焦点三角形的性质

1、椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上随意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题存心地观察了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.一焦点三角形的形状判断及周长、面积计算例1椭圆上一点P到焦点F1,F2的距离之差为2，试判断PF1F2的形状.解：由x2y21椭圆定义：1612|PF1|PF2|8,|PF1|PF2|2.|PF1|5,|PF2|3.又|F1F2|4，故满足：|PF2|2|F1F2|2|PF1|2,故PF1F2为直角三角形.说明：观察定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.性质一：已知椭圆方程为x2y2b0),两焦点分别为F1,F2,设

2、焦点三角形a1(a2b2PF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan。2(2c)222PF22PF2cosF1F2PF12PF1(PF1PF2)22PF1PF2(1cos)PF1(PF1PF2)24c24a24c22b2PF22(1cos)2(1cos)1cosSFPF21PF1PF2sinb2b2tan121cos2性质二：已知椭圆方程为x2y2b0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角a21(ab2形PF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PFaex，PF1aex1ooPF1222(PF1PF2)22PF1PF24c2在F1

3、PF2中，cosPF1F1F22PF1PF22PF1PF24a24c24b21=2b212PF1PF212e2xo22(aexo)(aexo)aax0axo2a22性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2ba性质四：已知椭圆方程为x2y21(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形22abPF1F2中F1PF2,则cos12e2.证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：r12r222(r1r2)22r1r24c22a22c2F1F2cos2r1r22r1r212r1r22a22c212a22c2112e2.命题得证。2(r1r2)22a22

4、（2000年高考题）已知椭圆x2ya2b221(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得F1PF21200,求椭圆的离心率e的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos120012e2.即112e2,2于是获取e的取值范围是3,1.2性质五：已知椭圆方程为x2y2b0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形a1(a2b2PF1F2，PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率esin(sin)。sinPF1F2,PF2F1,由正弦定理得：F1F2PF2PF1sin(180o)sinsin由等比定理得：F1F2PF1PF2sin()sinsinF1F22cPF1PF22a而)sin()，sinsinsinsin(sincsin()esin。asin已知椭圆的焦点是F1(1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项求椭圆的方程；若点P在第三象限，且PF1F2120，求tanF1PF2解：(1)由题设2F1F2PF1PF22a，又2c2，b3椭圆的方程为x2y213设F1PF2，则PF2F1601椭圆的离心率e2则1sin(180o)sin，2sin12