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文档简介
2023高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.2.tan570°=()A. B.- C. D.3.设等差数列的前n项和为,且,,则()A.9 B.12 C. D.4.若,则的值为()A. B. C. D.5.由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是()A. B.C. D.8.下列不等式成立的是()A. B. C. D.9.已知集合,,则()A. B.C.或 D.10.若复数是纯虚数,则()A.3 B.5 C. D.11.总体由编号为01,02,...,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表(如表)第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()A.23 B.21 C.35 D.3212.已知i是虚数单位,则1+iiA.-12+32i二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为双曲线:的左焦点,直线经过点,若点,关于直线对称,则双曲线的离心率为__________.14.函数的单调增区间为__________.15.函数在区间(-∞,1)上递增,则实数a的取值范围是____16.定义,已知,,若恰好有3个零点,则实数的取值范围是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了实现中华民族伟大复兴之梦,把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国,党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”,某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别,该农场选取了40间大棚(每间一亩),分成两组,每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案,第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季,得到各间大棚产量数据信息如下图:(1)如果你是该农场的负责人,在只考虑亩产量的情况下,请根据图中的数据信息,对于下一季大棚蔬菜的种植,说出你的决策方案并说明理由;(2)已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案,光照设备每年的成本为0.22千元/亩;若采用夜间降温的方案,降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间(每间1亩),农场种植的该蔬菜每年产出两次,且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据,用样本估计总体,请计算在两种不同的方案下,种植该蔬菜一年的平均利润;(3)农场根据以往该蔬菜的种植经验,认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间,记增产明显的大棚间数为,求的分布列及期望.18.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)设数列,其前项和,又单调递增的等比数列,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前n项和,并求证:.20.(12分)已知函数,当时,有极大值3;(1)求,的值;(2)求函数的极小值及单调区间.21.(12分)已知函数.(1)若对任意x0,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1x2),证明:.22.(10分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【答案解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【题目详解】,,,.故选:C.【答案点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.2.A【答案解析】
直接利用诱导公式化简求解即可.【题目详解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故选:A.【答案点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,主要考查诱导公式的应用,属于基础题.3.A【答案解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【题目详解】设公差为d,则解得,所以.故选:A.【答案点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查学生运算求解能力,是一道基础题.4.C【答案解析】
根据,再根据二项式的通项公式进行求解即可.【题目详解】因为,所以二项式的展开式的通项公式为:,令,所以,因此有.故选:C【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了二项式展开式通项公式的应用,考查了数学运算能力5.C【答案解析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【题目详解】解:若{an}是等比数列,则,
若,则,即成立,
若成立,则,即,
故“”是“”的充要条件,
故选:C.【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.6.D【答案解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【题目详解】,对应的点位于第四象限.故选:.【答案点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.7.C【答案解析】试题分析:由题意知,当时,由,当且仅当时,即等号是成立,所以函数的最小值为,当时,为单调递增函数,所以,又因为,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故选C.考点:函数的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查,试题思维量大,属于中档试题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键.8.D【答案解析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【题目详解】对于,,,错误;对于,在上单调递减,,错误;对于,,,,错误;对于,在上单调递增,,正确.故选:.【答案点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题;关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.9.D【答案解析】
首先求出集合,再根据补集的定义计算可得;【题目详解】解:∵,解得∴,∴.故选:D【答案点睛】本题考查补集的概念及运算,一元二次不等式的解法,属于基础题.10.C【答案解析】
先由已知,求出,进一步可得,再利用复数模的运算即可【题目详解】由z是纯虚数,得且,所以,.因此,.故选:C.【答案点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算,考查学生的运算能力,是一道基础题.11.B【答案解析】
根据随机数表法的抽样方法,确定选出来的第5个个体的编号.【题目详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6,所以从这两个数字开始,由左向右依次选取两个数字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在编号01,02,…,39,40内的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重复的第5个编号为21.故选:B【答案点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样,属于基础题.12.D【答案解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果【题目详解】1+i故选D【答案点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,属于基础题。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【答案解析】
由点,关于直线对称,得到直线的斜率,再根据直线过点,可求出直线方程,又,中点在直线上,代入直线的方程,化简整理,即可求出结果.【题目详解】因为为双曲线:的左焦点,所以,又点,关于直线对称,,所以可得直线的方程为,又,中点在直线上,所以,整理得,又,所以,故,解得,因为,所以.故答案为【答案点睛】本题主要考查双曲线的简单性质,先由两点对称,求出直线斜率,再由焦点坐标求出直线方程,根据中点在直线上,即可求出结果,属于常考题型.14.【答案解析】
先求出导数,再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合,从而可得函数的单调增区间.【题目详解】函数的定义域为.,令,则,故函数的单调增区间为:.故答案为:.【答案点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用,注意先考虑函数的定义域,再考虑导数在定义域上的符号,本题属于基础题.15.【答案解析】
根据复合函数单调性同增异减,结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组,解不等式求得的取值范围.【题目详解】由二次函数的性质和复合函数的单调性可得解得.故答案为:【答案点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围,属于基础题.16.【答案解析】
根据题意,分类讨论求解,当时,根据指数函数的图象和性质无零点,不合题意;当时,令,得,令,得或,再分当,两种情况讨论求解.【题目详解】由题意得:当时,在轴上方,且为增函数,无零点,至多有两个零点,不合题意;当时,令,得,令,得或,如图所示:当时,即时,要有3个零点,则,解得;当时,即时,要有3个零点,则,令,,所以在是减函数,又,要使,则须,所以.综上:实数的取值范围是.故答案为:【答案点睛】本题主要考查二次函数,指数函数的图象和分段函数的零点问题,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,利用导数判断函数单调性,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析;(2)(i)该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为426千元;(ii)若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为424千元;(3)分布列见解析,.【答案解析】
(1)估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.(2)对于两种方法,先计算出每亩平均产量,再算农场一年的利润.(3)估计频率分布直方图可知,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,的可能取值有0,1,2,3,再算出相应的概率,写出分布列,再求期望.【题目详解】(1)第一组数据平均数为千斤/亩,第二组数据平均数为千斤/亩,可知第一组方法较好,所以采用延长光照时间的方法;((2)(i)对于采用延长光照时间的方法:每亩平均产量为千斤.∴该农场一年的利润为千元.(ii)对于采用降低夜间温度的方法:每亩平均产量为千斤,∴该农场一年的利润为千元.因此,该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为426千元;若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为424千元.(3)由图可知,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,的可能取值有0,1,2,3,;;;.所以的分布列为0123所以.【答案点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列,还考查了数据处理和运算求解的能力,属于中档题.18.(1)证明见解析(2)【答案解析】
(1)取的中点,连接,,证明平面得出,再得出;(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算,即可得出答案.【题目详解】(1)证明:取的中点,连接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分别是,的中点,,.(2)解:四边形是正方形,,又,,平面,平面,在平面内作直线的垂线,以为原点,以,,为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得:,,,,.直线与平面所成角的正弦值为,.【答案点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质,考查空间向量与空间角的计算,属于中档题.19.(1),;(2)详见解析.【答案解析】
(1)当时,,当时,,当时,也满足,∴,∵等比数列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,显然数列是递增数列,∴,即.)20.(1);(2)极小值为,递减区间为:,递增区间为.【答案解析】
(1)由题意得到关于实数的方程组,求解方程组,即可求得的值;(2)结合(1)中的值得出函数的解析式,即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【题目详解】(1)由题意,函数,则,由当时,有极大值,则,解得.(2)由(1)可得函数的解析式为,则,令,即,解得,令,即,解得或,所以函数的单调减区间为,递增区间为,当时,函数取得极小值,极小值为.当时,有极大值3.【答案点睛】本题主要考查了函数的极值的概念,以及利用导数求解函数的单调区间和极值,其中解答中熟记函数的极值的概念,以及函数的导数与原函数的关系,准确运算是解答的关键,着重考查了
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