广西届高三上学期教育质量诊断性联合考试理数试题含答案

2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.以下会集中，是会集Ax|x25x的真子集的是（）AB．(6,)C．(0,5)D．(1,5)．2,52.复数z37i的实部与虚部分别为（）iA．7，3B．7，3iC．7,3D．7,3i13.设alog25，blog26，c92，则（）A．cbaB．bacC．cabD．abc4.rr3,5)rrrrR），则x的值为（）设向量a(1,2)，b(，c(4,x)，若abc（A．11B．11C．29D．2922225.已知tan3，则2sincos等于（）sin3cosA．1B．5C．2D．23632xy70,则y的最大值为（）6.设x，y满足拘束条件xy20,x20,xA．3B．2C．1D．0237.将函数ycos(2x)的图象向左平移个单位后，获取f(x)的图象，则（）36A．f(x)sin2xB．f(x)的图象关于x对称C．f(713)D．f(x)的图象关于(,0)对称3212执行以下列图的程序框图，若输入的x2，n4，则输出的s等于（）A．94B．99C．45D．2039.直线y2b与双曲线x2y21(a0,b0)的左支、右支分别交于B、C两点，A为右a2b2极点，O为坐标原点，若AOCBOC，则该双曲线的离心率为（）A．10B．13C．15D．192222年年龄史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者检查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比率存在较好的线性相关关系，年龄在10,14，15,19，20,24，25,29，30,34的爱看比率分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表10,14，17代表15,19$4.68)%，由此，依照前四个数据求得x关于爱看比率y的线性回归方程为y(kx可推测t的值为（）A．33．35．37．39BCD某几何体是组合体，其三视图以下列图，则该几何体的体积为（）A．16B．328．168D．161633312.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,)上递减，若不等式f(axlnx1)f(axlnx1)2f(1)对x1,3恒建立，则实数a的取值范围为（）A．(2,e)B．1．1D．12ln3[,)C,ee,ee3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）(x1)7的张开式中x2的系数为．14.已知曲线C由抛物线y28x及其准线组成，则曲线C与圆(x3)2y216的交点的个数为．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个极点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为．我国南宋着名数学家秦九昭在他的着作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平方千米．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（本小题满分12分）某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记an表示第n排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列

an

2n

的前20项和

S20，求log2

S20

log2

20的值．（本小题满分12分）已知某智妙手体系作完成此后还需要依次经过三道严格的审察程序，第一道审察、第二道审察、第三道审察经过的概率分别为25，4，4，每道程序是相互独立的，且一旦审察不3255经过就停止审察，每部手机只有三道程序都经过才能出厂销售．（1）求审察过程中只经过两道程序的概率；（2）现有3部该智妙手机进入审察，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学希望．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，ACC1CC1B160，AC23．（1）求证：AB1CC1；（2）若AB132，11的中点为D1，求二面角CAB1D1的余弦值．AC20.（本小题满分12分）如图，F1，F2为椭圆C：x2y21(ab0)的左、右焦点，D，E是椭圆的两个极点，a2b2|F1F2|23，|DE|5，若点M(x0,y0)在椭圆C上，则点N(x0,y0)称为点M的一个ab“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试试讨AOB的面积S可否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．（本小题满分12分）已知函数

f(x)

4x2

1

a，

g(x)

f(x)

b，其中

a，b为常数．x（1）若

x

1是函数

y

xf(x)的一个极值点，求曲线

y

f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若函数f(x)有2个零点，f(g(x))有6个零点，求ab的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x3)2(y1)29，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（）直线OP：（R）与圆C交于点M、N，求线段MN的长．6（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知f(x)|x2||2x1|，M为不等式f(x)0的解集．（1）求M；（）求证：当x，yM时，|xyxy|15．22016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）答案一、选择题1-5:DAACB6-10:ABADB11、12：AD二、填空题21418三、解答题解：（1）由题可知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，an2n1n1（1n20）．∴此看台的座位数为(221)20230．2（2）∵S2022132221220，∴2S2022232321221，∴S2042223220212214221421221，∴S2020221，∴log2S20log220log222121．解：（1）设“审察过程中只经过两道程序”为事件A，则P(A)254(14)1．3255825441．（2）每部该智妙手机可以出厂销售的概率为32552由题意可得X可取0，1，2，3，则有P(X0)(11)31，P(X1)C3128P(X2)C32(1)2(11)3，P(X228

1(11)22(1)32

，，所以X的分布列为：0123故E(X)011323313（或133）．8888222（1）证明：连接AC1，CB1，则ACC1和B1C1C皆为正三角形．取CC1中点O，连接OA，OB1，则CC1OA，CC1OB1，从而CC1平面OAB1，CC1AB1．（2）解：由（1）知，OAOB13，又AB132满足OA2OB12AB12，所以OAOB1，OA平面B1C1C．以下列图，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C(0,3,0)，B1(3,0,0)，A(0,0,3)，C1(0,3,0)，A1(0,23,3)，D1(0,33,3)，22uruuuruuur设平面CAB1的法向量为m(x,y,z)，因为AB1(3,0,3)，AC(0,3,3)，3x3z0,ur(1,3,1)．所以3y3z取m0,ruuuur3,uuuur3,33,3)，设平面AB1D1的法向量为n，因为AD1(0,33)，B1D1(2222r3,1,3)．同理可取n(urrurr则cosurmnr3105，因为二面角CAB1D1为钝角，m,n5|m||n|735所以二面角CAB1D1的余弦值为105．35a2b25,20.解：（）由题可知2c23,解得a24,故椭圆C的标准方程为x221．2a2b2c2b1,4,（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则P(x1,y1)，Q(x2,y2)．22由OPOQ，即x1x2y1y20．（*）4①当直线AB的斜率不存在时，S1|x1||y1y2|1；2②当直线AB的斜率存在时，设其直线为ykxm（m0），联立ykxm,得(4k21)x28kmx4m240，x24y24,则16(4k21m2)，x1x24m24，4k21同理y1y2m24k2，代入（*），整理得4k212m2．4k21此时16m20，|AB|1k2|x1x2|1k2，h|m|，∴S1．|m|1k2综上，ABC的面积为定值1．21.解：（1）∵yxf(x)4x31ax，∴y'12x2a，∴12a0，即a12．又1f'(x)8xx2，∴f'(1)7，∵f(1)5a7，∴所求切线方程为y77(x1)，即y7x14．（2）若函数f(x)存在2个零点，则方程a4x21有2个不同样的实根，x设h(x)4x21，则h'(x)8x18x31，令h'(x)0，得x1；xx2x22令h'(x)0，得x0，0x1，∴h(x)的极小值为h(1)．22∵h(1)3，∴由h(x)的图象可知a3．211或g(x)1∵h(1)h()3，∴令f(g(x))0，得g(x)1，即f(x)b或222f(x)1b，而f(g(x))有6个零点，故方程f(x)1与f(x)1b都有三个不同样的解，b∴1b0且1b20，∴b1，∴ab2．222.解：（1）(x3)2(y1)29可化为x2y223x2y50，故其极坐标方程为223cos2sin50．（2）将6代入223cos2sin50