轮换对称不等式的证明技巧

1、轮换对称不等式的证明技巧(3)轮换对称不等式的证明技巧(3)7/7轮换对称不等式的证明技巧(3)轮换对称不等式的证明技巧第1页共7页轮换对称不等式的证明技巧关注微信公众号“高中数学商议会”，获取更多数学资料轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完好可以程式化证明，供参照。一、凑项升幂法例1已知x,y,zR，且xyz1，求证：4x14y14z121解析：由于当xyz1时，上述不等式的“=”成立，于是4x14y14z17。33证明：由于274x174x1，所以4x13(2x5)，同理4y13(2y5)，3377

2、3(2z5)，上述三式相加，并将xyz1代入化简即得证。4z17二、凑项降幂法例2证明Cauchy不等式a2a2a2(aa2a)21n12nn证明：设a1a2an2a)22aai，所以n2a)22ana，则ai(nain(ai，ni1nni1即a2a2a2(aa2a)2。1n12nn三、凑项去分母法例3设x1,x2,xn是正数，且x1x2xn1，求证：x12x22xn21xn21（1990年第24届全苏数学奥林匹克十年级题）x1x2x2x3xn1xnxnx12解析：由于当xxxn1时等号成立，于是xi21(xixi1)。12nxixi14x21证明：设xx，由于i(xxi1)xxixi14所以

3、nxi21(nxnx1)nx，即nxi2i1xx4i1iiii1xixi1i1i1i1i例4设a,b,cR，且abc1，求证：11a3(bc)b3(ca)。23（1995年第36届IMOc3(ab)2题2）轮换对称不等式的证明技巧第2页共7页证明：原不等式等价于b2c2c2a2a2b23a(bc)b(ca)c(ab)2当a=b=c=1时等号成立，此时b2c21a(bc)，所以，b2c21abc)bc，同理，a(bc)4a(bc)4c2a21a)ca，a2b21cab)ab，上述三式相加并化简得b(ca)c(ab)44b2c2c2a2a2b21(abbcca)33abbcca3a(bc)b(ca

4、)c(ab)222例5设角A、B、C满足cos2Acos2Bcos2C1求证：1119sin2Asin2Bsin2C2解析：原条件等价于sin2Asin2Bsin2C2，当sin2Asin2Bsin2C2时等号成立，于是319sin2A3，19sin2B3，19sin2C3上述三式相加并化简得证，证明略。sin2Asin2C4sin2B44四、凑项平衡系数法例6设z0，zxy，则x2y2z26(yzzxxy)。5解析：当x=y=z时等号成立。2证明：由于x2(z)2xz，y2(z)2yz，3(x2y2)3xy，将上述三式相加并化简得，222x2y2122(xzyz)6xyz555所以，x2y2

5、z24z22xzyz6xy426(z(xy)(xzyz)xy555555即x2y2z26(yzzxxy)。5注：只有式的系数凑成3，式中xy的系数才能是6。25上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的要点是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。注：本文公布于上海中学数学2003年第6期轮换对称不等式的证明技巧第3页共7页关注微信公众号的方法：点击微信右上角“+”号，选择“增加朋友”进入后选择“公众号”轮换对称不等式的证明技巧第4页共7页输入“高中数学商议会”，并点击找寻找到后点击“高中数学商议会”，并关注轮换对称不等式的证明技巧第5页共7页关注微信直播间的方法：（不如期会有数学学霸给大家直播讲课）方法一：（有微信的同学）关注我们微信公众号“高中数学商议会”后，点击下面菜单栏中的“课程直播”即可轮换对称不等式的证明技巧