气体动理论基础

1、第10章气体动理论基础教学基本要求掌握系统、平衡态、温度、状态方程、准静态过程等概念；理解并掌握理想气体的压强公式、温度的统计解释；掌握波耳兹曼分布率的简单应用。理解能量均分定理，掌握理想气体内能的计算；理解并掌握麦克斯韦速率分布律的意义及其简单应用；掌握平均自由程和平均碰撞频率及其简单应用。教学内容提要气体动理论，是从物质的微观结构出发，依据每个粒子所遵循的力学规律，用统计的观点和统计平均的方法，寻求宏观量与微观量之间的关系，研究气体的性质。本章从气体分子微观模型出发，揭示理想气体压强产生的原因和实质，然后用压强的微观表示式与理想气体状态方程进行比较，得到平均平动动能与温度的关系式，从而说明

2、温度的微观本质。接着介绍理性气体平衡状态下的几个统计规律：能量均分定理、麦克斯韦速率分布律和波耳兹曼分布率、平均碰撞次数和平均自由程等。1热力学系统的微观量、宏观量平衡态及准静态过程热力学系统由大量作无规则运动的粒子组成，简称系统。微观量描写系统中单个粒子运动状态的物理量。宏观量描述系统整体特性的物理量。平衡态一个与外界没有联系的孤立系统，不管它开始时处于何种状态，经过一段时间以后，都会达到一个宏观性质不随时间变化的状态，这样的状态称为平衡态。平衡态的气体常用宏观量压强p、体积V和温度T等状态参量描述。准静态过程如果过程进行得十分缓慢，使其中的每一步所经历的时间均比驰豫时间长的多，则每一步都有

3、充分的时间来建立新的平衡态，使过程中的每一中间状态均可以近似看作平衡态，这样的过程称为准静态过程。理想气体的状态方程pV二M-TT，其中M为物质的质量，M为物质的摩尔质量MmolmolNp=成T，其中n=v为分子数密度理想气体的压强公式1212=mmv2=n，33t其中r=t2.为分子平均平动动能4玻耳兹曼分布Ein=AekT式中A为待定常量，大小由气体的温度、气体的总分子数及分子本身的属性决定，e史称为玻耳兹曼因子，它是决定分子按能量分布的关键因素。.统计规律和速率分布函数统计规律存在于大量无规行为或偶然事件中的群体规律。统计规律随条件变化而变化。速率分布函数八短二dN7速率分布函数八短二d

4、N7，其物理意义是：在平衡态下，速率在v值附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率，也表示一个分子的速率出现在v值附近单位速率区间的概率。速率分布函数必须满足归一化条件由速率分布函数八的和总分子数N,可得速率区间的分子数速率区间的分子数比率为分布曲线下微元矩形的面积。速率区间的分子数速率区间的分子数比率为分布曲线下的面积。.各种速率的统计平均值平均速率审=时（切血方均速率.理想气体的麦克斯韦速率分布函数TOC o 1-5 h z麦克斯韦分布的最概然速率V二四二巨.1.41：RTLpmmMMMmolmol麦克斯韦分布的平均速率V=8kT-=：”空氏1.60：旦兀m、兀MMMmmolTmol麦克

5、斯韦分布的方均根速率、不二亘二包.1.73：TLm：MMmmolTmol.理想气体的能量分子平均平动动能（温度公式）r=3kTt2分子平均动能r=LkTk2理想气体的内能E=陇LkT=四LrT，其中|!=-M-表示气体a22M的摩尔数，i=t+r为分子自由度，t=3为平动自由度，/为转动自由度。单原子分子r=0,i=3，双原子分子r=2,i=5，多原子分子r=3,i=6。.平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率Z=.J2n冗d2V平均自由程无=严22dd2p重点和难点分析理想气体状态方程系统处于平衡状态时，具有一些可确定的宏观属性，这样的属性可以用相应的物理量来表示，从这些物理量中选取一些相互独

6、立的、由系统本身性质决定的物理量来描述系统的平衡态，这些物理量称状态参量。状态参量之间的关系式叫系统的状态方程。在任意平衡态下，理想气体可以用压强p、体积V，温度T3个状态参量来描述，它们之间的关系式称理想气体状态方程。pVMmolpVMmolRT上式还可以改写为p=nkTn为单位体积内气体分子数。对于一定质量的理想气体，从一个平衡态(p,V,T)变化到另一个平衡态(p,V,T)时，其状态参量之间的关系是：111222pVpV-1=22TT12若在状态变化过程中，质量发生变化，上式不成立。对于实际气体，在压强不太大，温度不太低的情况下，可近似地当作理想气体来计算。理想气体的压强为了推导理想气体

7、的压强公式，首先在一定实验事实的基础上，提出了理想气体分子的微观模型：把理想气体分子看成是弹性小球并能自由运动的质点，然后根据力学规律计算单个分子对器壁碰撞的平均冲力；利用统计平均的方法，计算大量气体分子对器壁的平均冲力的总和。最后用气体压强的定义容器壁单位面积上所受气体的作用力，导出理想气体压强公式。2_p=n3t从压强公式的导出可以看出，上式表明了宏观量p与微观量不、n之间是一个统计规律的关系，注意，统计规律中未考虑外场的作用，忽略了重力。从微观看，个别分子对器壁的碰撞是断续的，作用在容器壁上的冲力的大小是不确定的、有起伏的，只有当所取容器壁单位面积足够大，观测时间足够长时，大量气体分子连

8、续不断地作用在器壁单位面积上的平均冲力才有确定的值。气体压强应该时大量分子对容器壁不断碰撞的统计平均结果，p是一个统计平均值。温度的统计解释温度是一个直接表征系统热平衡状态的宏观物理量，气体分子平均平动动能与温度的关系式为=1mV2=3kTt22上式表明温度是分子平均平动动能的量度。而分子平均平动动能是大量分子热运动的一个统计平均值，因而温度也是一个统计平均值。分子平均平动动能不包括气体有规则运动提供的分子平动动能，只有分子无规则热运动的平均平动动能才对温度有贡献。气体分子永不停息作无规则热运动，平均平动动能不可能为零，因此，热力学温度不能达到零度。处于平衡状态下不同的热力学系统，只要温度相同

9、，则分子平均平动动能相同，与分子种类无关。能量按自由度均分定理气体分子的自由度需要根据其结构进行具体分析才能确定。能量按自由度均分定理是在平衡态下，大量分子无规则热运动碰撞的结果，是经典统计物理学的结论。对于个别分子来说，在任一瞬时，每一自由度上的能量和总能量完全可能与能量均分定理所得的平均能量值有很大的差别，而且每一种形式的能力也不一定按自由度均分。在温度不高时，因分子运动表现出明显的量子特性，这原理就不适用了。能量均分定理可用来计算理想气体的内能。在平衡态下，每一个自由度的平均动能均为1kT。一个自由度为/的气体分子，平均能量2为7=LkT。式中i=t+,其中t表示平动自由度，表示转动自由

10、度。k2对于理想气体，不计分子间相互作用力，分子间的势能可忽略。内能为气体分子平均能量之总和，即E=叫LkT=日-RTA22气体分子速率分布规律在平衡态下，因大量气体分子作无规则热运动，每个分子的速度、能量都在不断地发生变化，在任一时刻，每个分子的速度、能量大小完全是偶然的，但对大量分子整体而言，气体分子热运动的速率、速度和能量等都遵循着一定的统计规律。在某一平衡态下，气体分子具有向各个方向从零到无限大的各种可能速率。然而，气体分子在各个速率区间的分子数AN占总分组数N的百分比是存在确定的统计分布规律的，是速率v的确定函数，用f(v)表示，则f(f(v)=limAvf0AN_dNNAvNdv其

11、物理意义是：气体分子在速率v附近，处于单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。若以f(v)为纵坐标，v为横坐标，测得分子速率分布曲线如图10.1所示，图中窄条面积为f(vf(v)dv=dNdv=NdvdNN表示速率v附近dv区间内的分组数占总分子数的比率。曲线下的总面积表示分布在08的速率区间内所有分子与总分组数的比率，其值等于1,即f(v)满足rf(v)dv=i的归一化条件。图10.1分子速率分布曲线平均碰撞频率和平均自由程在任一时刻，大量分子的无规则运动，使得分子在连续两次碰撞之间所经过的自由路程是无规则的，真正意义的是这些自由路程的统计平均值。同样，大量分子的无规则热运动，使得分子在单

12、位时间内与其他分子碰撞的次数布确定，具有偶然性，有意义的是其平均碰撞频率。平均碰撞频率、平均自由程和平均速度三者之间的关系式为例题分析例10.11mol氢气，在温度为27时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?解：理想气体分子的能量E=u-RT2平动动能转动动能r23平动动能转动动能r23E=-x8.31x3003739.5Jt2E=2x8.31x3002493Jr2内能i-58.31x3006232.5J例10.2说明下列各物理量的物理意义(1)f(1)f(v)dv(2)nf(v)dv(3)Nf(v)dv(4)Iv(4)Ivf(v)dv0(5)卜f(v)dv0(6)卜2Nf(v)dvv1解

13、：f(v”表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.(1)f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比.(2)nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度.(3)Nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数.(4)fvf(v)dv:表示分布在vv区间内的分子数占总分子数的百分比.012(5)卜f(v)dv：表示分布在。8的速率区间内所有分子，其与总分子0数的比值是1.(6)卜2Nf(v)dv:表示分布在vv区间内的分子数.v1例10.3设由N个粒子，其速率分布函数为av

14、v0f(x)=2a-vv00作出速率分布曲线；(2)由n和v求a的值；0(3)求v;p(4)求N个粒子的平均速率v;(5)求速率介于0%之间的粒子数；2(6)求，v区间内粒子的平均速率v。20解(1)速率分布曲线例10.3所示。(2)由分布函数必须满足归一化条件，即卜f(v)dv=10有Jf(v)dv=-ax2v=1020所以1所以av0（3）由v的物理意义知v（3）由v的物理意义知vppv0（4）N个粒子的平均速率vJvJvdNJvf(v)dvJ0N0aav(一v)dv+J2vov(2a一一v)dv=vvvv0000（5）0（5）0”的粒子数aNvdvAN=Jv0dN=Jv0Nf(v)dv=Jv0N(a-v)aNvdv0v0（6）v02v内平均速率v（6）v02v内平均速率v00vdN-%v=ANJv0vNf(v)dv%v0Nf(v)dvvo2Jvov(a-v)dv；v0=0.778vJv0O-vddy%v20布率E_布率E_EpnnekT，0_mgynne_kTy0例10.4