三 群论基本知识课件

1、三、 群论基本知识 矩阵是遵循一定结合规律的一组数的矩形排列。它既不是数，也不是一个函数，它是由某些元素所排成的矩形列阵本身，或可看作一个算符。 矩阵A有m行n列，称为mn阶矩阵。分别用下标i，j表示矩阵元素，例如aij指的是矩阵的第i行和第j列的元素。 矩阵也可用来描述由一个坐标系到另一个坐标系的变换。一个点群里所包含的各种对称操作相当于不同的坐标变换，而坐标变换为一种线性变换，所以可用变换矩阵来表示对称操作。矩阵乘法 为了计算矩阵乘积AB，矩阵A和B必须是可相乘的，即A的列数必须等于B的行数。这样，若A是lm阶矩阵，则B必须是mn阶，l和n可为任意值。A和B的乘积AB是矩阵C，它是ln阶矩

2、阵。 C=AB cij=aikbkj即C的元素是由取A的第i行同B的第j列得到的。如：A=a11a12a21a22B=b11b12b21b22AB=C=c11c12c21c22;c11=a11b11+a12b21c12=a11b12+a12b22c21=a21b11+a22b21c22=a21b12+a22b22通常矩阵乘法是不可交换的，即AB=BA，乘积AB和BA往往是不同的；但是矩阵乘法遵守结合律与分配律。 A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC列矢量 A= a1a2a3在n维空间中，一个矢量可由一个n1阶的列矢量所决定。这个矢量矩阵元素的几何意义和实际空间中的相同，也就是假定它

3、的一端位于坐标原点，则另一端就给出了矢量的正交坐标（例如直角坐标系）。几种矩阵：方矩阵 方阵主对角线上的元素的和称为方阵的迹。对于方阵A、B，虽然AB=BA，但是 可证明它们的迹相等。 当方阵的对角线上分布着方块，其它元素都是零，这种方阵称为分（方）块因 子矩阵。如果AB是同阶次同结构的分（方）块因子矩阵，而A1、B1；A2、B2； A3、B3也都分别同阶次，此时AB相乘具有下列简单形式：A=A1 0 00 A2 00 0 A3B=B1 0 00 B2 00 0 B3C=AB=A1B1 0 00 A2B2 00 0 A3B3对角矩阵 除了主对角线上的元素外，其它元素都是零的方阵。单位矩阵 主对

4、角线上元素都是1的对角阵。当方阵A与同阶次的单位矩阵E相乘时，其结果为A不变。即AE=A。矩阵在分子问题上的最重要应用是将群论用于对称性分析。对称操作不改变物体中任意两点距离，故是一种线性变换。所以可用矩阵来描述对称操作。让我们考察矢量P绕z轴逆时针旋转来说明：xyzpdxyppddx1x2y1y2假设P绕z轴逆时针旋转一个角角，得到一个新矢量P。由于z分量保持不变，可以只考察xy平面，并且取d为P在此平面上的投影长度。设此投影开始与x轴的夹角为，则：x2y2z2=cos -sin 0sin cos 0 0 0 1x1y1z1可视为：X2=RX1例：假如180，R(C2)=-100-1；或12

5、0，则R(C3)=。上述矩阵R可用于表示对点（x，y，z）进行的一个旋转操作。由线性代数可推得Cn轴的k次操作的方阵（称变换矩阵）为：cos(2k/n) -sin(2k/n) 0sin(2k/n) -cos(2k/n) 0 0 0 1例如：0 -1 01 0 00 0 10 1 0-1 0 00 0 1即 为 的逆变换，写作X1=R X2。-1显然，RR =R R=E，在旋转操作群中R和R 互为逆元素，它们之间的关系可简单地由其中一个矩阵的行与列的转置而推出，这类矩阵称正交矩阵。而反演操作i和恒等操作E的表示矩阵分别为： -1-1-1-1 0 00 -1 00 0 -11 0 00 1 00

6、0 1例如，用 群的所有对称操作对点（x，y，z）进行变换得相应的一组四个变换矩阵：1 0 00 1 00 0 1-1 0 00 -1 00 0 11 0 00 -1 00 0 1-1 0 00 1 00 0 1（E）=3（ ）=-1（ ）=1（ ）=1这一组变换矩阵的集合同样满足形成一个群的四个条件。封闭性 -1 0 00 1 00 0 1-1 0 00 -1 00 0 1-1 0 00 -1 00 0 1=恒等元素E=逆元素E结合律 = = E所以，如同四个对称操作E、的集合组成群那样，上述一组变换矩阵的集合也能很好的表示出群，而且随着对称操作施与对象（被称为基）除了一组坐标（x、y、z）

7、外，还可能是一个轨道或一组轨道，故还有其它多种形式矩阵的集合可以表示 群。于是，每一种集合构成了 群的一种“表示”，基：某一对称群中群元素（即对称操作）的作用对象。方阵的迹 就是方阵主对角线上元素的和，也即特征标。用来表示对称矩阵的一个重要特征就是它的特征标，用标记。而在一种矩阵群中E矩阵的特征标说明了该种表示的维数。将原子轨道作为表示的基：具体做法：将分子定位在右手坐标系，分子的中心落在坐标原点，主轴与z轴重合，坐标系在对称操作中保持不变，而是原子轨道发生变化，例如在 操作下，pz轨道不发生变化，但px和py轨道都改变了符号。+-+-xy-+-+xy接下来列出 群 的几种表示。从下表中可以看

8、出，随着基不同，同一点群的各组变换矩阵（即表示）也不同。它们的维数不同，可分别是一维的或三维的。x、y、z既可合起来作为一个基考察，又可分别单独考察。而且由于p轨函所具有的实函数形式分别为：pz=frrcos=frz； px=frrcossin=frx； py=frrsinsin=fry。px、py、pz的变换则完全等同于x、y、z。 px、py、pz轨函的变换在表中改用11阶矩阵表示。一种表示的特征标总称用表示。也可用来代表一组（可约或不可约）表示矩阵。C3vEC3基1(xyz)2(E)3(A1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x，pxy, pyz, pzx，pxy, pyz, pz另外

9、可发现，虽然 群中以（x,y）为基的不同对称操作的所有二维表示矩阵是不相同的，但对于某些对称操作，它们的对角元素之和（即特征标）却是相同的。这些对称操作即属于同一类，例如三个反映操作即是。换言之，同类的元素具有相同的特征标。一般而言，对于任意给定的基，矩阵表示不具有准对角形势，但可通过相似变换准对角化。若能经过相同的相似变换将一个对称群的所有对称操作同时准对角化，且各个表示矩阵准对角化后具有相似的方块结构，原矩阵表示就是可约的，否则就是不可约的。不可约表示和特征标表（1）不可约表示如果一组表示矩阵可以通过相似变换约化为低维表示（即成为对角方块之和），就成为可约表示；当对角方块矩阵通过相似变换无

10、法再进一步约化，就称为不可约表示。虽然群的可约表示可以有无数个（因为所考察的基不同），但不可约表示的数目却是严格限制的。下面就是一个矩阵被约化的例子（X是一个正交矩阵，它的逆矩阵是它的转置，B是经方块对角化后的矩阵）。 具体说，当一组矩阵经过相似变换而成为n个互不相干的对角小方块，而且它们不能进一步再被约化，它们就属于n个独立的不可约表示。可将矩阵约化（即方块对角化）为B。其过程为：X-1AXX-1AX=B 将原子轨道作为表示的基,并与C2v群的特征标表相对照，可看出Pz轨道在C2v群中按A1变换，px轨道按B1变换，Py轨道按B2变换，但以点（x、y、z）为基的1(xyz)表示在C2v群的特征标表中并没有出现，说明它是个可约表示。将它转化为不可约表示，需借助约化公式，即确定第i个不可约表示在可约表示中出现的次数ai的公式式中