t分布的概念及表和查表方法

1、t分布介绍在概率论和统计学中，学生t-分布（t-distribution）,可简称为t分布，用于根据 小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知（例如在样本数量足 够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。t分布曲线形态与n （确切地说与自由度df）大小有关。与标准正态分布曲线相比，自 由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大， t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=8时，t分布曲线为标准正态分布曲线。中文名t分布应用在对呈正态分布的总体外文名t-distribution别称学生t分布学科概率论和统计学相关术语t检验目录1历史

2、2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生t-分布（Students t-distribution）经常应用在对呈正态分布的总体的均值 进行估计。它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测定的基础。t检定改进了 Z检定（en:Z-test）, 不论样本数量大或小皆可应用。在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的 样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。在数据有三组以上时，因为误差无法 压低，此时可以用变异数分析代替学生t检定。当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。学生t-分布可简称为t分布。其推导

3、由威廉戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿 酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。之后t检验以及 相关理论经由罗纳德费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。定义由于在实际工作中，往往o是未知的，常用s作为。的估计值，为了与u变换区别，称为t变换， 统计量t值的分布称为t分布。 TOC o 1-5 h z 工+假设X服从标准正态分布N(0,1)，丫服从分布，那么 门：的分布称为自由度为n的t分布，记为/。分布密度函数一 ，其中，Gam(x)为伽马函数。T 0 之 d二- Hpuri扩展正态分布(normal distribu

4、tion)是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。 正态分布有两个参数，P和o,决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便，常将一般的正态变量X通 过u变换(X-|j)/o转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为尸0, o=1的标准正态 分布(standard normal 1$廿匕戊6门)，亦称u分布。根据中心极限定理，通过上述的抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定n，抽取若干个样本时， Cf ?样本均数的分布仍服从正态分布，即N(m,T )。所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标准正态分布N (0,1)。特征1.以0为中心，左右对称的单峰分布；

5、2. t分布是一簇曲线，其形态变化与n （确切地说与自由度df）大小有关。自由度df越小，t分布曲线越 低平；自由度df越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线，如图：*-5-4-3 a2 -*1012 S- -4 Ht（n）分布与标准正态N（0,1）的密度函数。3.随着自由度逐渐增大，t分布逐渐接近标准正态分布。对应于每一个自由度df,就有一条t分布曲线，每条曲线都有其曲线下统计量t的分布规律，计算较 复杂。学生的t-分布（或也t分布），在概率统计中，在置信区间估计、显著性检验等问题的计算中发挥重 要作用。t分布情况出现时（如在几乎所有实际的统计工作）的总体标准偏差是未知的，并要从数

6、据估算。教 科书问题的处理标准偏差，因为如果它被称为是两类：（1 ）那些在该样本规模是如此之大的一个可处理的数据为基础估计的差异，就好像它是一定的；（2 ）这些说明数学推理，在其中的问题，估计标准偏差是暂时忽略的，因为这不是一点，这是作 者或导师当时的解释。置信区间W一 假设数量A在当T呈t-分布（T的自由度为n -1）满足A 丁!。用。 这与是相同的。A是这个概率分布的第95个百分点。那么Pr（-A aUo,9 Prx- ”幻十4凡二 值9SM诉等价于 而例凡 因此p的90%置信区间为：V,；。计算下表列出了自由度为1-30以及80、100、120等t-分布的单侧和双侧区间值。例如，当样本数

7、量n=5 时，则自由度df=4,我们就可以查找表中以4开头的行。该行第5列值为2.132,对应的单侧值为95%（双侧值为90%）。这也就是说，T小于2.132的概率为95% （即单侧），记为Pr（- T 2.132） = 0.95； 同时，T值介于-2.132和2.132之间的概率为90% （即双侧），记为Pr（-2.132 T 2.132） = 0.9。这是根据分布的对称性计算得到的。Pr( T -2.132) = 1 - 0.95 = 0.05因此，Pr（-2.132 T 2,132） = 1 - 2（0.05） = 0.9注意关于表格的最后一行的值：自由度为无限大（n=120）的t-分布

8、和正态分布等价。（查表时注意:v是指自由度，并分单侧和双侧两种类型）（右侧的示意图是单侧检验的情形）（下图是左右、双侧等检验的情形）单侧75%_80%85%_90%95%-97.5%99%-99.5%_99 75%-99.9%-99 95%_双侧50%60%70%80%90%95%98%99%99.5%99.8%-99.9%(V)121.0000 8161.3761 0611.9631 3863.0781 8866.3142 92012.714 30331.826 96563.669 925127.314 09318.322 33636.631 603_065_-0.978-_150_-U63

9、8-2.353_-X182_4.54-5.841-753_101_12.92L0410.941-190U5332322JZ63474.604-5.5982.1738.610560.7270 7180.9200 9061.1561 1341.4761 4402.0151 9432.5712 4473.3653 1434.0323 7074.7734 3175.8935 2086.8695 9597_QJ11_-0.896-1.119_115_-U895-2.365-2.998-399-4.029_48550880060.8891081.397U8602.3062.8963.3553.8334.5

10、01-5.049100.7030 7000.8830 8791.1001 0931.3831 3721.8331 8122.2622 2282.8212 7643.2503 1693.6903 5814.2974 1444.7814 58711-0.697-0.876_UQ88_-1.363-U96_201_2J18-3.106-X497_4.0254.437120.6950.873UQ831,356U822,1792,6813,055X4283,9304,318130 6940 8701 0791 3501 7712 1602 6503 0123 3723 8524 221140 6920

11、8681 0761 3451 7612 1452 6242 9773 3263 7874 140150.6910.866L-0Z41411 7532,1312,6022.9473.863 7334 073160.6900. 8651. 0711 . 3371. 7462 . 1202 . 5832 . 9213 . 2523 . 6864 . 015170.6890. 8631. 0691 . 3331. 7402 . 1102 . 5672 . 8983 . 2223 . 6463 . 965180 6880 8621 0671 3301 7342 1012 5522 8783 1973 6

12、103 922190 6880 8611 0661 3281 7292 0932 5392 8613 1743 5793 883200.6870. 8601. 0641 . 3251. 7252 . 0862 . 5282 . 8453 . 1533 . 5523 . 850210 6860 8591 0631 3231 7212 0802 5182 8313 1353 5273 819220 6860 8581 0611 3211 7172 0742 5082 8193 1193 5053 792230.6850.858L-0601191142,0692,5002.8073.10438536

13、7240.6850. 8571. 0591 . 3181. 7112 . 0642 . 4922 . 7973 . 0913 . 4673 . 745250 6840 8561 0581 3161 7082 0602 4852 7873 0783 4503 725260 6840 8561 0581 3151 7062 0562 4792 7793 0673 4353 707270 6840 8551 0571 3141 7032 0522 4732 7713 0573 4213 690280 . 6830. 8551. 0561 . 3131. 7012 . 0482 . 4672 . 76

14、33 . 0473 . 4083 . 674290 6830 8541 0551 3111 6992 0452 4622 7563 0383 3963 659300 6830 8541 0551 3101 6972 0422 4572 7503 0303 3853 646400.6810.851L-0501 303L-6842,0212 423204-2-9X13.3073.551500 . 6790. 8491. 0471 . 2991. 6762 . 0092 . 4032 . 6782 . 9373 . 2613 . 496600 6790 8481 0451 2961 6712 000

15、2 3902 6602 9153 2323 460800 6780 8461 0431 2921 6641 9902 3742 6392 8873 1953 416100-0.677-0.845-UQ42190-U660-U984-2.364-2X26-2.871-3,174-X3901200 . 6770. 8451. 0411 . 2891. 6581 . 9802 . 3582 . 6172 . 8603 . 1603 . 373无穷大一0 6740 8421 0361 2821 6451 9602 3262 5762 8073 0903 291如何查t分布表1、本表是自由度V和下侧概率P给出t分布的分位数tp(v)。例：对