列a中，a1，an1an an1an ，则数列通项 an _。 4.设实数x、y满足x22xy10，则xy的取值范围是_。 5.方程13x 3的解是_。 13 6.不等式lo

18、g2(21) log2(2x12)2的解集是_。 7 8 2121 【简解1设sinx+cosxt 2, 2则yt 2 t1，当t 2，y1 ma 2； 2 小题：x21t (t1)，f(t)log-(t-1)24，所以值域为( ,log4； a则b11,b1(na则b11,b1(n nn1ana 1)(-1)n，所以a1 ； n 4小题设xyk则x22kx10,4k240,所以k1或k1 5小题：设3xy，则3y22y10,解得y1，所以x1； 6 小题：设 log(21)y，则 y(y1)2，解得2y0求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a2的最大值和最小值。 【解】 设

19、sinxcosxt，则 t- 2, 2，由(sinx y 2 cosx)212sinxcosx得：sinxcosx, , 2 2 11 f(x)g(t)(t2a)2 （a0），t x - 2, 2 t- 2时，取最小值：2a22 2a2 当2a 2时，t 2，取最大值：2a22 2a2； 当00恒成立，求a的取值范围。（87年全国理） a)2aa 【分析不等式中log2alog 2 a1log24a2三项有何联系？进 行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 aa)a)a1 【解】 log2 a1t，log2alog22a3log22a logaa2a1 2 2 a13t，log24a22

20、log22a 2t， 代入后原不等式简化为（3t）x22tx2t0，它对一切实数x恒成立，所以： 3t 0t 3a 42 83) 0，解得t 0或t 6t0 即log2 a10 0 2a 1，解得0a恒成立， 916 围。 x2y2 【分析】由已知条件1，可以发现它a2b2 916 之处，于是实施三角换元。 x2y2x1y1 【解】由1，设cos，sin， 91634 13s 即： 14n代入不等式xyk0得： 3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0 (a0)所表示的区域为直axbyc所分平面成两部分中含 x轴正方向的一部分此题不等式恒成立问题化为图 y 形问题：椭

21、圆上的点始终位于平面xyk 区域即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切 x 线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 x2 y2 4 有相等的一组实数解消 x y 0 xy 元后由可求k3,所k0 恒成立。k 平面区 、巩固性题组： 1.已知 f(x)lgx (x0)，则 f(4)的值为 _。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4 33 2.函数y(x1)42的单调增区间是_。 A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-1 3.设等差数列a的公差d1且S100145则a1a3a5a 2 值为_。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.

22、5 4.已知x24y24x，则xy的范围是_。 a b 5.已知a0，ba b 6.不等式 的范围是的范围是_ ax3的解集是(4,b)，则a_，b_ 2 7.函数y2x x1的值域是_。 8.在等比数列a中a1a2a102a11a12a12求a31 aa。 9.实数m在什么范围内取值对任意实数x不等式sin2x2mcosx4m 恒成立。 10. 已知矩ABCD，顶C(4,4)，点在曲 y D C 线x2y22 (x0,y0)上移动，且AB、 A B AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最 小面积。O x 14 15 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条

23、件来确定这些 未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意值，都f(a) g(a)；或者两个多 项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法， 就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组 来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是 否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解 因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这 些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待

24、定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： 利用对应系数相等列方程； 由恒等的概念用数值代入法列方程； 利用定义本身的属性列方程； 利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程 的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程 或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已 经明确的方程

25、形式，得到所求圆锥曲线的方程。 、再现性题组： 1.设f(x)2mf(x)的反函数f1(x)nx5那么mn的值依次为_ 5555 A. 2, 2 B. 2 ，2 C. 2, 2 D. 2 ，2 1 1 2.二次不等式ax2bx20的解集是(2, )，则ab的值是_。 A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 3.在(1x3)（1x）0的展开式中，x5的系数是_。 A. 297 B.252 C. 297 D. 207 31 4.函数yabcos3x(b0，7x0，x0。 设V4 (15aax)(7bbx)x (a0,b0） ab ab1 0 要使用均值不等式，则 a 7b 13 解得：a4

26、，b 4 ，x 3 。 15 64 15x644 从而V( )(213x)x(4 )36427576。 34444333 所以当x3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm3。 【注均值不等式应用时要注意等号成立的条件当条件不满足时要凑配系数， 可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令 V 4 (15aax)(7x)bx 或 ab 4 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三 ab 项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。 、巩固性题组： 1.函数ylogx的x2,+)上恒有|y|1，则a的取值范围是_。 A. 2a1a1 B. 0a

27、11a2 C. 1a2 0a 0a 2.方程x2pxq0与x2qxp0只有一个公共根则其余两个不同根之 和为_。 A. 1 B. 1 C. pq D. 无法确定 3.如果函数 ysin2xacos2x 的图像关于直线 x对称，那么 a _。 A. 2B. 2C. 1 D. 1 1C2C1C2CnC500的最大正整数是_ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.无穷等比数列a的前n项和为Sa1 , 则所有项的和等于_ A. 1B. 1 C. 1D.与a有关 22 92 6.(1kx) b0b1xb2x b9x 若b0b1b2b9192 k_。 19 20 7.经过两直线11x3y90与12x

28、y190的交点且过点(3,-2)的直线 方程为_。 8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60，过底面一边作截面， 使其与底面成30角，则截面面积为_。 9.设yf(x)是一次函数，已知f(8)15,且f(2)f(5)(f14)成等比数列， 求f(1)f(2)f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴轴平行，开口向右，直 线y2x7和抛物线截得的线段长是4 1, 求抛物线的方程。 20 21 四、定义法 所谓定义法就是直接用数学定义解题数学中的定理公式性质和法则等， 都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念 所反映的事物的

29、本质属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本 质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是 最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。 、再现性题组： 1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，AB的元素个数为n， 则_。 A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n7 2. 设MP、OM、AT分别是46角的正弦线、余弦线和正切线，则_。 A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP 3. 复数z1a2，z22，如果|z1| |z2|，则实数a的取值范围 是_。 A. 1a1

30、C. a0 D. a1 x2y25 4. 椭圆25上有一P，它到左准线的距离为 ，那 992 点的距离为_。 75 A. 8 C. 7.5 C. D. 3 4 5.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f( )的值为_。 T A. T B. 0 C. D. 不能确定 2 6.正三棱台的侧棱与底面成 45角，则其侧面与底面所成角的正切值为 _。 【简解】1小题：利用并集定义，选B； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得 a2 22 0得：0 x1 3 2 设1 2 ，x 1+x2(x 1+x2)( x1+x2) 1 2 2 3 2 f(x 1)f(x2)0即f(x

31、)在(,1)上是减函数 2 23 2 2 b0)的两个焦点，其中F2与抛物线y 的辐角主值是_ 8. 不等式 ax2bxc0 的解集是(1,2)，则不等式 bx2cxa0 解集是 _。 9. 已知数列a是等差数列求证数列b也是等差数列其中b1(a1 a2a)。 10.已知F1、F2是椭圆 2 1F2cosMF2F12 求椭圆方程。 25 26 五、数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与 不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同 性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不 允许的。完全归纳推理是在

32、考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数 学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命 题n1(n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设n时命题成立， 再证nk时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正 确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。 nn0且nN 的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是nk1时命题成立的推证，此步证明要 具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解 题的方向，使差异逐步减小，最终实现目

33、标完成解题。 运用数学归纳法可以证明下列问题与自然数n有关的恒等式代数不等式、 三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 、再现性题组： 1.用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)212(2n1) （nN 从“k到k1”，左端需乘的代数式为_。 2k12k A. 2k1 B. 2(2k1) C. kD. k 111 2. 用数学归纳法证12 n1)时，nk (k1) 332 等式成立，推证nk1时，左边应增加的代数式的个数是_。 A. 2k1B. 21 C. 2D. 21 3. 某个命题与自然有关，nk (kN)时该命题成立，那么可推 k时该命题也成立。现已知n时该命题不成立，那么可

34、推得_ (94年上海高考) A.当n6时该命题不成立B.当n6时该命题成立 C.当n4时该命题不成立D.当n4时该命题成立 4.数列a知a11当n2时aan12n1算a2a3 a4后，猜想a的表达式是_。 A. 3n2 B. n2C. 3n1D. 4n3 5.用数学归纳法证明34n52n1(n N)能被14整除当nk1时对于式 子34k152k11应变形为_。 26 27 27 6. 棱柱f(k)个对角面，k棱柱对角面的个数f(k+1)f(k) _。 【简解1小题nk时左端的代数式是(k1)(k2)(kk),nk1 左端的代数式是(k2)(k3)(2k1)(2k2)，所以应乘的代数式为 2k2

35、k2)，选B； k1 2小题：（2k11）（21）2，选C； 3若nk1则nk命题不成 立，选C。 4小题：计算出a11、a24、a39、a416再猜想a，选B； 5小题：答案（34k252k）352k（5234）； 6小题：答案k1。 、示范性题组： 818n 例1.已知数列232 ，得，。S为其 2n2n2 求S1、S2、S3、S4，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理） 8244880 【解】 计算得S1 ，S2，S3，S4， 9254981 2n2 1 猜测S 2n2(n N)。 当n1时，等式显然成立； 2k2 1 假设当nk时等式成立，即：S 2k2， 8k 当nk1时

36、，Sk1S2k22k2 2k2 18k 2k22k22k2 2k2 2k2 2k2 8k 2k2k2 2k2 2k2 2k22k2 1 , 2k2k22k2 由此可知，当nk1时等式也成立。 综上所述，等式对任何nN都成立。 2k2 1 【注】 把要证的等式 Sk1 2k2作为目标，先通分使分母含有(2k 3)2，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k3）21。这样证 题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发， 27 28 28 用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性 问题的常见证法，在数列问题中经常见到假如猜想后不用数

37、学归纳法证明，结 论不一定正确即使正确解答过程也不严密必须要进行三步试值 猜想 证明。 【另解】 用裂项相消法求和： 8n11 由a得， 2n2n22n22n2 S111111 （12 ）（2 52 ）2n2 2n2 12n 2n2 1 。 2n2 此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现 8n11的裂项公式。可以说，用试值猜想证明 2n2n22n22n2 三步解题，具有一般性。 例 2. 设 a 2 23 n)(nN),证明n(n 1 1)a2(n 1)2 。 【分析】与自然有关，考虑用数学归纳法证明。n时容易证得，n 时，因ak1a kk2),所以在假n成立得到的不等式中同

38、时加上 kk2)，再与目标比较而进行适当的放缩求解。 11 【解】 当n1时，a ，2n(n+1)2，2(n+1) 22 ， n 1时不等式成立。 1 假设当nk时不等式成立，即：2k(k1)a2(k 1)2 ， 11 当nk1时，2k(k1) kk2)ak12k(k1)(k1)2(k1)(k3)2(k1)(k 2)， (k1)2 kk2)(k1)2 k2 k(k1)2(k3) 2222 1 2(k2)2， 11 所以2(k1)(k2) a2(k2)2，即nk1时不等式也成立。 28 29 综上所述，对所有的n综上所述，对所有的nN 2n(n1)an 11 a123n2n(n1)；由 n)n2

39、可得，a123n 1111111 2n2n(n1)2n2(n22n)2(n1)2以2n(n1)an (n1且nN) f(logx) 30 31 六、参数法 参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系 的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与 二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学 的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用 就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学 中运动与变化的

40、思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题 已经比较普遍。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系， 利用参数提供的信息，顺利地解答问题。 、再现性题组： 1. 设235z1，则2x、3y、5z从小到大排列是_。 22 2. （理）直线上与点 A(-2,3)的距离等于 的点的坐标 32 _。 （文）若k0时， f(x)0，则f(x)的R上是_函数。(填“增”或“减”) x2y2 6. 椭圆161上的点到直线x2y 20的最大距离是_。 4 A. 3 B. 14 A. 3 B. 11C. 10D. 22 【简解1设235zt取235出xy z，再用“比较

41、法”比较2x、3y、5z，得出3y2x0)，证明：轴的正向上一定存在一M 使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有 MM|M 35 36 七、反证法 与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度 思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国 数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定 其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把 对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知 条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是 假设不成

42、立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过 程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思 “A或者非A 这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根 据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公 理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为 假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能 同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的 基本规律和理论为依据的，反证法是可

43、信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”。即从否定结论 开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基 本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 出矛盾 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用 反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳 倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的

44、方面情况有多种，那么必 须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武 器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、 “至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明 显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结 论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 、再现性题组： 1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)0 _。 A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根 2. 已知a0,1bab a

45、b2B. ab2aba C. aba ab2D. ab ab2a 3. 已知l，a ，b ，若a、b为异面直线，则_。 36 37 A. a、b都与l相交B. a、b中至少一条与l相交 C. a、b中至多有一条与l相交D. a、b都与l相交 4. 四面体顶点和各棱的中点1个，在其中个不共面的点，不同的取 法有_。(97年全国理) A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种 【简解】小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特 例矛盾，选A； 2小题：采用“特殊值法”，取a1、b0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B； 4 6434 6436,选D

46、 10 、示范性题组： B B 例1.设SASB是圆锥SO的两条母线O 面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。 【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使 S C A O 【证明】 假设AC平面SOB， 直线SO在平面SOB内，AC SO， SO 底面圆O，SO AB， SO 平面SAB，平面SAB底面圆O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。 即AC与平面SOB不垂直。 【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假 设作为已知条件推导出矛盾。 例 2. 若下列方程：x24ax4a30，x 2(a1)xa20, x22ax 2a0至少有一个方程有实根。

47、试求实数a的取值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均 没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根，则有： 31 1 16a 4a1 16a 4a) 0 22,解得1 2 a) 4a 0a 或a,即 a1 232 2 4a 2a) 02 a 0 所以当a1或a3时，三个方程至少有一个方程有实根。 2 37 38 【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本 集R 别求出三个方程有实根时（0）的取值范围，再将三个范围并起来，即求集 合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、

48、补概念和运算理解透彻。 x1 例3.给定实数aa0且a1数yax1( 其中xR且xa) 明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行轴； . 数的图像关于直线yx成轴对称图像。(88年全国理)。 【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假 设。 【证明】 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点，则 x1x2, 假设直线M2 1M2假设直线M2 1M2平行于x有y1y2即得a(x 1 1ax2 x2)x1x2 x1x2a 1， 这与已知“a1”矛盾， 因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴。 x1y1 由y得axyyx1,即(ay

49、1)xy1,所以x， ax1ay x1x1 即原函数y的反函数为y，图像一致。 ax1ax1 x1 由互为反函数的两个图像关于直线yx数y的图像 ax 关于直线yx成轴对称图像。 【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下， 容易得到一些性质经过正确无误的推理导出与已知a1互相矛盾第问中， 对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质 运用熟练。 、巩固性题组： 1.已知f(x) x ，求证：当x1x2时，f(x1)f(x2)。 2.已知非零实a、b、成等差数列，ac，求证：1、1、1不可能成等差 ab 数列。 3.已知f(x)x2pxq|f(

50、1)|f(2)|f(3)|中至少有一个不小 于1 。 2 4.求证：抛物线yx 1上不存在关于直线xy0对称的两点。 2 38 39 5.已a、bR，且|a|b|1，求证：方x2axb的两个根的绝对 值均小于1。 A 6.两个互相垂直的正方形如图所示MN在 相应对角线上，且有 EMCN，求证：MN 不可能垂直CF。F D B M N E C 39 40 第二章 高中数学常用的数学思想 一、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类一类是纯粹数的知识如实数代数式方（组 不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等； 一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合

51、是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面， 其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联 系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质； 或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段， 形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形 结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭 示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在 一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难

52、为易、化繁为简，从而得 到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾 的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是 代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念 和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几 何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形， 以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

53、 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义 是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆 来定义的。 、再现性题组： 5. 设命题甲：0 x5；命题乙：|x2|3，那么甲是乙的_。 （9年全 国文） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不 必要条件 6. 若log2logb20，则_。(92年全国理) A. 0ab1 B. 0bab1 D. ba1 7. 如果|x| 4 ,那么函f(x)cos2xsin的最小值是_。(89 年 全国文) 40 41 A. 21B. 1C. 1 D. 1 A. 22 8. 如果奇函数

54、f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是5那么f(x)的 上是_。(91年全国) A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5 C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5 y3 9. 设全I(x,y)|x,yR，集M(x,y)| 1，N(x,y)|y x x1，那么MN等于_。(90年全国) A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 10. 如果是第二象限的角且满足cos 2 sin 2 1n,那么 2 _。 A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 11. 已知集E|cossin，02，F|tg乙，选A; 2小题：由已知

55、画出对数曲线，选B； 3小题：设sinxt后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D； 4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B； 5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B； 7小题：利用单位圆，选A； 8小题：将复数表示在复平面上，选B； 9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 41 42 10 小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案3 3 2 。 【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有 关的问题，即借助数轴（题）、图像（、题）、单位圆（、 题）、复平面（、题）、方程曲线

56、（题）。 、示范性题组： 例1.若方程lg(x23xm)lg(3x)在x(0,3) y 内有唯一解，求实数m的取值范围。4 y=1-m 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次 1 方程在某个范围内有实解的问题再利用二次函数的图像 O 2 3 进行解决。x 3 x 0 【解】 原方程变形为 x2 3xm3 3 x 0 即：x22 1m 设曲线y1(x2)2, x(0,3)和直线y21m，图像如图所示。由图可知： 当1m0时，有唯一解，m1; 当11m4时，有唯一解，即3m0, m 1或30), 椭圆中心D(2 ,0)，焦点在x 2 上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范

57、围内取值，椭圆上 有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？ 43 44 【分析由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点L 线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的 情况）。 p 【解】 由已知得：a2，b1, A( ,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： 2 y2 2 pp2 x22，消y得：x2(47p)x(2p)0 2 y2 14 4 所以1664p48p20,即6p28p20，解得：p1。 ppp 结合范围( ,4+ )内两根，设f(x)x2(47p)x(2p)， 224 所p47p4p即p0、f(4p)0即p43 2。

58、222222 结合以上，所以43 2p1。 3 【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代 数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别 式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转 化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。 例4.设ab是两个实数A(x,y)|xnynab（nZB my3m215 (mZ)C(x,y)|x2y2144，讨论是否，使得AB 与(a,b)C同时成立。(85年高考) 【分析】集合AB都是不连续的点集，“存在ab，使得AB”的含意 在ab使得nab3n215(nZ)（AB时xnm

59、 参数ab点(a,b)在直线Lnxy3n215 直线与圆x2y2144有公共点，但原点到直线L的距离12。 【解】 由AB得：nab3n215 ; 设动点(a,b)在直L：nxy3n21上，且直线与x2y214 点， n2 |n2 1 所以圆心到直线距所以圆心到直线距离d3()12 n2 1n2 n 为整数 上式不能取等号，故a、b不存在。 【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索 性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共 点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是： 44 45 由AB得：nab3n215 ,即b3n

60、215an （式）； 由(a,b)C得，a2b2144 （式）； 把式代入式，得关于a的不等式： (1n2)a22n(3n215)a(3n215)21440 （式）, 它的判别式4n2(3n215)24(1n2)(3n215)214436(n2 3) 因为n以n230,因而0,故式不可能有实 数解。 所以不存在a、b，使得AB与(a,b)C同时成立 、巩固性题组： 1.已知5x12y60，则 x2 y2 的最小值是_。 A. 60B. 13C. 13D. 1 13512 2.已知集合P(x,y)|y 9 x2 Q(x,y)|yxb若PQ则 的取值范围是_。 A. |b|3 B. |b|3 2C