创新设计直线平面简单几何体95市公开课金奖市赛课一等奖课件

了解多面体、凸多面体概念/了解正多面体概念/了解球概念/掌握球性质/掌握球表面积和体积公式

第51课时球与多面体第1页1．多面体概念：由若干个多边形围成空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体面，两个面公共边叫多面体棱，棱和棱公共点叫多面体顶点，连结不在同一面上两个顶点线段叫多面体

．2．凸多面体：把多面体任一个面展成平面，假如其余面都位于这个平面

，这么多面体叫凸多面体．3．凸多面体分类：多面体最少有

面，按照它面数分别叫四面体、五面体、六面体等．对角线同一侧四个第2页4．球概念：与定点距离

定长点集合，叫做球体，简称球．定点叫球心，定长叫球半径．与定点距离等于定长点集合叫做球面．一个球或球面用表示它球心字母表示，比如球O.等于或小于5．球截面

用一平面α去截一个球O，设OO′是平面α垂线段，O′为垂足，且OO′＝

d，则它们交线上任一点P，是一个定值，这说明交线是到定点O′距离等于定长点集合．所以，一个平面截一个球面，所得截面是以球心在截面内射影为圆心，以r＝为半径一个圆，截面是一个

．球面被经过球心平面截得圆叫做

，被不经过球心平面截得圆叫做

．圆面小圆大圆第3页6．两点球面距离：球面上两点之间最短距离，就是经过这两点大圆在这两点间一段

长度，我们把这个弧长叫做两点球面距离．劣弧第4页1．如右图，已知A、B、C是表面积为48π球面上三点，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，

O为球心，则二面角O－AB－C大小为()A.B.C．arccosD．arccos第5页解析：由4πR2＝48π，∴R2＝12；而AC2＝4＋16－2×2×4×＝12，

∴∠CAB＝90°.故O在△ABC上射影为BC中点O1，过O作OE⊥AB于E，则E为AB中点，∠OEO1为二面角O－AB－C平面角，而O1E＝，OE＝，

∴cos∠OEO1＝，故选D.答案：D第6页2．如右图，正四棱锥P－ABCD底面四顶点A、B、C、D在球O同一个大圆上，点P在球面上，假如VP－ABCD＝，则球O表面积是()A．4π B．8πC．12π D．16π解析：由题知正四棱锥高为球半径R，底面边长为R，∴

解之，得R＝2.∴S球＝4πR2＝16π，选D.答案：D第7页3．(·四川)如图，半径为3球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，

BA＝BC，球心O到平面ABC距离是，则B、C两点球面距离是()A.B．πC.D．2π第8页解析：如图，取AC中点O1，连接OO1、OA、OB、OC、O1B，在Rt△OO1C中，O1C＝，又OO1＝O1B＝O1C，则△BOC为正三角形，∠BOC＝，则B、C两点球面距离为π.答案：B第9页4．(·湖南)在半径为13球面上有A、B、C三点，AB＝6，BC＝8，CA＝10，则(1)球心到平面ABC距离为________．(2)过A、B两点大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)正切值为________．第10页过O′作O′D⊥AB，连接OD，则∠O′DO为过A、B两点大圆面与平面ABC所成二面角平面角，在Rt△OO′D中，OO′＝12，DO′＝BC＝4，tan∠O′DO＝＝3.答案：(1)12(2)3解析：如图，连接OA、OB、OC，过O作OO′⊥平面ABC，由已知条件CA2＝AB2＋BC2，则△ABC为直角三角形，又OA＝OB＝OC＝13，则O在平面ABC内射影是Rt△ABC外心，即O′是AC中点，在Rt△OO′C中，OO′＝＝12.第11页1.平面截球所得截面是圆面，要充分利用圆性质． 球截面圆半径为r，球心到截面距离为d，球半径为R，三者之间关 系是r2＝R2－d2.2．相关球问题普通要转化为三棱锥问题处理．第12页【例1】如图，已知A，B，C三点在球心为O，半径为R球面上，AC⊥BC，且AB＝R，那么A，B两点球面距离为________，球心到平面ABC距离为________．解析：由AC⊥BC可知，AB为截面圆ABC直径，又AB＝R可知球心角∠AOB＝，故A、B两点球面距离为l＝R.由OA＝OB＝OC＝R知O在平面ABC上射影D是△ABC外心，又AC⊥BC，则D是AB中点，

可在正△OAB中求出OD＝R.

答案：

第13页变式1.过半径为2球O表面上一点A作球O截面，若OA与该截面所成角是60°，则该截面面积是()A．πB．2πC．3πD．2π

解析：如图，设截面圆心为O′，连结OO′，O′A，则∠OAO′为OA与截面所成角，即∠OAO′＝60°，

∴r＝Rcos60°＝

R＝1，S＝πr2＝π，故选A.答案：A第14页计算A、B两点间球面距离关键是搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念，详细步骤是：(1)计算线段AB长度；(2)计算A、B到球心O张角；(3)计算大圆在A、B两点间所夹劣弧长．第15页【例2】设地球半径为R，在北纬45°圈上有两个点A、B，A在西经40°，

B在东经50°，求A、B两点间纬线圈弧长及A、B两点间球面距离．解答：如图，设45°纬线圈中心为O1，地球中心为O，则∠AO1B＝40°＋50°＝90°，又∵OO1⊥圆O1所在平面，∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B.第16页又∵A、B在北纬45°圈上，∴∠OBO1＝∠OAO1＝45°，∴O1A＝O1B＝O1O＝OA·cos45°＝R，∴在直角△AO1B中，∵AO1＝BO1，∴AB＝AO1＝R，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝，∴在45°纬线圈上，.在球面上，A、B两点球面距离为＝|α|·AO＝R，∴A、B两点间纬线圈弧长为πR，∴A、B两点间球面距离为R.第17页变式2.如图，设球O半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点球面距离都是，且二面角B—OA—C大小为，则从A点沿球面经

B、C两点再回到A点最短距离是()

解析：依球面距离定义知AO⊥平面BOC，且∠BOC＝，于是所行路线最短长度为三点间球面距离之和，故选C.答案：C第18页球与多面体之间“接”与“切”问题其基本解法是经过接、切公共点与球心作出截面，找出球半径与多面体元素关系．常考题型是球与长方体、正方体、正四面体等组合体．第19页【例3】将半径都为14个钢球完全装入形状为正四面体容器里，这个 正四面体高最小值为()解析：一个球与正四面体内切，则球心与正四面体顶点距离为球半径三倍，所以所求正四面体高最小值为：棱长为2正四面体高与球半径四倍和，即.答案：C第20页解析：本题考查与球相关组合体知识；如图设球半径为R，在直角三角形VAE中，有

,

在直角三角形OAE中有：,

两式联立解得：R＝3，故球表面积为：4πR2＝4π·32＝36π.答案：B变式3.正四棱锥V－ABCD五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2，则此球表面积为()A．18πB．36πC．72πD．9π第21页1．处理球相关问题要依据球性质将问题转化为多面体(通常是棱锥)问题处理，如例2及变式．2．要了解地球经、纬度相关知识，能够求出较为简单特殊球面上两点球面距离，而求球面距离关键是首先求出两点间距离.

【方法规律】

第22页(·全国Ⅰ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球表面积为________．第23页解析：在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝12，则BC＝，又