题型四反比例函数与一次函数综合题

题型四 反比例函数与一次函数综合题针对演练.如图，一次函数y=kx+1(k?甥反比例函数y=m(m?阴图象有x'B,C,连接AC公共点A(1,2),直线l，x轴于点N(3,B,C,连接AC的图象分别相交于点(1)求k和m的值；⑵求点B的坐标；(3)求△ABC的面积.第1题图第第12题图.如图，已知双曲线y=k经过点D(6,1),点C是双曲线第三象限上x的动点，过点C作C/ax轴，过点D作DB，y轴，垂足分别为A,B,连接AB,BC(1)求k的值；⑵若4BCD的面积为12,求直线CD的解析式;(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由.，一 k 一,一、.如图，点B为双曲线y=；；(x>0)上一点，直线AB平行于y轴，交xk直线y=x于点A,交x轴于点D,双曲线y=k与直线y=x交于点C,x若0呼一A^=4.(1)求k的值；⑵点B的横坐标为4时，求4ABC的面积；(3)双曲线上是否存在点P,使△APSz\AOD?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第第1题解图【答案】.解：(1);点A(1,2)是一次函数y=kx+1与反比例函数y=mx的公共点，m.・k+1=2,彳=2,「k=1,m=2;(2)・.•直线l，x轴于点N(3,0),且与一次函数的图象交于点B,••点B的横坐标为3,将x=3代入y=x+1,得y=3+1=4,・•点B的坐标为(3,4);(3)如解图，过点A作AD，直线1,垂足为点D,由题意得，点C的横坐标为3,・•点C在反比例函数图象上，「.y=2X=会「.C点坐标为(3,3),- - 210BC=BN-CN=4--=-,33又AD=3—1=2,2.解：（1）设A点的坐标为（x,y）,则OP=x,PA=y,••.△OAP的面积为1,1••力:1xy=2,即k=2,一.一一一，，…一.、， 2••反比例函数的解析式为y［；（2）存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A；连接A'B,交x轴于点M,此时MA+MB最小,••点B的横坐标为2,.二点B的纵坐标为y=2=1,即点B的坐标为（2,1）.又•「两个函数图象在第一象限交于A点，C2.2x—x，解得x1=1,x2=—1（舍去）.y=2,・•点A的坐标为（1,2）,••点A关于x轴的对称点A'（1—2）,设直线AB的解析式为y=kx+b,代入A'0—2）,B（2,1）得，b2的/曰k3，解得，2kb1b5・•・直线AB的解析式为y=3x-5,令y=0,得x=5,3・•・直线y=3x—5与x轴的交点为（5,0）,3即点M的坐标为即点M的坐标为第2题解图2 一3.解：（［）•••反比例函数y=一图象上的点A、B的横坐标

x分别为1、一2,.・•点A的坐标为（1,2）,点B的坐标为（—2,—1）,・・•点A（1,2）、B（—2,—1）在一次函数y=kx+b的图象上,2kb2八2kb2八,，解得111'「•一次函数的解析式为y=x+1;2f（2）由图象知，对于反比例函数y；，当y<—1时，x的取值范围是一2Vx<0;（3）存在.对于y=x+1,当y=0时，x=—1,当x=0时，y=1,・•点D的坐标为（—1,0）,点C的坐标为（0,1）,设点P（m,n）,x，x，x，x，「S\ODP=2S\oca,1 ' / 、c1 / /「•2乂1X(—n)=2><2X1X1,•n=-2,・•点P(m,—2)在反比例函数图象上,2二-2=一,mm=-1,•・•点P的坐标为(—1,-2).4.解：(1)「OB=2OA=3OD=4.解：(1)「OB=2OA=3OD=6,D(—2,0).6)代入y=kx+b得，26，・•.OA=3,OD=2.•.A(3,0),B(0,6)将点A(3,0)和B(0,3kb0k，解得b6 b「•一次函数的解析式为y=—2x+6. 将x=—2代入y=—2x+6,得y=—2X(2)+6=10,•・•点C的坐标为(—2,10).将点C(-2,10)代入y=n,得x10=今，解得n=—20,(3分)(5分)20・(3分)(5分)20y2x6TOC\o"1-5"\h\z(2)将两个函数解析式组成方程组，得 v20，y-X解得X=—2,X2=5. （7分）20将x=5代入y— 4,x.•・两函数图象的另一个交点坐标是（5,—4）; （8分）（3）—2WM0或x）5. （10 分）【解法提示】不等式kx+b"的解集，即是直线位于双曲线下方X的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是—29<0或XA5.5.解：(1)••点A(—2,n),B(1,—2)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y='的图象的两个交点，X」•反比例函数解析式为yx..n=1,••点A(—2,1),将点A(—2,1),B(1,—2)代入y=kx+b,得2kb1“日k 1,解得，kb 2b 1「•一次函数的解析式为y=-x-1；(2)结合图象知：当一2Vx<0或x>1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A；连接BA'延长交x轴于点C,则点C即为所求,.A(—2,1),•・A'(—2,-1),设直线AB的解析式为y=mx+n,TOC\o"1-5"\h\z1m -2m n,解得 3,m n 5n+-3x—3,令y=0,得x=-5,则C点坐标为(一5,0),「.t的最大值为AB=M(—2—1)2+(—1+2)2=Vl0.第5题解图一 、，- 16.解：（[）•••一次函数y1=[x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,.A(—4,0),C(0,1),又「AOBC,CO)±AB,•.O为AB的中点，即OA=OB=4,且BP=2OC=2,・•点P的坐标为(4,2),将点P(4,2)代入y2=m,得m=8,x8••反比例函数的解析式为y2=";x(2)x>4;【解法提示】由图象可知，当yi>y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x>4.(3)存在.假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图,连接DC与PB交于点E,••四边形BCP防菱形，CE=DE=4,•.CD=8,•.D点的坐标为(8,1),8将D(8,1)代入反比例函数yx,D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8,1).第6题解图7.解：(1).••直线y=x+b与x轴交于点C(4,0),「•把点C(4,0)代入丫=x+b,得b=—4,第第7题解图第第7题解图••直线的解析式为y=x-4,・.直线也过A点，「•把点A(—1,n)代入y=x—4,得n=—5,.A(—1,—5),将A(—1,—5)代入y=?(x<0),得m=5, 5••双曲线的解析式为y-；x(2)如解图，过点O作OMLAC于点M・•点B是直线y=x—4与y轴的交点，.令x=0,得y=-4,••点B(0,-4),/.OC=OB=4,•.△OCB是等腰直角三角形，•./OBC=/OCB=45,・•.OM=2V2,，在^OMB中，sin45=OM=OM， OB4，・•.OM=2V2,•・AO=a/i2+52=a/26,2T3.・在AA0M中,sin/0AB=震=226=132T3(3)存在.如解图，过点A作AN，y轴于点N,则AN=1,BN=1,.AB=712+12=&,.OB=OC=4,BC=弋42+42=4aJ2,又.•/OBO/OCB=45,•./OBA=/BCE>135,•.△OB—△BCD或^OBAsADCR・・翳鄢OC噌,4 %2 4 2即4.2=诟或*=42・•.CD=2或CD=16,.•点C(4,0),•・•点D的坐标是(6,0)或(20,0).38.解：(1)当y=0时，得0=±-x-V3,解得x=3.3(2分)•・•点A的坐标为(2分)⑵①如解图，过点C作C口x轴于点F.设AE=AC=t,点E的坐标是(3,t)., , OB3在RtAAOB中，tan/OAB=云=刀，・•./OAB=30.第第8题解图第第8题解图在RtAACF中，/CA已30,•51 - 。」3CF=“AF=ACcos30=23••点C的坐标是（3+宗，Jk一・•点C、£在丫=一的图象上，x.sI3 1..（3+2t）2t=3t,解得ti=0（舍去），t2=2\f3,（5分）「♦（5分）②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：由①知，点e的坐标为⑶2a设点D的坐标是（x,甲x—瓜3•.x（3x-响=6®解得xi=6（舍去），期=—3,.・•点D的坐标是（一3,—2m），（8分）.••点E与点D关于原点O成中心对称.（8分）2,—3),y=kx+b,2,—3),y=kx+b,则12，21y=2x—2；，点D的坐标为（6,1）,1),匕一、，，9.解：（1二■双曲线y=「经过点D（6,1）,xk.66=1，解得k=6;⑵设点C到BD的距离为h,••点D的坐标为（6,1）,DB±y轴,BD=6,c 1八，.Sy\BCD=2乂6乂卜=12,解得h=4,・•点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1,・•点C的纵坐标为1—4=—3,6 -「•一=一3,解得x=x・•点C的坐标为（一2,设直线CD的解析式为2kb3ik，解得6kb1 ,b•・直线CD的解析式为（3）AB//CD理由如下:.CAIx轴,DB±y3设点C的坐标为（c,6）,c''・•点A、B的坐标分别为A（c,0）,B（0,

设直线AB的解析式为y=mx+n,则mc1mcn0,解得mc,1 n11二直线AB的解析式为y=—cx+1,设直线CD的解析式为y=ex+f,则16eecfc,解得c,6ef1fc-6c1・•・直线CD的解析式为y=--xc■「ARCD的解析式中k都等于「•AB与CD的位置关系是ABIICD10.解：（1）设D点坐标为（a,0）,k,「AB//y轴，点A在直线y=x上，B为双曲线y=-（x>0）上一点,x、「.A点坐标为（a,a）,B点坐标为（a,k）,a・•.AB=a-k,BD=k,aak在Rtz\OBD中，OB^BD^+OD：(a)2+a2,OB2—A仔=4,k k•・①+牙―(a—)=4,k=2;第/r