函数的奇偶性与周期性

-.z.函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(*)的定义域内任意一个*都有f(－*)＝－f(*)，则函数f(*)就叫做奇函数都有f(－*)＝f(*)，则函数f(*)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(*)，如果存在一个非零常数T，使得当*取定义域内的任何值时，都有f(*＋T)＝f(*)，则就称函数y＝f(*)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(*)的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数就叫做f(*)的最小正周期．3．判断以下结论的正误(正确的打"√〞，错误的打"×〞)(1)假设f(*)是定义在R上的奇函数，则f(－*)＋f(*)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(*)，g(*)为定义域一样的偶函数，则F(*)＝f(*)＋g(*)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)假设T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(*)在定义域上满足f(*＋a)＝－f(*)，则f(*)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(*)＝0，*∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)假设函数y＝f(*＋a)是偶函数，则函数y＝f(*)关于直线*＝a对称．(√)(9)假设函数y＝f(*＋b)是奇函数，则函数y＝f(*)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)假设*函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；假设*函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1](1)以下函数为奇函数的是()A．y＝eq\r(*)B．y＝e*C．y＝cos*D．解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(－*)≠－f(*)，故不符合要求；对于C，满足f(－*)＝f(*)，故不符合要求；对于D，∵f(－*)＝e－*－e*＝－(e*－e－*)＝－f(*)，∴y＝e*－e－*为奇函数，应选D.答案：D(2)以下函数中为偶函数的是()A．y＝eq\f(1,*)B．y＝lg|*|C．y＝(*－1)2D．y＝2*解析：根据奇、偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇非偶函数．答案：B(3)函数f(*)＝eq\r(3－*2)＋eq\r(*2－3)，则()A．不具有奇偶性B．只是奇函数C．只是偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－*2≥0，,*2－3≥0，))得*＝－eq\r(3)或*＝eq\r(3).∴函数f(*)的定义域为{－eq\r(3)，eq\r(3)}．∵对任意的*∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，－*∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，且f(－*)＝－f(*)＝f(*)＝0，∴f(*)既是奇函数，又是偶函数．答案：D[方法引航]判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①"奇＋奇〞是奇，"奇－奇〞是奇，"奇·奇〞是偶，"奇÷奇〞是偶；②"偶＋偶〞是偶，"偶－偶〞是偶，"偶·偶〞是偶，"偶÷偶〞是偶；③"奇·偶〞是奇，"奇÷偶〞是奇．判断以下函数的奇偶性(1)f(*)＝(*＋1)eq\r(\f(1－*,1＋*))；(2)f(*)＝lgeq\f(1－*,1＋*).解：(1)要使函数有意义，则eq\f(1－*,1＋*)≥0，解得－1＜*≤1，显然f(*)的定义域不关于原点对称，∴f(*)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由eq\f(1－*,1＋*)＞0⇒－1＜*＜1，定义域关于原点对称．又f(－*)＝lgeq\f(1＋*,1－*)＝lg＝－lgeq\f(1－*,1＋*)＝－f(*)，f(－*)≠f(*)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2](1)以下函数不是周期函数的是()A．y＝sin*B．y＝|sin*|C．y＝sin|*|D．y＝sin(*＋1)解析：y＝sin*与y＝sin(*＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|*|是偶函数，*∈(0，＋∞)与*∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)函数f(*)是定义在R上的偶函数，假设对于*≥0，都有f(*＋2)＝－eq\f(1,f*)，且当*∈[0,2)时，f(*)＝log2(*＋1)，则求f(－2017)＋f(2019)的值为________．解析：当*≥0时，f(*＋2)＝－eq\f(1,f*)，∴f(*＋4)＝f(*)，即4是f(*)(*≥0)的一个周期．∴f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－eq\f(1,f1)＝－1，∴f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(*＋T)＝f(*)将不在解析式范围之内的*通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(*＋a)＝－f(*)，则f(*)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(*＋a)＝eq\f(1,f*)(a≠0)，则函数f(*)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(*＋a)＝－eq\f(1,f*)，则函数f(*)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．假设将本例(2)中"f(*＋2)＝－eq\f(1,f*)〞变为"f(*＋2)＝－f(*)〞，则f(－2017)＋f(2019)＝________.解析：由f(*＋2)＝－f(*)可知T＝4∴f(－2017)＝1，f(2019)＝－1，∴f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：02．假设本例(2)条件变为f(*)对于*∈R，都有f(*＋2)＝f(*)且当*∈[0,2)时，f(*)＝log2(*＋1)，求f(－2017)＋f(2019)的值．解：由f(*＋2)＝f(*)，∴T＝2∴f(2019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝1，∴f(－2017)＋f(2019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值[例3](1)假设函数f(*)＝eq\f(2*＋1,2*－a)是奇函数，则使f(*)＞3成立的*的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(*)为奇函数，所以f(－*)＝－f(*)，即eq\f(2－*＋1,2－*－a)＝－eq\f(2*＋1,2*－a).化简可得a＝1，则eq\f(2*＋1,2*－1)＞3，即eq\f(2*＋1,2*－1)－3＞0，即eq\f(2*＋1－32*－1,2*－1)＞0，故不等式可化为eq\f(2*－2,2*－1)＜0，即1＜2*＜2，解得0＜*＜1，应选C.答案：C(2)函数f(*)＝eq\f(a*＋b,1＋*2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且＝eq\f(2,5).①确定函数f(*)的解析式；②用定义证明f(*)在(－1,1)上是增函数；③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：①∵在*∈(－1,1)上f(*)为奇函数，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(*)＝eq\f(a*,1＋*2).又∵＝eq\f(2,5)，∴eq\f(\f(a,2),1＋\f(1,4))＝eq\f(2,5).解得，a＝1.∴f(*)＝eq\f(*,1＋*2)，经检验适合题意．②证明：由f′(*)＝eq\f(1＋*2－2*2,1＋*22)＝eq\f(1－*2,1＋*22).*∈(－1,1)时，1－*2＞0，∴f′(*)＞0∴f(*)在(－1,1)上为增函数．③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜t－1＜1,－1＜－t＜1,t－1＜－t))得0＜t＜eq\f(1,2).(3)f(*)是R上的奇函数，当*≥0时，f(*)＝*3＋ln(1＋*)，则当*＜0时，f(*)＝()A．－*3－ln(1－*)B．*3＋ln(1－*)C．*3－ln(1－*)D．－*3＋ln(1－*)解析：当*＜0时，－*＞0，f(－*)＝(－*)3＋ln(1－*)，∵f(*)是R上的奇函数，∴当*＜0时，f(*)＝－f(－*)＝－[(－*)3＋ln(1－*)]＝*3－ln(1－*)．答案：C[方法引航]1根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f－*＝－f*或f－*＝f*在定义域内恒成立，建立参数关系.2根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进展转化.1．f(*)＝a*2＋b*是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值是________．解析：a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1,3).f(*)＝a*2＋b*为偶函数，则b＝0，∴a＋b＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．定义在R上的偶函数y＝f(*)在[0，＋∞)上递减，且＝0，则满足f(*)＜0的*的集合为()A.∪(2，＋∞)B.∪(1,2)C.∪(2，＋∞)D.∪(2，＋∞)解析：选C.由题意可得f＝f＜0＝，又f(*)在[0，＋∞)上递减，所以＞eq\f(1,2)，即*＞eq\f(1,2)或*＜－eq\f(1,2)，解得0＜*＜eq\f(1,2)或*＞2，所以满足不等式f＜0的*的集合为∪(2，＋∞)．3．函数f(*)＝－*＋log2eq\f(1－*,1＋*)＋1，则的值为()A．2B．－2C．0D．2log2eq\f(1,3)解析：选A.由题意知，f(*)－1＝－*＋log2eq\f(1－*,1＋*)，f(－*)－1＝*＋log2eq\f(1＋*,1－*)＝*－log2eq\f(1－*,1＋*)＝－(f(*)－1)，所以f(*)－1为奇函数，则－1＋－1＝0，所以＝2.[方法探究]"多法并举〞解决抽象函数性质问题[典例](2017·****模拟)定义在R上的函数f(*)满足f(*＋y)＝f(*)＋f(y)，f(*＋2)＝－f(*)且f(*)在[－1,0]上是增函数，给出以下四个命题：①f(*)是周期函数；②f(*)的图象关于*＝1对称；③f(*)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系]①f(*＋y)＝f(*)＋f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？②f(*＋2)＝－f(*)，隐含了什么结论？用什么方法探究．③假设f(*)的图象关于*＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？④f(*)在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？⑤f(2)，f(0)从何处计算．[解析]第一步：f(*＋y)＝f(*)＋f(y)对任意*，y∈R恒成立．(赋值法)：令*＝y＝0，∴f(0)＝0.令*＋y＝0，∴y＝－*，∴f(0)＝f(*)＋f(－*)．∴f(－*)＝－f(*)，∴f(*)为奇函数．第二步：∵f(*)在*∈[－1,0]上为增函数，又f(*)为奇函数，∴f(*)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(*＋2)＝－f(*)⇒f(*＋4)＝－f(*＋2)⇒f(*＋4)＝f(*)，(代换法)∴周期T＝4，即f(*)为周期函数．第四步：f(*＋2)＝－f(*)⇒f(－*＋2)＝－f(－*)．(代换法)又∵f(*)为奇函数，∴f(2－*)＝f(*)，∴关于*＝1对称．第五步：由f(*)在[0,1]上为增函数，又关于*＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(*＋2)＝－f(*)，令*＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回忆反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(*)，g(*)的定义域都为R，且f(*)是奇函数，g(*)是偶函数，则以下结论中正确的选项是()A．f(*)g(*)是偶函数B．|f(*)|g(*)是奇函数C．f(*)|g(*)|是奇函数D．|f(*)g(*)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－*)＝－f(*)，g(－*)＝g(*)，对于选项A，f(－*)·g(－*)＝－f(*)·g(*)，所以f(*)g(*)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－*)|g(－*)＝|－f(*)|g(*)＝|f(*)|g(*)，所以|f(*)|g(*)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－*)|g(－*)|＝－f(*)|g(*)|，所以f(*)|g(*)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－*)g(－*)|＝|－f(*)g(*)|＝|f(*)g(*)|，所以|f(*)g(*)|是偶函数，故D项错误，选C.2．(2016·高考**卷)函数f(*)的定义域为R.当*＜0时，f(*)＝*3－1；当－1≤*≤1时，f(－*)＝－f(*)；当*＞eq\f(1,2)时，.则f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．2解析：选D.由题意可知，当－1≤*≤1时，f(*)为奇函数，且当*＞eq\f(1,2)时，f(*＋1)＝f(*)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.应选D.3．(2016·高考**卷)函数f(*)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜*＜1时，f(*)＝4*，则＋f(1)＝________.解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进展变换求值．∵f(*)为奇函数，周期为2，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.∵f(*)＝4*，*∈(0,1)，∴＝＝－4eq\f(1,2)＝－2.∴＋f(1)＝－2.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)假设函数f(*)＝*ln(*＋eq\r(a＋*2))为偶函数，则a＝________.解析：由题意得f(*)＝*ln(*＋eq\r(a＋*2))＝f(－*)＝－*ln(eq\r(a＋*2)－*)，所以eq\r(a＋*2)＋*＝eq\f(1,\r(a＋*2)－*)，解得a＝1.答案：15．(2014·高考**卷)设f(*)是定义在R上的周期为2的函数，当*∈[－1,1)时，f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4*2＋2，－1≤*＜0，,*，0≤*＜1，))则＝________.解析：由易得＝，又由函数的周期为2，可得＝＝1.答案：1课时标准训练A组根底演练1．以下函数中为偶函数的是()A．y＝*2sin*B．y＝*2cos*C．y＝|ln*|D．y＝2－*解析：选B.因为y＝*2是偶函数，y＝sin*是奇函数，y＝cos*是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数y＝ln*的图象在*轴下方局部翻折到*轴上方，其余局部的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝，是非奇非偶函数．2．以下函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|*|B．y＝lg(*＋eq\r(*2＋1))C．D．y＝lgeq\f(1,*＋1)解析：选D.选项D中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y＝lgeq\f(1,*＋1)不是奇函数也不是偶函数，选项A为偶函数，选项B为奇函数，选项C为偶函数．3．假设f(*)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于()A．－1B．1C．－2D．2解析：选A.由f(*)是R上周期为5的奇函数知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1，应选A.4．函数f(*)为奇函数，且当*＞0时，f(*)＝*2＋eq\f(1,*)，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2解析：选A.当*＞0时，f(*)＝*2＋eq\f(1,*)，∴f(1)＝12＋eq\f(1,1)＝2.∵f(*)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.5．设f(*)是定义在R上的周期为3的函数，当*∈[－2,1)时，f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4*2－2，－2≤*≤0,*，0＜*＜1))，则＝()A．0B．1C.eq\f(1,2)D．－1解析：选D.因为f(*)是周期为3的周期函数，所以＝＝4×－2＝－1，应选D.6．函数f(*)对于任意实数*满足条件f(*＋2)＝eq\f(1,f*)，假设f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.解析：f(*＋2)＝eq\f(1,f*)，∴f(*＋4)＝eq\f(1,f*＋2)＝f(*)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)7．f(*)是定义在R上的偶函数，f(2)＝1，且对任意的*∈R，都有f(*＋3)＝f(*)，则f(2017)＝________.解析：由f(*＋3)＝f(*)得函数f(*)的周期T＝3，则f(2017)＝f(1)＝f(－2)，又f(*)是定义在R上的偶函数，所以f(2017)＝f(2)＝1.答案：18．函数f(*)＝e*＋*(*∈R)可表示为奇函数h(*)与偶函数g(*)的和，则g(0)＝________.解析：由题意可知h(*)＋g(*)＝e*＋*①，用－*代替*得h(－*)＋g(－*)＝e－*－*，因为h(*)为奇函数，g(*)为偶函数，所以－h(*)＋g(*)＝②.由(①＋②)÷2得g(*)＝eq\f(e*＋e－*,2)，所以g(0)＝eq\f(e0＋e0,2)＝1.答案：19．f(*)是R上的奇函数，且当*∈(－∞，0)时，f(*)＝－*lg(2－*)，求f(*)的解析式．解：设*∈(0，＋∞)，∴－*∈(－∞，0)，∴f(－*)＝*lg(2＋*)，∵f(*)为奇函数，f(－*)＝－f(*)，∴－f(*)＝*lg(2＋*)，∴f(*)＝－*lg(2＋*)．又∵当*＝0时，f(0)＝0，适合f(*)＝－*lg(2＋*)∴f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－*lg2＋**∈[0，＋∞,－*lg2－**∈－∞，0))10．函数f(*)＝*2＋eq\f(a,*)(*≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(*)的奇偶性，并说明理由；(2)假设函数f(*)在[2，＋∞)上为增函数，**数a的取值范围．解：(1)函数f(*)的定义域为{*|*≠0}，当a＝0时，f(*)＝*2(*≠0)，显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数f(*)＝*2＋eq\f(a,*)(*≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(*)＝2*－eq\f(a,*2)＝eq\f(2*3－a,*2)，当a≤0时，f′(*)＞0，则f(*)在[2，＋∞)上是增函数；当a＞0时，令f′(*)＝eq\f(2*3－a,*2)≥0，解得*≥，由f(*)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2，解得0＜a≤16.综上，实数a的取值范围是(－∞，16]．B组能力突破1．假设f(*)是定义在R上的函数，则"f(0)＝0〞是"函数f(*)为奇函数〞的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.f(*)在R上为奇函数⇒f(0)＝0；f(0)＝0f(*)在R上为奇函数，如f(*)＝*2，应选A.2．定义在R上的奇函数f(*)和偶函数g(*)满足f(*)＋g(*)＝＋2(a＞0，且a≠1)．假设g(2)＝a，则f(2)等于()A．2B.eq\f(15,4)C.eq\f(17,4)D．a2解析：选B.∵f(*)为奇函数，g(*)为偶函数，∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝eq\f(15