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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列满足,公差,且成等比数列,则A.1 B.2 C.3 D.42.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B.i C.–1 D.13.已知数列对任意的有成立,若,则等于()A. B. C. D.4.已知函数,则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为;②函数的图象是轴对称图形;③函数的极大值为;④函数的最小值为.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④5.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.6.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.5787.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.08.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()A. B. C. D.9.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()A. B. C.3 D.10.设,且,则()A. B. C. D.11.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()A.点M在圆C上 B.点M在圆C外C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能12.已知正四面体外接球的体积为,则这个四面体的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知平面向量、的夹角为,且,则的最大值是_____.14.如图,在三棱锥中,平面,,已知,,则当最大时,三棱锥的体积为__________.15.点到直线的距离为________16.设函数在区间上的值域是,则的取值范围是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.18.(12分)已知函数(1)求函数在处的切线方程(2)设函数,对于任意,恒成立,求的取值范围.19.(12分)在中,角的对边分别为,且,.(1)求的值;(2)若求的面积.20.(12分)已知是抛物线的焦点,点在轴上,为坐标原点,且满足,经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)直线与抛物线交于、两点,若,求点到直线的最大距离.21.(12分)已知函数f(x)=x(1)讨论fx(2)当x≥-1时,fx+a22.(10分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数有两个极值点,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
先用公差表示出,结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列,所以,解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题,化归基本量,寻求等量关系是求解的关键.2.C【解析】
利用复数的四则运算可得,即可得答案.【详解】∵,∴,∴,∴复数的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.3.B【解析】
观察已知条件,对进行化简,运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知,则,所以有,,,,两边同时相加得,又因为,所以.故选:【点睛】本题考查了求数列某一项的值,运用了累加法和裂项法,遇到形如时就可以采用裂项法进行求和,需要掌握数列中的方法,并能熟练运用对应方法求解.4.D【解析】
因为,所以①不正确;因为,所以,,所以,所以函数的图象是轴对称图形,②正确;易知函数的最小正周期为,因为函数的图象关于直线对称,所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可.当时,,且,令,得,可知函数在处取得极大值为,③正确;因为,所以,所以函数的最小值为,④正确.故选D.5.C【解析】
求得双曲线的渐近线方程,可得圆心到渐近线的距离,由点到直线的距离公式可得的范围,再由离心率公式计算即可得到所求范围.【详解】双曲线的一条渐近线为,即,由题意知,直线与圆相切或相离,则,解得,因此,双曲线的离心率.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径,考查化简整理的运算能力,属于中档题.6.D【解析】
因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.7.C【解析】
由三视图还原原几何体,借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图,其中,,为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选:C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图,属于基础题.8.A【解析】
根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.【详解】函数,,由题意得,即,令,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,而,当且仅当,即当时,等号成立,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.9.A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面积.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用,三角形的面积公式,考查了学生的运算求解能力.10.C【解析】
将等式变形后,利用二次根式的性质判断出,即可求出的范围.【详解】即故选:C【点睛】此题考查解三角函数方程,恒等变化后根据的关系即可求解,属于简单题目.11.B【解析】
根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件,利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交,圆心到直线的距离,即.也就是点到圆的圆心的距离大于半径.即点与圆的位置关系是点在圆外.故选:【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质,考查点到直线距离公式的应用,属于中档题.12.B【解析】
设正四面体ABCD的外接球的半径R,将该正四面体放入一个正方体内,使得每条棱恰好为正方体的面对角线,根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长,从而得出正四面体的棱长,最后可求出正四面体的表面积.【详解】将正四面体ABCD放在一个正方体内,设正方体的棱长为a,如图所示,设正四面体ABCD的外接球的半径为R,则,得.因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球,则有,∴.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长,所以,正四面体ABCD的棱长为,因此,这个正四面体的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查球的内接多面体,解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来,考查计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
建立平面直角坐标系,设,可得,进而可得出,,由此将转化为以为自变量的三角函数,利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.【详解】根据题意建立平面直角坐标系如图所示,设,,以、为邻边作平行四边形,则,设,则,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,则,当时,取最大值.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积最值的计算,将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键,考查计算能力,属于难题.14.4【解析】设,则,,,,当且仅当,即时,等号成立.,故答案为415.2【解析】
直接根据点到直线的距离公式即可求出。【详解】依据点到直线的距离公式,点到直线的距离为。【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用。16..【解析】
配方求出顶点,作出图像,求出对应的自变量,结合函数图像,即可求解.【详解】,顶点为因为函数的值域是,令,可得或.又因为函数图象的对称轴为,且,所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查函数值域,考查数形结合思想,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函数值域.【详解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,则,,,若①③成立,则,,不合题意,若②③成立,则,,与③中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.(Ⅱ)由题意得,,所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的周期,对称轴,单调性,值域,表达式,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.18.(1);(2)【解析】
(1)求出,即可求出切线的点斜式方程,整理即可;(2)的取值范围满足,,求出,当时求出,的解,得到单调区间,极小值最小值即可.【详解】(1)由于,此时切点坐标为所以切线方程为.(2)由已知,故.由于,故,设由于在单调递增同时时,,时,,故存在使得且当时,当时,所以当时,当时,所以当时,取得极小值,也是最小值,故由于,所以,.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题,应用导数求最值是解题的关键,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.19.(1)3(2)78【解析】试题分析:(1)由两角和差公式得到,由三角形中的数值关系得到,进而求得数值;(2)由三角形的三个角的关系得到,再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.解析:(1)在中,由,得为锐角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面积.20.(1);(2).【解析】
(1)求得点的坐标,可得出直线的方程,与抛物线的方程联立,结合求出正实数的值,进而可得出抛物线的方程;(2)设点,,设的方程为,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,结合求得的值,可得出直线所过定点的坐标,由此可得出点到直线的最大距离.【详解】(1)易知点,又,所以点,则直线的方程为.联立,解得或,所以.故抛物线的方程为;(2)设的方程为,联立有,设点,,则,所以.所以,解得.所以直线的方程为,恒过点.又点,故当直线与轴垂直时,点到直线的最大距离为.【点睛】本题考查抛物线方程的求解,同时也考查了抛物线中最值问题的求解,涉及韦达定理设而不求法的应用,考查运算求解能力,属于中等题.21.(1)见解析;(2)-∞,1【解析】
(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).对a分类讨论,即可得出单调性.
(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,当x=-1时,0≤-1e+1恒成立.当x>-1时,a≤xe【详解】解法一:(1)f①当a≤0时,x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)单调递增.②当a>0时,f'(x)=0的根为x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-1),(lna,+∞)上单调递增,在若lna=-1,即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以f(x)在若lna<-1,即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,lna),(-1,+∞)上单调递增,在综上:当a≤0时,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增;当0<a<1e时,f(x)在(-∞,lna),自a=1e时,f(x)在当a>1e时,f(x)在(-∞,-1),(ln(2)因为xex-ax-a+1≥0当x=-1时,0≤-1当x>-1时,a≤x令g(x)=xex设h(x)=e因为h'(x)=e即hx=e又因为h0=0,所以g(x)=x
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