反三角函数以最简三角方程

1、标准适用反三角函数及最简三角方程一、知识回首：、反三角函数：观点：把正弦函数ysinx，x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22yarcsinx.ysinx(xR)，不存在反函数.含义：arcsinx表示一个角；角,；sinx.22反余弦、反正切函数同理，性质以下表.名称函数式定义域值域奇偶性单一性反正弦函数yarcsinx1,1增,2奇函数增函数2yarccosxarccos(x)arccosx反余弦函数1,1减0,减函数非奇非偶反正切函数yarctanxR增,2奇函数增函数2yarccotxarccot(x)arccotx反余切函数R减0,减函数非奇非偶此中：（）符号arcsinx能够理解

2、为，上的一个角弧度，也能够理解为12()2区间，上的一个实数；相同符号arccosx能够理解为0，上的一个角22文案大全标准适用(弧度)，也能够理解为区间0，上的一个实数；（2）yarcsinx等价于sinyx,y，,yarccosx等价于cosy22x,x0,这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依照；（3）恒等式sin(arcsinx)x,x1,1,cos(arccosx)x,x1,1,tan(arctanx)=x,xRarcsin(sinx)x,x，,arccos(cosx)x,x0,22,arctan(tanx)=x,x（，）的运用的条件；22（4）恒等式arcsinxarccosx,

3、arctanxarccotx的应用。22、最简单的三角方程方程方程的解集a1x|x2karcsina,kZsinxaa1x|xk1karcsina,kZcosxaa1x|x2karccosa,kZa1x|x2karccosa,kZtanxax|xkarctana,kZcotxax|xkarccota,kZ此中：（1）含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确立三角方程能否有解，假如有解，求出三角方程的解集；（2）解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的文案大全标准适用基础上，娴熟地写出最简单的三角方程的解；（3）要熟习同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角

4、方程中的作用；如：若sinsin，则sink(1)k；若coscos，则2k；若tantan，则ak；若cotcot，则ak；4）会用数形联合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的状况和议论。二、典型例题：例1.例2.22-2-OO222-2（A）（B）11-2-OO222-1（C）（D）例3.文案大全标准适用例4.使arcsinxarccosx建立的x的取值范围是()例5.例6.求值：(1)sin2arcsin3(2)tan1arccos1523剖析：问题的重点是能认清三角式的含义及运算序次，利用换元思想转变为三角求值。文案大全标准适用例7.画出以下函数的图像（1）yarcsin(si

5、nx)（2）ysin(arccosx),x1,1例8.已知cos27,(0,),sin5,(,3)求（用反三角函数252132表示）剖析：可求的某一三角函数值，再依据的范围，利用反三角文案大全标准适用函数表示角。例9.已知函数f(x)arccos(x2x)（1）求函数的定义域、值域和单一区间；（2）解不等式：f(x)f(2x1)文案大全标准适用例10.写出以下三角方程的解集(1)sin(x)2;(2)2cos3x10;(3)cotx382文案大全标准适用例11.求方程tan(3)3在0,2上的解集.x4例12.解方程2sin2x3cosx10例13.解方程3sinx2cosx02sin2x3s

6、inxcosx2cos2x0文案大全标准适用例14.解方程：(1)3sin2xcos2x1(2)5sin3x12cos3x6.5思虑：引入协助角，化为最简单的三角方程文案大全标准适用例15.解方程2sin2x3cosx0例16.解方程：tan(xx)2cotx4)tan(4文案大全标准适用例17.已知方程sinx3cosxa0在区间0,2上有且只有两个不一样的解，务实数a的取值范围。说明对于两个相等的同名三角函数所构成的三角方程，可直接利用以下关系获得方程的解（1）sinsin，则2k或2k,kZ；（2）coscos，则2k或2k,kZ；（3）tantan，则k,kZ三、同步练习：反三角函数1

7、.arctan(tan3)的值是()5A.3B.2C.2D.355552.以下关系式中正确的选项是()文案大全标准适用55sinarcsinA.arccoscosB.3443C.arccoscoscosarccosD.arctan(2)arccot(1)4423.函数f(x)arcsin(tanx)的定义域是()A.,B.k,kkZ4444C.k,(k1)4kZD.2k,2kkZ4444.在1,3上和函数yx相同的函数是()2A.yarccos(cosx)B.yarcsin(sinx)C.ysin(arcsinx)D.ycos(arccosx)函数yarctanx的反函数是.5.26.求ysi

8、nx在,3上的反函数.227.比较arccos5与arccot(1)的大小.428.研究函数yarccosxx2的定义域、值域及单一性.文案大全标准适用9.计算:cosarccos4arccos5513求以下函数的定义域和值域：(1)yarccos1;(2)yarcsin(x2x);(3)yarccot(2x1),x文案大全标准适用11.求函数y(arccosx)23arccosx的最值及相应的x的值。简单的三角方程1.解以下方程.(1)tan2x1(2)sin5xsin3x2.方程sin2xsinx在区间(0,2)内的解的个数是.文案大全标准适用3.(1)方程tan3xtgx的解集是.(2)

9、方程sinxcosx2在区间0,4上的全部的解的和是.24.解方程sin2x23sinxcosxcos2x03文案大全标准适用参照答案：典型例题:例1.剖析与解：例2.剖析与解：文案大全标准适用例3.剖析与解：例4.剖析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单一性进行转变，又因为求x的取值范围，故需把x从反三角函数式中分别出来，为此只要对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不如采用正弦函数。文案大全标准适用例5.剖析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。例6.解：例7.(1)函数是以2为周期的周期函数当x,时，arcsin(sinx)x22

10、文案大全标准适用当x,3x其图像是折线，以下图：时，arcsin(sinx)22(2)arccosx0,yy1cos2(arccosx)1x2(x1)其图像为单位圆的上半圆（包含端点）以下图：例8.解：(0,)sin1cos23,cos42255x又(,3)cos1sin212213sin()sincoscossin3124556()()65513513(0,),sin3205242又sin5,(,3),arcsin513213又0553arcsin42134进而arcsin5665讲评：由题设(0,),(,3)，得(,2)由计算sin()562265arcsin56或2arcsin56，但,

11、是确立的角，因此6565的值也是独一确立的。因此一定确立所在的象限，在以上的解法中，由,的范围，再依据sin,cos的值，进一步获得(0,),(5)进而确立,44(,3)，故得出正确的答案：arcsin56265例9.解：（1）由1x2x1得15x15又22x2x(x1)211,1244f(x)的定义域为125,15，值域为0,arccos124文案大全标准适用又x15,1时，g(x)x2x单一递减，yarccosx单一递减，进而f(x)22递加f(x)的单一递加区间是15,1，同理f(x)的单一递减区间是1,125222（2）f(x)f(2x1)即arccos(x2x)arccos(2x1)

12、2(2x1)2122即arccos(x2x)arccos(4x2)41x2x114x211解不等式组得1x1不等式的解集为(1,1)42626x2x4x214例10.文案大全标准适用解集x|x=(k+arctg3)2，kZ例11.文案大全标准适用说明怎样求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让k取适合的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解例12.解：方程化为2cos2x3cosx30文案大全标准适用说明可化为对于某一三角函数的二次方程，而后按二次方程解例13.除以cos2x化为2tg2x-3tgx-2=0文案大全标准适用明对于sinx，cosx的次方程的解法：方程两

13、都除cosnx(n=1，2，3，)(cosx=0不是方程的解)，化对于tgx的方程来解例14.思虑：引入助角，化最的三角方程2x-30=k180+(-1)k30 x=k90+(-1)k15+15(kZ)因此解集是x|x=k90+(-1)k15+15，kZ文案大全标准适用于是x=k60+(-1)k10+2238，(kZ)原方程的解集为x|x=k60(-1)k10+2238，kZ文案大全标准适用最简单的三角方程例15.解原方程可化为2(1cos2x)3cosx0，即2cos2x3cosx20解这个对于cosx的二次方程，得cosx2，cosx12由cosx2，得解集为；由cosx1，得解集为xx2

14、k2,kZ23文案大全标准适用因此原方程的解集xx2k2,kZ3明方程中的sin2x可化1cos2x，原方程即可当作以cosx未知数的一元二次方程，当0，可用因式分解将原方程化成两个最方程，进而求得它的解例16.解：tg(x)tg(x)2ctgx1tgx1tgx2441tgx1tgxtgx,去分母整理得tg2x1,tgx3,xk,kZ,336由依据定知xk,x4k,xk,kZ,422即xk,xk3,xk,而中又增添了限制条件xk,k442Z,即从到有可能根，xk,算xk是原方程的根，22原方程的解集是x|xxk或xk,kZ62例17.解：由sinx3cosxa0得2sin(x)a,sin(x3

15、)a,322a2x0,2,x3,2,33又原方程有且只有两个不一样的解，a2,a2,即|a|2，原方程只有一解；又当a3，sin(x)3，得x3或2或7,32333解得x0或x或x2,此原方程有三个解，a(2,3)(3,32).文案大全标准适用同步练习:CCBB7.arccos5arccot(1)4210.解：(1)yarccos1,01,0arccot(2x1)3,xR,4y(0,3).4解：函数y(arccosx)23arccosx,x1,1,arccosx0,设arccosxt,0t,yt23t(t3)29,24当t3时,即xcos3时,函数获得最小值9，224当t时,即x1时，函数获得

16、最大值23.简单的三角方程:1.解以下方程.(2)5x=2k+3x或5x=2k+-3xxk或x2k18kZ解：作出函数ysin2x和ysinx的图象，由图象知，它们的交点有3个。文案大全标准适用yO2x3.解：xtanx,3xxxk,因为定义域为3x,x(1)tan3k,2k2k,2原方程的解集为x|xk,kZ.(2)sinxcosx2,sin(x)1,x2k或x2k2424645,6x2k或x2k7,kZ,又x0,4,全部的的解为7,21212127,122,4,它们的和为9.12124.解一因为cosx（使cosx0的x的值不行能知足原方程），因此在方程的0两边同除以cos2x，得tan2x23tanx103解对于tanx的二次方程，得tanx3，tanx33由tanx3，得解集为xxk,kZ；3由tanx3，得解集为xxk,kZ36因此原方程的解集为xxk,或xk6,kZ3文案大全标准适用说明若方程的每一项对于sinx及cosx的次数都是相同的（此题都是二次）,那么这样的方程叫做对于sinx及cosx的齐次方程它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，而后求解解二降次得1cos2x3sin2x1cos2x0，232化简得3sin2xcos2x03因为cos2x0（使cos2x0的x的