人教版高中数学必修二考点练习：几何体的表面积和体积

几何体的表面积和体积一、表面积现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()l+2nl+4nl+2nl+4nA"2nB-4nC.nD.2n若圆台的高是12,母线长为13,两底面半径之比为8：3,贝9该圆台的表面积为4.圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积．5.如图，正方形ABCD的边长为1,CE所对的圆心角ZCDE=90°,将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周,形成的几何体的表面积为．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,贝该几何体的表面(积为)

A.20nB・24nC・28nD・32n用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是・二、体积已知某圆台的上、下底面面积分别是n,4n,侧面积是6n,则这个圆台的体积是圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16迈n，则圆锥的体积是（）128n64nA.不B.匕C.64nD.128\；2n3.如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA］丄底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为（）A.卷B乎C.晋D晋4.如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.

5.如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1的中点,求三棱锥A1-EBFD1的体积.22TOC\o"1-5"\h\z6.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为V3,D为BC中点，则三棱锥A-B]DC1的体积为()3A.3B，2D.C．1D.7.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B&上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为.nn8.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为36,点E，F分别为棱B1B，C1C上的点(异于端点)，且EF〃BC,则四棱锥A1-AEFD的体积为.

9.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，已知D,E,F分别为AB,AC,AA1的中点，设三棱锥A-FED的体积为V],三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1:V2的值为io.一个水平放置的圆柱形储油桶（如图所示），桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的4,则油桶直立时,油的高度与桶的高度的比值是．如图，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC]的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该

术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V^36L2h•它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率n近似取为3•那么，近似公式V煤L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率n近似取为（）a.157B.25中的圆周率n近似取为（）a.157B.258C.237D.22713.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF〃AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.14.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且AADE,ABCF均为正三角形，EF〃AB,EF=2，则该多面体的体积为（）迈3A.15.如图，一个底面半径为2迈3A.15.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别C.20nD.10n16.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16,BC=10,仙=8,点E,F分别在AQ,D&i上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．17.如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E,F依次是AB,AC的中点，AD丄BC,EH丄BC,FG丄BC,D,H,G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．三、其他量的计算若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则其母线与轴所成角的大小是如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A到平面ABD的距离d.参考答案参考答案几何体的表面积和体积一、表面积1.解如图，设底面对角线AC=a,BD=b，交点为O,对角线A]C=15,B]D=9,.°.a2+52=152,b2+52=92,.°.a2=200,b2=56.•・•该直四棱柱的底面是菱形，・・・432=均2+(号)2=竺严=型严=64,/.AB=8.・直四棱柱的侧面积S=4x8x5=160.2.答案AS+2nr2(2n+1)1+2n表S4n2r22nS+2nr2(2n+1)1+2n表S4n2r22n侧S表=彳侧+2"=45+23=2"(2兀+D，答案216n解析设圆台上底与下底的半径分别为r,R由勾股定理可得R—r=J132—122=5.•r：R=3：8,・.r=3,R=8.3侧=n(R+r)l=n(3+8)x13=143n,则表面积为143n+nx32+nx82=216n.同理可得SB=40cm.所以AB=SB—SA=20cm.所以S表=3侧+S上+S下=nx(10+20)x20+nx102+nx202=1100n(cm2).5.答案5n解析由题意知,形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱,••正方形ABCD的边长为1,ZCDE=90°,.球的半径是1,圆柱的底面半径是1,母线长是1,•:形成的几何体的表面积S=nx12+2nx1x1+2X4nx12=5n.

6.答案C解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4n，圆锥的母线长l=冷(2\/3)2+22=4,所以圆锥的侧面积为S細=2x4nx4=8n,圆柱的侧面积S=4nx4=16n,锥侧2柱侧所以组合体的表面积S=8n+16n+4n=28n,故选C.7.答案8解析如图①是棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为其面积为8.二、体积解析设圆台的上、下底面半径分别为丫和R,母线长为1,高为h,贝9S±=nr2=n,S下=nR2=4兀.°.r=1,R=2,S侧=n(r+R)1=6n..°.1=2,.°.h=U3,13V=3n(12+22+1x2)x\/3=\兀.答案B解析设圆锥的底面半径为r,母线长为1,由题意知2r=\'12+12,即1=\：2r,.°.S=nr1='J2nr2=16\；2n，解得r=4.狈D：.1=4-迈，圆锥的高h=：J12—r2=4,TOC\o"1-5"\h\z1164n圆锥的体积为V=3Sh=^nx42x4=_3_-3.答案A解析V二V三棱锥Bj—ABCj三棱柱ABC-解析V二V三棱锥Bj—ABCj三棱柱ABC-ABC三棱锥A—AjBjCj三棱锥q—ABC41212124-解由【棱锥丫£EF二【棱锥F—A1D1E，7'"E叭2=4^又三棱锥F—A1D1E的高为CD=a,.V=|xaX：a2=a3,11三棱锥F—A1D1E3412.V三棱.V三棱锥A】一£EF丄=12。3・形．5.解因为EB形．5.解因为EB=BF=FD]=D]E=a2+¥a,D/〃EB，所以四边形EBFD]是菱连接£尸，则厶EFB竺△FED].因为三棱锥A]—EFB与三棱锥A—FED]的高相等,所以V二2V二2V.四棱锥A-EBFD三棱锥A]—EFB三棱锥F—EBA]又因为S△EBA]=2叭AB又因为S△EBA]=2叭AB1卩所以V三棱锥F—EBA]丄=]2。3，所以V二2V四棱锥A—EBFD三棱锥F—EBA6.解析：选C由题意可知AD丄BC,由面面垂直的性质定理可得AD丄平面DB]C],又AD=2sin60。=\月，所以VA-B]DC]=|aD^SAB]DC]=|^.，3x|x2x；3=1.7.答案解析V—Vx^x1x1x1^2.解析三棱锥A—DED]三棱锥E—DD]A3268.解析：设正四棱柱的底面边长为a,高为h,则a2h=36.又四棱锥A]-AEFD可分割为两个三棱锥A1三棱锥A1-AED，A1-DEF且这两个三棱锥体积相等，则VA]-AEFD=2VA]-AED=2VE-ADA]=2x|saaDA]xa=2x|x|axhxa=*a2h=|x36=12.答案：129.答案9.答案124h解析设三棱柱的咼为h,VF是AA]的中点，三棱锥F—ADE的咼为亍，解析设圆柱桶的底面半径为R,高为h,油桶直立时油面的高度为x,由题意知,油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为90°,44则\4n则\4nR2—2R2)h=nR2x,所以h=|丄2n.11.答案3:4(或4:3)解析设三棱台的上底面面积为S0,则下底面面积为4S0，高为h,则TOC\o"1-5"\h\z17V=3(S0+4S0+2S0)h=3S0h,V=S0h.三棱台ABC—ABC300030三棱柱FEC—ABC^074设剩余的几何体的体积为V,则V=3S0h—S0h=3S0h,所以体积之比为3:4或4:3.12.答案D解析设圆锥的底面半径为r,L1L2h则圆锥的底面周长L=2nr,・・r=2n，…V=§nr2h=]2兀・人L2h722令12兀=264厶2力，得n=~7，故选D.13・解如图，连接EB，EC,AC.%棱锥E—abcd=|x42X3=16.•・・AB=2EF,…V三棱锥F-EBC•・・AB=2EF,…V三棱锥F-EBC=V三棱锥C—EFB=2"三棱锥C—ABE三棱锥E—ABC112X2V四棱锥E—ABCD=4.・•・多面体的体积V=V四棱锥E—ABCD三棱锥F—EBC=16＋4=20.14.解析：选A如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,CH,1yj3、j2容易求得EG=HF=2,AG=GD=BH=HC=2，贝^BHC中BC边的高h=亍.1-3.==1V2V2.__1-3…S^AGD=S^BHC=2X2X1=4，…V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC

忌X2+%寻.15.答案D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为16.解：(1)16.解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图，作EMLAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=\EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.故S四边形A1EHA=2x(4+10)x8=56,S/