2021年湖南省邵阳市朝阳中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2021年湖南省邵阳市朝阳中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若圆与圆的公共弦长为，则的值为A.

B．

C．

D．无解参考答案：A略2.从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是(

)A、

B、

C、

D、参考答案：B3.已知实数a、b、c、d成等差数列,且曲线取得极大值的点坐标为(b,c),则等于（

）A.－1 B.0 C.1 D.2参考答案：B由题意得，，解得由于是等差数列，所以，选B.4.在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（

）参考答案：C5.某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50，100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为（

）A.81.5 B.82 C.81.25 D.82.5参考答案：C【分析】由中位数两边数据的频率和均为0.5，列出方程计算可得答案.【详解】解：因为，所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在[80，90）之间。设中位数为x，因为，所以所求中位数为.【点睛】本题主要考查中位数的定义与性质，其中中位数两侧的数据的频率和相等，为0.5.6.，则

A． B． C． D．参考答案：A7.等比数列的各项均为正数，且，则++…+=（

）A.12

B.10

C.8

D.

2+参考答案：B8.已知双曲线的离心率为，则m=A.4 B.2 C. D.1参考答案：B【分析】根据离心率公式计算．【详解】由题意，∴，解得．故选B．【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．9.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的图象可能是(

)参考答案：B略10.如图所示，已知则下列等式中成立的是（

）

A．

B．C．

D．参考答案：A

由，即。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是

▲

．参考答案：略12.甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为q，则q－p取得最大值时p=______参考答案：【分析】利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点.【详解】甲赢得比赛的概率：，令，则，令，解得：当时，；当时，即在上单调递增；在上单调递减当时，取最大值，即取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是根据条件将表示为关于变量的函数，同时需要注意函数的定义域.13.不等式恒成立，则的最小值为

；参考答案：略14.正方体中，是中点，则与平面所成角的正弦为

参考答案：略15.设点A、F（c，0）分别是双曲线的右顶点、右焦点，直线交该双曲线的一条渐近线于点P．若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．设双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得A（a，0），P（，），运用两点的距离公式，化简整理，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：显然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．设双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得A（a，0），P（，），可得=c﹣a，化简为e2﹣e﹣2=0，解得e=2（﹣1舍去）．故答案为2．16.若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为______.参考答案：17.直线m，n是两异面直线，是两平面，，甲：m∥，n∥，乙：∥，则甲是乙的

条件。参考答案：充要三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3×5=15，函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，∴所求事件的概率为．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．19.（本题满分12分）用长为18m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2∶1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．参考答案：高为1.5m时容器的容积最大，最大容积为3m3设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为由解得

，………………3分

故长方体的容积为………………6分从而

V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)，

………………8分当0<x<1时，V′(x)>0；当

时，V′(x)<0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)

………10分此时容器的高为4.5－3＝1.5m.因此，容器高为1.5m时容器的容积最大，最大容积为3m3.………………12分20.已知p：1≤x＜3；q：x2﹣ax≤x﹣a；若￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别求出关于p，q的x的范围，根据p，q的关系，从而确定a的范围．解答：解：p：1≤x＜3，q：x2﹣ax≤x﹣a?（x﹣1）（x﹣a）≤0，∵￢p?￢q，∴q?p，∴a≥1，∴q：1≤x≤a，∴实数a的范围是：[1，3）．点评：本题考查了充分必要条件，考查了命题之间的关系，是一道基础题．21.已知函数（1）当时，求函数g(x)的单调增区间；（2）求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值；（3）在（1）的条件下，设，证明：．（参考数据：）参考答案：（1）单调增区间是，；（2）时，；时，==；时，==.（3）证明详见解析.试题分析：（1）由可解得的单调增区间；（2），由此对进行分类讨论，能求出的最小值；（3）令，从而得到，由此能证明结论.(1)当时，，或。函数的单调增区间为(2)，当，单调递增，当，单调递减，单调递增，当，单调递减，（3）令=—，，，单调递减，，，∴

，==……=

（）点睛：导数法解决函数的单调性问题(1