理论声学(共74张PPT)

第二章质点系的振动

自由度：确定一个系统的函数的个数简单振子的自由度是一有限多个自由度的振动无限多个自由度的问题模式2022/11/271第1页，共74页。双质点三弹簧耦合振动系统

广义坐标广义速度耦合振动方程2022/11/272第2页，共74页。简谐自由振动2022/11/273第3页，共74页。一个质点固定,另一个质点的共振频率

表示耦合强度的参数

2022/11/274第4页，共74页。解得两个耦合共振频率

两个根都是正的实数2022/11/275第5页，共74页。共振模式，或振型，(广义)正交动能和势能是各个模式贡献和，没有交叉项。其弹性系数等于模式共振频率的平方对每个广义位移用拉格朗日定理广义坐标是刚体两端的位移三个弹簧的势能也同时达到极大，同时取零值各个坐标的位移是同相或反相的频率较高的模式的两个质点的振动反相位当固定，的钳定力阻抗其弹性系数等于模式共振频率的平方中间的弹簧弹性越大，耦合越强简正坐标动能和势能是各个模式贡献和，没有交叉项。2022/11/276第6页，共74页。共振模式，或振型，(广义)正交振型2022/11/277第7页，共74页。2022/11/278第8页，共74页。中间的弹簧弹性越大，耦合越强两个单独的共振频率越接近，耦合越强。耦合很弱时，共振频率接近单个共振频率，一个质点的振幅比另一个的大很多。频率较低的模式的两个质点的振动同相位频率较高的模式的两个质点的振动反相位一个模式振动，两个质点的位移同时达到极大，同时达到零。它们的速度也是同（反）相位的，与位移差四分之一周期两个质点的动能同时达到极大，同时取零值三个弹簧的势能也同时达到极大，同时取零值动能势能两者和守恒，一个模式的能量转换和简单振子相似2022/11/279第9页，共74页。模式通解，一般的自由振动是模式的线性叠加。两个任意常数2022/11/2710第10页，共74页。根据初始条件求解2022/11/2711第11页，共74页。例两个振型分别是两个质量的单独振动

2022/11/2712第12页，共74页。例：对称系统2022/11/2713第13页，共74页。2022/11/2714第14页，共74页。若则拍，包络差90度，能量交换2022/11/2715第15页，共74页。2022/11/2716第16页，共74页。受迫振动

如果质点受力解得

2022/11/2717第17页，共74页。共振,对称性，互易性2022/11/2718第18页，共74页。2022/11/2719第19页，共74页。力阻抗当固定，的钳定力阻抗

当固定，的钳定力阻抗互阻抗

2022/11/2720第20页，共74页。机械输入阻抗

当上受简谐力时当上受简谐力时2022/11/2721第21页，共74页。相空间和模式的正交性

2022/11/2722第22页，共74页。双质点单弹簧振动系统

2022/11/2723第23页，共74页。平动模式系统可以自由运动系统一个“共振频率”为零对应的“模式”是匀速直线运动2022/11/2724第24页，共74页。质心静止2022/11/2725第25页，共74页。能量2022/11/2726第26页，共74页。当与静止的一样2022/11/2727第27页，共74页。二维势能场中质点的振动

重力场势能下滑力2022/11/2728第28页，共74页。2022/11/2729第29页，共74页。坐标轴旋转主轴2022/11/2730第30页，共74页。分析力学双质点三弹簧系统2022/11/2731第31页，共74页。刚性棒的横向振动

广义坐标是刚体两端的位移位移2022/11/2732第32页，共74页。动能势能拉格朗日量拉格朗方程2022/11/2733第33页，共74页。运动方程2022/11/2734第34页，共74页。本征方程第一个模式第二个模式2022/11/2735第35页，共74页。一般理论

广义坐标广义速度内积2022/11/2736第36页，共74页。动能是对称的，正定的，实的任意的复矢量2022/11/2737第37页，共74页。势能位置的函数对称正定实矩阵2022/11/2738第38页，共74页。拉格朗日量对每个广义位移用拉格朗日定理2022/11/2739第39页，共74页。振动方程2022/11/2740第40页，共74页。稳态受迫振动解2022/11/2741第41页，共74页。互易性和是对称的是对称的是对称的互易性（对称性）两组外力分别产生的位移2022/11/2742第42页，共74页。共振频率、振型和模式外力为零非零解广义特征值问题2022/11/2743第43页，共74页。n个耦合的共振频率(可能有重根)对应n个特征向量振型，满足模式

实的实的各个坐标的位移是同相或反相的2022/11/2744第44页，共74页。振型的正交性省略转置号2022/11/2745第45页，共74页。当振型对于质量矩阵广义正交，归一把各个振型作为列，排成方阵2022/11/2746第46页，共74页。正交归一方程

2022/11/2747第47页，共74页。例2022/11/2748第48页，共74页。2022/11/2749第49页，共74页。简正坐标2022/11/2750第50页，共74页。对于任意的矢量振型的完备性

简正坐标物理坐标

2022/11/2751第51页，共74页。例2022/11/2752第52页，共74页。投影矩阵分量投影矩阵振型的完备性2022/11/2753第53页，共74页。例2022/11/2754第54页，共74页。2022/11/2755第55页，共74页。系统的能量

动能和势能是各个模式贡献和，没有交叉项。2022/11/2756第56页，共74页。例2022/11/2757第57页，共74页。和简单振子的能量比较一个模式等效为一个简单振子等效振子的质量是1等效振子的共振频率模式的共振频率其弹性系数等于模式共振频率的平方2022/11/2758第58页，共74页。广义力例2022/11/2759第59页，共74页。运动方程拉格朗日量运动方程2022/11/2760第60页，共74页。物理坐标质点的共振频率物理坐标等效振子的共振频率模式的共振频率频率较高的模式的两个质点的振动反相位n个耦合的共振频率(可能有重根)中间的弹簧弹性越大，耦合越强质量矩阵正定的对称矩阵通解，一般的自由振动是模式的线性叠加。各个坐标的位移是同相或反相的是对称的，正定的，实的其弹性系数等于模式共振频率的平方当固定，的钳定力阻抗共振模式，或振型，(广义)正交当上受简谐力时一个模式等效为一个简单振子2022/11/2761第61页，共74页。自由振动2022/11/2762第62页，共74页。物理坐标的解2022/11/2763第63页，共74页。投影矩阵2022/11/2764第64页，共74页。受迫振动

2022/11/2765第65页，共74页。冲激脉冲力2022/11/2766第66页，共74页。冲激脉冲力作用的受迫振动

2022/11/2767第67页，共74页。频域法2022/11/2768第68页，共74页。2022/11/2769第69页，共74页。2022/11/2770