陕西省西安市陕西师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

陕西师大附中2019—2020学年度第一学期期末考试高一年级数学《必修 2»试题一、选择题（本题共10小题，每小4分，共40分）.直线xy20的倾斜角为（ ）A.150° B.135° C.120° D.45°【答案】B【解析】【分析】根据方程*丫20,得丫X2,得到斜率为1,再由斜率和倾斜角的关系求解【详解】由xy20,得yx2所以斜率为1设倾斜角为则tan1因为 [0o,180o）TOC\o"1-5"\h\z所以 135°故选：B【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率及其关系，属于基础题 ^2.已知m,n是两条不同直线， ,,是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A.若mil,nil，则m||n B.若， ，则IIC.若mil,m||，则|| D.若m,n ，则m||n【答案】D【解析】【详解】A项，m,n可能相交或异面，当时，存在“礴旭，m/■施，故A项错误；B项，， 可能相交或垂直，当时，存在时沟,”播,故B项错误；C项，, 可能相交或垂直，当日时，存在便」喷，32寸，故c项错误；D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故 D项正确，故选D.

本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.平面外的三个不共点AB、C到平面的距离都相等，则平面ABC与平面的位置关系是（ ）A.相交B.平行A.相交B.平行C.重合D.相交或平行【解析】【分析】根据题意三个点分同侧和异侧，作出图形来再判断如图1,当A,B,C三点在平面 同侧时，平面ABC与平面 的位置关系是平行，如图2,当A,B,C三点在平面 异侧时，平面ABC与平面 的位置关系是相交，故选：D【点睛】本题主要考查平面与平面的位置关系，还考查了作图和空间想象的能力，属于基础题 ^.圆Oi：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【答案】B【解析】试题分析：由题意可知圆 Oi的圆心O11,0,半径ri1,圆O2的圆心O20,2,半径ri2,又ri QO2芯 ri 「2,所以圆Oi和圆O2的位置关系是相交，故选 B.考点：圆与圆的位置关系..如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点，则（）BMEN,且直线BM,EN是相交直线BMEN,且直线BM,EN是相交直线BMEN,且直线BM,EN是异面直线BMEN,且直线BM,EN是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.【详解】如图所示， 作EOCD于O,连接ON,过M作MFOD于F.连BF,Q平面CDE平面ABCD.EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD,MF平面ABCD,MFB与EON均为直角三角形.设正方形边长为 2,易知EOJ3,ON1EN2,MF—,BF5,BM77.BMEN,故选B.2 2

【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力,解答本题的关键是构造直角三角性.【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力,6.空间直角坐标系中，若A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,m),则当m取不同的实数值时，三角形ABC的形状A.锐角三角形B.直角三角形C.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】【详解】如图所示:因为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,m)所以ACAOBCBO所以ACBAOB90o同理CABCOB90o,CBACOA90o

所以三角形ABC的形状不可能是钝角三角形故选：C【点睛】本题主要考查空间直角坐标系和三角形的形状判断，还考查了空间想象和理解辨析的能力，属于中档题..若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴相切，则该圆的标准方程是（ ）一2 2一2 2(x2) (y1) 1\o"CurrentDocument"2 一2C.(x1) (y3) 12(x3)2 y- 132d.x-(y1)212试题分析：设圆心坐标为（a,b）（a>0,b>0）,由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=4a由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=4a3br1,化简得：|4a-3b|二5①，又圆与x轴相切，可得|b|=r=1,解得b=1或b=-1（舍去），1把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-—2（舍去），，圆心坐标为（2,1）,则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1.故选A考点：圆的方程的求解点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离 d等于圆的半径r,要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程..过直线yx上的一点作圆（x5）2（y1）22的两条切线in12,当直线L,%关于yx对称时，它们之间的夹角为（）A.30o B.45o C.60o D.90°

【解析】【分析】过圆心M作直线l：y=x垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条彳不难求出夹角为 60°.【详解】圆（x-5）2+（y-i）2=2的圆心（5,1）,过（5,1）与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0,它与y=x的交点N（3,3）,N至ij(51)距离是2应，圆的半径为N至ij(51)距离是2应，圆的半径为J2,两条切线li,⑵它们之间的夹角为230°60°♦9.已知圆APB90A.7由题意知，点2 矛/，/—y4 1的两点,m,入Bm,0^^0,若入g上存在点P，使得则m的最大值为（B ' 4P在以原点（0,0）.心，以m.径的圆上，又因为点.已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以m15,故选b^^^^h^^^^I ■考点：本小题主要考查两圆的位置关查数形结合反，考查分桐勺能力10.三棱锥SMNP中，SMSN,SMSP,SPSN,SM2,SN1,sp而.若SC为三棱锥30,则棱锥SABC的体积SMNP的外接球的直径，且A30,则棱锥SABC的体积最大为（ ）-32C.3-32C.3D.6【答案】B【解析】【分析】根据三棱锥SMNP可以补成一个以SM,SN,SP为邻边的长方体，求得外接球的直径.再根据ASCBSC30,在RtASC中，求得SA2J3,AC2,在RtBSC中，

— 、， 1SBC为定值，SB2品BC2,设点A到平面SBC的距离为h,VASBCsSSBCh,再根据SSBC为定值，若体积最大，则h最大求解.【详解】因为三棱锥SMNP中，SMSN,SMSP,SPSN,所以可以补成一个以SM,SN,SP为邻边的长方体,所以三棱锥SMNP的外接球即为长方体的外接球因为ASCBSC30,所以RtASC中，SA2>/3,AC 2,在RtBSC中，SB2亚BC2,设点A到平面SBC的距离为h,VASBC所以当h最大时，体积最大，由图可知，当平面ASC平面SBC时，h最大.ASACSC此时：V此时：VASBC——22\3 ,..3 23 2所以棱锥SABC的体积最大为2.故选：B【点睛】本题主要考查与球有关的外接问题和体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、填空愿(本题共5小题，每小题4分，共20分)11.直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为.【答案】xy10.【解析】21【详解】设圆心O,直线l的斜率为k,弦AB的中点为P,PO的斜率为kop,kop 则lPO,所以kkopk(1) 1k1由点斜式得yx1.12.已知点Ma,b在直线3x4y=15上，则Ja2b2的最小值为.【答案】3【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\z由题意可知Qb2表示点0,0到点a,b的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果 ^【详解】Ja2b2可以理解为点 0,0到点a,b的距离，又•••点Ma,b在直线l:3x4y25上，304015・•・Ja2b2的最小值等于点0,0到直线3x4y150的距离，且d——j 73.' <3242【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型 ^13.已知圆锥的底面半径为1,高为J15.要想从底面圆周上一点A出发拉一条细绳绕圆锥的侧面一周再回到A,则该条细绳的最短长度是.【答案】4,2【解析】【分析】根据展开图，通过底面周长得到弧长，通过母线得到扇形的半径，再求得圆心角，再利用三角形知识求解【详解】如图所示:4,当沿SA剪开，再展开后得到扇形SAA因为圆锥的底面半径为1,高为155所以底面周长Aa2r2,母线SA4TOC\o"1-5"\h\z在扇形SAA中，ASAAAA1 —1 SA 2所以AA 2SA4.2故答案为：4,2【点睛】本题主要考查空间展开图，弧长公式，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题 ..已知四棱锥的底面是边长为J2的正方形，侧棱长均为J5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.【详解】由题意四棱锥的底面是边长为 正的正方形，侧棱长均为J5,借助勾股定理，可知四棱锥的高为1，572,.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为 一，一个底面的圆22心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为 1,故圆柱的体积为 1 1一.2【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是.正任湖用 器日飘图\【答案】.7【解析】试题分析：该三棱车B底面是边长为 2的正三角形，面积为J3,有两个侧面是底边为2,高为2的直角三角形，面积为2,另一个侧面是底边为2,腰为2J2的等腰三角形，面积为"，所以面积最大的面的面积是.7.考点：三视图.三、解答题（本题共5小题，共60分）2.已知直线li：ax2y60和直线％：x（a1）ya10.l1与I2能否平行？ 什么？（口）l1l2时，求a的值.2【答案】（I）当a1时11与12平行（n）a—3【解析】【分析】（I）根据11与12平行，由aa1 2求解，再验证是否重合.（n）根据11 12,由a2a1 0求解.【详解】（I）若11与12平行，解得a2或a1.当a2时，直线li：xy30和直线£xy30.重合，当a1时，直线li：x2y60和直线l2：x2y0.平行，所以当a 1时11与12平行.TOC\o"1-5"\h\z(n)若l1 12则a2a1 0,“2 2解得a2.3【点睛】本题主要考查两条直线 位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题17.如图，正三棱柱ABCAB1C1中，E为AC的中点.(I)求证：AB|〃平面BEC1(I)求证：AB|〃平面BEC1；(n)若BB1BA,求异面直线AB1与【答案】(I)见解析;(1)连接B1(1)连接B1C,BQBC1 O,根据E,O为中点，由三角形的中位线，得到 ABJ/EO,再利用线面平行的判定定理证明（2）根据ABJ/EO,由异面直线所成的角定义，得到（2）根据ABJ/EO,由异面直线所成的角定义，得到CiEO为异面直线ABi与ECi所成角，再利用余弦定理求解.【详解】（1）如图所示:连接BiC,BiC BCi O因为E,O为中点所以ABi//EO,又因为ABi平面BECi,EO平面BECi所以AB〃平面BECi；(2)由(2)由(i)知ABJ/EO,所以C〔EO为异面直线ABi与ECi所成角设B&BAa,设B&BAa,CiB2a,CQ 1GB 二i 2i 2CiE CiC2 CE2因为，三棱柱ABCABiCi是正三棱柱所以BE平面AACiC在RtBEC中，EO1GB—a2i2,io4EC2EC2OC,io4在OEC中，cosCEO —丫 i2ECEO【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力,属于中档题18.如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD,AB//DCPAD是等边三角形,已知BD2AD8,AB2DC4^5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥PABCD体积.【答案】⑴见解析；(2)VPabcd1242731673.3【详解】试题分析:(1)证彳AAD^BD,而面PADXWABCD,.,.BD±WBAd,.-.WMBD^^^D.(2)作辅助线POLAD,则PO为四棱锥:一AB^的高变导S四边形aBC^=24...Vpabcd=1673.试题解析:(1, abd 28口D^Brt试题解析:又♦•面PADL面ABCD©PAD面AbCD|Ld^D1^^JDBDPAD又BD?面BDM，面MBD_面PAD. . . .(2)解：过P作POLADI(2)解：过P作POLAD•••面PADL面ABCD，POL面ABCD即PO为四^锥P-ABCD勺高.又'PA比边长为4的等边三角形，，PO=24.在底面四边形ABC丽,AB//DCAB=2DC.•・四边形ABC师梯形.W5,此即为梯形的高.5TOC\o"1-5"\h\z, 48W5,此即为梯形的高.5在RtAADB^，斜边AB边上的高为一户4.5.・S-2而4单递=24.2 51 — —••V—ABCD=一X24X2,3=16,3.219.在平面直角坐标系xoy中，设一次函数f(x)x2xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(I)若b1,求圆C的方程；(n)当b取所允许的不同的实数值时(b1,且bw0),圆C是否经过某定点(其坐标与 b无关)？请证明你的结论.【答案】(I)x2y22x10；(n) 0,1, 2,1【解析】【分析】(I)设圆C的方程为x2y2DxEyF0,令y0得x2DxF0，与f(x)x22xb0是同一方程，可求得D,F,2 2再令x0得yEyF0,因为方程f(x)x2xb0有一根为b,代入可得E,再将b1代入即可.

2 2(n)2 2(n)根据由(i)圆C的万程为xy2xb1yb0,转化为:2x yy2x yy1b0,令求解.0【详解】(I)设圆C的方程为x2y2DxEyF0,令y0得x2DxF0,与f(x)x22xb0是同一方程，所以D2,Fb,令x0得y2EyF0,方程f(x)x22xb0有一根为b,所以Eb1,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2所以圆C的方程为xy 2x b1yb0,当b1时，圆C的方程为x2y22x10.\o"CurrentDocument"2 2(n)由(i)知，圆C的万程为xy 2x转化为：x2y2 2xyy1b0,2xy2 22xyxy令yy10x0解得或y1故圆C经过定点0,1, 2,1【点睛】本题主要考查圆的方程的求法以及圆过定点问题，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系工中，.JjTOC\o"1-5"\h\z-L"J _। . >GI A 工2^一2 一^、2^ _、2已知圆C〃(x3)(y1) 4和圆C2：(x4)(y5) 4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆Ci截得的弦长为2，3,求直线l的方程；(2)设P/