北京市西城区2020～2021学年高二数学下学期期末考试试题【含答案】

北京市西城区2020_2021学年高二数学下学期期末试题[]本试卷共5页，共150分。时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）与的等差中项是（A）（B）（C）（D）（2）已知函数，则（A）（B）（C）（D）（3）在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（A）（B）（C）（D）（4）如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（A）（B）（C）（D）（5）圆和圆的位置关系为（A）内切（B）相交（C）外切（D）外离（6）设是公比为的等比数列，且．若为递增数列，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（7）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的方差（A）（B）（C）（D）（8）在空间直角坐标系中，已知，且的面积为．过作平面于点．若三棱锥的体积为，则点的坐标可以为（A）（B）（C）（D）（9）记为数列的前项和．若，则（A）有最大项，有最大项（B）有最大项，有最小项（C）有最小项，有最大项（D）有最小项，有最小项（10）已知函数．若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知函数，则_____．（12）已知双曲线的焦距为，则实数_____；的渐近线方程为_____．（13）甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为．则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为_____．（14）用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）（15）已知点列，其中．是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…．记．则_____；_____．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知是等比数列，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等差数列满足，求的前项和．（17）（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．（18）（本小题15分）如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面之间的距离．（19）（本小题14分）某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：牙膏品牌销售价格市场份额（Ⅰ）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；（Ⅱ）（ⅰ）求的值；（ⅱ）（Ⅲ）品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）（20）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点．求证：为的中点．（21）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：．北京市西城区2020—2021学年度第二学期期末试卷高二数学答案 2021.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）C（3）D（4）D（5）C（6）C（7）B（8）B（9）A（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （13） （14）（15）注：（12）、（15）题第一空2分，第二空3分。三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）设等比数列的公比为． 由题设，， …………2分解得． …………4分所以． …………6分（Ⅱ）设等差数列的公差为．因为，所以． …………8分． …………10分所以的前项和． …………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）． …………2分令，得． …………4分与的变化情况如下：↗↘↗所以的单调递减区间为，单调递增区间为和． …………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以在区间上的最大值为． …………9分在区间上的最小值为． …………11分因为，且，所以在区间上的最小值为． …………13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）取的中点，连接．因为，且；，且，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以． …………1分在矩形中，因为分别为的中点，所以．所以． …………2分又平面， …………3分所以平面． …………4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系． …………5分则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即 …………7分令，则，，于是． …………8分设直线与平面所成角为，则． …………11分（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以直线与平面之间的距离为点到平面的距离． …………13分所以直线与平面之间的距离为． …………15分（19）（共14分）解：（Ⅰ）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件．由题设，． …………3分（Ⅱ）（ⅰ）由题设，品牌的牙膏抽取了管，品牌的牙膏抽取了管，所以． …………5分（ⅱ）随机变量的可能取值为．； …………6分； …………7分． …………8分所以的分布列为： …………9分的数学期望为． …………11分（Ⅲ）． …………14分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，得 …………2分解得，．所以椭圆的方程为． …………4分（Ⅱ）由题意，设直线的方程为．由得． …………5分由，得．设，，则，． …………7分=1\*GB3①当时，直线的方程为．令，得点的横坐标． …………8分同理可得点的横坐标． …………9分 …………10分． …………12分因为，所以．所以为的中点． …………13分=2\*GB3②当时，，．直线的方程为，可求得．所以直线的方程为，从而．此时依然有． …………15分综上，为的中点．（21）（共15分）解：（Ⅰ）函数的定义域为． …………1分且，． …………3分因为，，