2022年高考数学理科版复习讲义大题小做第6单元

专项六.... 函数、导数与不等式％<Y・ ,一二-=3■■—大题小做考点17利用导数求函数的

单调区间和极值大题•题型分析导数主要用来研究函数的单调性、极值、最值,而单调性是求极值、最值的基础.利用导数研究函数的单调性包括三种类型：(1)不含参数求单调区间;(2)含参数讨论单调性;(3)已知/W的单调性求参数的范围..已知函数解析式求单调区间，实质上是求r'3>o/'(x)e的解，一定要注意定义域，不要忽略函数的间断点..求解含参函数的单调性问题要分类讨论，通过确定导数的符号来判断函数的单调性..已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.研究含参函数的单调性是高考的热点，含参函数的单调性问题一般要分类讨论，常见讨论方法：(1)方程/加是否有根;⑵若f'(x)R有根,求出的根是否在定义域内;⑶若根在定义域内且有两个，比较根的大小.小做•拆解技巧庖丁解题高考真题过程拆解(2017年全国〃卷,21)已知函数f{x}=a^-ax-x\n%目/(a)20.⑴求“⑵证明"3存在唯一的极大值点购且e<7(照)<2:1.求定义域..令4x)=ax-aTn%则4x)=心(x),/(x)20等价于通)20招(1),故/⑴电求出</的值..检验..研究导函数的单调性、零点的范围及等式,代换求得.答题模板评分细则解:⑴/(X)的定义域为。+8),设Hx)=ax-a-lna•，则/(x)=xWx),/(x)》0等价于爪工)20 1分得分点①因为虱1)电虱口20,所以屋⑴a又因为/(.。2=3+屋(1)=13-1,所以己二1 2分得分点②第⑴问踩点说明(针对得分点四物。警价转化得1分.期出a的值得2分.

③检验得2分.第⑵问踩点说明(针对得分点频次求导得1分.⑤研究导函数的单调性得1分.③检验得2分.第⑵问踩点说明(针对得分点频次求导得1分.⑤研究导函数的单调性得1分.⑥导函数的零点(隐性零点)得1分.⑦得出产而是/(X)的唯一极大值点得2分.⑧代换Inm得1分.⑨B出取值范围得1分.时,g'(x)x)M、)单调递增.所以尸1是的极小值点，故虱x)》MD=o.综上可得,a=l 2分得分点③⑵由⑴知/(%)=V-A-jrlnx,f'(x)=2*-2Tnx.设Mx)=2x-2Tnx,则〃'(x)=2一 1分得分点④当代(0,9时/,(a)e；当xegS时,“(力为,所以/0)在(0,今上单调递减，在g*冈上单调递增 1分得分点⑤又Me：)的,啰)<0川)电所以Mx)在(0,》上有唯一零点麻..1分得分点⑥在百・8)上有唯一零点1.且当xe((U)时,加*)3;当xe(即1)时风)<0;当xe(l,*8)时,Mx)N.因为尸。)文。所以X5是/U)的唯一的极大值点 2分得分点⑦由rm得/n刘=2(照-1),故/(加)=刘(1-%) 1分得分点@由而6(0,1)得,心)(因为是心)在(0,1)上的最大值点由e,W(0,l)/'(e')*0狷/U))«eW所以e*3对<2- 1分得分点@导向训练.已知函数/(r)=lnx-aV+2Zu(a刈，且/(%)</(1).⑴求函数/卜)的极值.⑵对于函数图象上不同的两点川和㈤,以弱,%),如果在函数图象上存在点尺沏词(其中拓在为与x之间)，使得点。处的切线/平行于直线施则称直线,仍存在“伴随切线”，当*“再上时，又称直线仍存在11中值伴随切线”.试问:在函数心)的图象上是否存在不同的两点46使得直线称存在“中值伴随切线”？若存缶求出M的坐标若不存在，说明理由.过程导引解析求定义域，求导，由，'(1)引得到鸟/，的等式，消去。分解因式，讨论导数的正负得出结论.解:⑴&)的定义域为(0,+8)J(x)2ax3,由f'⑴=l-2a铉30,得2分2a-l.6⑴}2a'3-1-02+(,»+1」(x一)(2ax+l)由题意可得关于的方程,同除以换元得关于X的方程1将方程的解转为函数的零点，通过求导，研究函数的单调性，进一步判断彳导出结论."a^.x^.^ax+lM.当0时,f'(x)与，.：(V)单调递增；当x>\时/'(x)<0,.：心)单调递减.的增区间是(0,1),减区间是在x=l处取得极大值且极大值为/U)=26-a,无极小值.⑵假设存在不同的两点不妨设0/4),使得直线48存在“中值伴随切线”，贝心止四=，'(空)，X]-X2 4

2n2化简得'nx「'"X2..:即lnil*,Xi-x2X1+X2' X221+1*x22沿的热wn=inv2x'2mu<r7-1 4l(x-dl攵ca数3)inL+W&(Mx(x+i)2x(x+l产当XG(O,1)时出'(x)电即本)在(0,1］上是增函数.2*2又0/1，•:虱言)《(1)电即>1n言与前面的结论矛盾，x2故在函数外刈的图象上不存在不同的两点44使得直线4”存在.,中值伴随切线”..已知/{x)-1nxfa2 40WO.⑴求，，的值；⑵设g)=x/(x),求证:g)有唯一的极小值点刖且过程导引解析利用40WO求出r'⑴的值求/3的导数求出a=o.解:⑴：・/3wo=/⑴,」「⑴a:丁'(彳)§2ax+a-1,a=Q,•:f\xj若，当0«<1时/'(方用,/口)单调递增；当x>i时,r'(x)©/(x)单调递减.・：公)在*1处取得最大值为下)老•:口力满足题意.(2)由⑴知,*»=lnx~xA,.\g{x}=xf{x}=x\nx-£+x、g'(x)=ln*-2x+2.令M力二InX一24+2,贝！J力'(M受.当0ag时，力'(*)地MH单调递增当M蛔■，力'(x)<0,力(工)单调递减，且以1)次此)须哙)<0.Z3陶£(1：),使川刘)=111刘~2照，2R,即In*0之4厂2,且当0。<用时,力(1)6,即/(切也4)单调递减当用<¥<1时，力3X),即g'(x)与M。单调递增；当x>\时,力(丫)①即"'(吊电式。单调递减.故虱力有唯一的极小值点勒且以Xo)=XuInAb~X尹X。=XJ-¥o-(Ao1广卜£(邦)，•:小侬对台斗检验a=0成立.二次求导研究导函数的单调性由零点存在定埋得出.V的取值范围.g’(词电得到In加之用-2,代换求得.突破•针对训镖L讨论下列函数的单调性.(l)/(AHa-l)lnx^+aX,⑵4X)[解析]⑴尸(x)qlm/2+ax+a/_(x+l)(x+a.l)4丸当时,尸(力人,40在(0J8)上单调递增.当a-l电即“<1时”3在(1乜*8)上单调递增，在(0/划上单调递减.综上可知，当心1时,儿丫)在(0产8)上单调递增;当a。时,/(,r)在(1F/8)上单调递增，在(0/-力上单调递减.(2)f'(*)=cx-a,x)Q,e>\.当aQ时/(x)20,则在(0产河上单调递增.当a>l时,0<r<ln4尸(百<0厕/(力在(0,lr)力上单调递减;x>lna/'(x)2则/5)在(Ina,+8)上单调递增.综上可知，当后1时J3在(0产8)上单调递增;当6时,&)在(01n力上单调递减在(Ina产叼上单调递增..已知函数f{x}=2axf.(1)任意[1,2],且为".都有3>收)2求实数，，的取值范围.XVX2⑵存在为,*W[1,2],且xH也使得曲里皿过求实数"的取值范围.xrx2【解析】⑴由题意得/(X)在[1,2]上单调递增/'⑴山塌工尸⑺对恒成立，即2ag》o,xe[l,2],,：2心9,2心+)„1*=、,•:心得⑵由题意知,/«在xG[1,2]存在增区间，即在[1,2]上f'(x)X)有解,.⑵看可有解，即2a4箱解，.：2a-X^^)11M=-2,xW[1,2],.已知 R,函数l{x}=my-2e'.⑴当mN时，求不等式4-v)<-2的解.⑵若/")有两个极值点，求0的取值范围.【解析】⑴当片2时,/(x)=2/-2e*,f'(*)X*-2e*=2(2xn?').令Wx)2『e；则g'(x)2p：当xC(-8,ln2),时g'(x)为，当x€(ln2,*可时,•:这Win2)=21n2-2<0..：/"(x)e..：/(▲)在R上是单调递减函数.:"5)(-2=/(0),.：*；0,即所求不等式的解集为(0,+可.⑵若的两个极值点为“以a®则演是方程rW=2®x-2e'=O的两个不等实根.•■■x=0显然不是方程的根,二0号有两个不等实根.令始月，则方'(力宴^.当xw(-8,0)时,/,"(a)<0,凤、)单调递减,/仙)6(—,0);当>£(0,1)时，力'(X)©M。单调递减当正⑴+叫时”⑴也吊力单调递增.要使/〃两个不等实根，应满足协》(1)勺・：初的取值范围是(e产叼..设函数/34rT),alnx.⑴讨论函数儿。极值点的个数.⑵若函数&)有两个极值点打打目小优求/(%)”(用)的取值范围.【解析】(1)/&)的定义域为(0,+8),/(»卫竽斗记Mx)之『-2x+a,则当4=4~8aW0,即如1,吊*)》0,，'(4)三0,/但在(0,+8)上单调递增,无极值点.当4=1出刀,即&曲)■，设2/-2x*a4)的两个根为且的<¥〃则的+*白,为及1.若0<a<i,Xi刀,及刀，当0<x<为时,f'(x)_X),4x)单调递增;当所时,f'(X)<0,(x)单调递减;当x>x-时,f'⑸汕中)单调递增.所以当x=M时,/")取得极大值当产x时,心)取得极小值，即公)有2个极值点.若a近o,xWo,eX),当oaa：时/'(力@/(力单调递减;当及时/'(力为/⑺单调递增.所以当1二此时,/(»取得极小值即心)有1个极值点.综上可知，当a?附,/5)无极值点；当0Q(明,/(x)有2个极值点；当aWO时,&)有1个极值点.⑵由⑴知,若函数/(*)有两个极值点和乂,则0Qg且白此<1,2询-2x；*a=0.因为汨+及二1,汨是多所以/(*)*/(及)《riT)'为In汨«「1)'匕1口加玉1+尤,)2-2汨生+aln为也二1-431成.令双句二1七为呜O〈ag,则屋(a)二呜〈0,虱访单调递减因为x从0的右边趋近于0时，期力趋近于1,所以力<LW9](lTn4),所以;(1Tn4)<7(以+*均)<1..已知/(a)-Inx号父+2X.⑴讨论/(x)的单调性.⑵仑0,对任意犯及£(018),且汨/岛有|/'(X[)-f(X2)|24|Xi-X2l，求行的取值范围.【解析】⑴/(旧的+2星誓，当a?0时,f'(x)刀,在(0,*叼上单调递增；当a<0时，设ax+2x“=0的两个根为Vi,a.且小3则*用上<0,8<0<¥<加必卓”用旦孚马.当oaa时/'(X)泡/⑴单调递墙当才》&,尸(»)<0,/3单调递减.综上可知，当a>0时,/3在(0,+8)上单调递增；当a<0时,/(x)在(0,九)上单调递增，在(*,+8)上单调递减.⑵心o,由⑴知&)在(0产8)上单调递增，设“则•：1/(*1>。2)1心4%-必|化为-H)/对乂苞~4初即/(*jT£i>WJ6)YAi.设M)=«x)Fx=lnx号-2%则良力在(0,+河上单调递增，即g'(x)》O恒成立,g'(x)*+ax-2川,心，.已知函数7(x)=(a/T)e；aWR.⑴若函数/(X)在(1,土2无极值求〃的取值范围；⑵当aWO时,求函数/U)的单调区间.【解析】(1)/(*)Xax22avT)cX£R.因为函数/")在(1产河无极值所以Zb)在(1/8)上单调递增或单调递减，所以尸(力20或f'COWOQLBPax~+2axT20或ax12axTWO/>L即启岛;或后含，*》1・只需心(£跳、或点(x2；2x)","因为°‘二片专““所以或aWO.⑵段a=0时,/(力0几丫)在R上为单调递减函数.至当a<0时油尸(X)=(/*2axT)e：可设4*) +2avT.方程g[x}=a^遂axTR的判别式4R事封为令4巾解得a=T或aR(舍去).(/)当a二T时，期x)二寸-21-1 》W0,即f'a)<aT*2axT)e'W0,且在*二-1两侧同号，仅在x=-l时等于0,则/但在R上为单调递减函数.(〃)当T<a<0时,A<0,则g(x)=ax*2ax-1<0恒成立，即f'(x)<0恒成立，则/⑴在R上为单调递减函数.(仞)当a<-\时,AX4MaR,令虱x)4),方程a/+2a*T=0有两个不相等的实数根％=-1+空,X1+a,作差可知I匹X，匹，a a则当x<-\过五时,£x)e,f'(x)<0,即/。)在(-8,-1X要)上为单调递减函数；当-1当五1的>时,虱力刀片'但可，即在(T当三,-1呼)上为单调递增函数；当xX丹五时4*)©，'(*)©即/(X)在(T丹三)上为单调递减函数.综上所述当-1<后0时，函数年)的单调递减区间为R；当a<-\时，函数/")的单调递减区间为S-1哼%-1用口河，函数/W的单调递增区间为*a a*养•愿飨灾篌研究含参函数的单调性是本节重点与难点，重在考查分类讨论思想.分类讨论时要注意以下几点：(E明确分类对象.②明确分类标准.必逐类分类、分级得到阶段性结果.@用该级标准进行检验筛选结果.⑤归纳作出结论.复习建议:基础知识才底到位，学习过程中通过对典型例题的归类、分析，积累如何对变量和参数进行分类讨论的经验.解题过程中要注意表达准确、考虑周密、书写规范、语言科学，避免缺失重要步骤失分.大题小做考点18函数导数中的最值、恒成立问题A题•题型分析.如果在区间［a㈤上函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值..求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值不需要判断直接与端点的函数值b檄即可.若开区间内有最值,则必是极值..当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值..求极值、最值时，要求步骤规范、列表齐全，涉及含参数时,要讨论参数的大小.⑴恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解若不能分离参数,则可以将参数看成常数直接求解.(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题.利用导数研究不等式恒成立问题，要构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性求出最值,进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可分离变量，构造函数直接把问题转化为函数的最值问题.小做•柝解技巧庖丁解题高考真题过程拆解(2015年全国/卷,21)设函数H力飞"Finx.⑴讨论中)的导函数/ 零点的个数；⑵证明:当aX)时,/(x)22a+alnZ3.求定义域,求导..讨论参数的取值范围，对参数a的不同取值判断零点的个数..寻找/")的最小值/您)“”证明其满足ax).G2a+aln谜一转化为(x)》2a+aln答题模板评分细则解:⑴/")的定义域为。*8)/(x)2e"?xX))..1分得分点①当aWO时,f'(x)电f'(x)没有零点； 1分得分点②当aX)时，因为yR在定义域上单调递增,片卷在定义域上单调递增，所以/“3在(0,+河上单调递增 i分得分点③当X—0G从右边趋近于0)时,/■'(■¥)--8；当L+8时,f'(*)-•+8.又/"'(x)在(0,*8)上是^续的，故存在唯一的X"e(018),使得r，(x)=0 2分得分点④故当a刀时，尸(、)存在唯一零点 1分得分点⑤⑵由⑴知/•'(*)在(0产8)上的唯一零点为题当》£(0,8)时,/"(才)<1)；第⑴问踩点说明(针对得分点"决定义域求导得1分.端类讨论之一得1分.③分类讨论之二得1分.a由连续性与单调性，得出唯一零点得2分.⑸结论得1分.第⑵问踩点说明(针对得分点⑥®®(好得/(X)在(0,+8)上的单调区间得1分.©求出最值得1分.须得到关于零点的方程得1分.初代换，基本不等式得2分.施结论得1分.当XG（Xo,+8）时,/"（x）?0.故儿，）在（0,刘）上单调递减，在（禹,+8）上单调递增,1分得分点⑥所以当户的时,/3取得最小值最小值为ZU）..I分得分点⑦由于2eZxoS=« 1分得分点⑥XO所以/^Xo）^e2x°-aln ^2ax<\1n-2an-.2x02ezx02xo a a 2分得分点⑨故当.3A）时,/（x）N2a+aln： 1分得分点®导向训练L设函数/（*）=Jlnx-x+ax.⑴求几。的最值.xC[l,e]恒成立，求a的值过程导引解析求定义域,求导.按照根的大小及与定义域分类讨论.先由必要条件缩小a的取值范围,然后化为最值，求出*的取值范围.注意取交集.解:⑴：7（>）二厅Inx-大+ax,x4,—/-2*+a=，x-a）（2x+a）X X当a=Q时JU）在（0产8）上单调递减.：/（x）无最值.当aX）时,/（“在（0川）上单调递增，在（a,+叫上单调递减,.:当产a时,/⑺取得最大值为/（x）„M=/（a）-aJlna,/（x）无最小值.当a<0时,/（x）在（0,彳）上单调递增，在（彳,+8）上单调递减,.:当*叁时,（）取得最大值为/⑺皿文甘力四彳）多；&）无最小值.综上可知，当a=O时,/）无最值；当aA）时,/（当叫号1na,仆）无最小值；当a<0时,/（力皿二/111（9*',&）无最小值.⑵由题意得/（1）、-120-1,即a2e,由⑴知儿。在口用上单调递增，要使W/WW人对，七口河恒成立，口副f⑴=却1>.1，八9f（e）=a2-e24-ae<e2,解得a=e.2.®/(x)=\/x-aln%aCR.⑴讨论外)的单调性.⑵若心）>2打-24号,且aX）,求h的取值范围.过程导引解析求定义域,求导.解:⑴/（MXi-alnx的导数为，'（*）喘?嘤，才也当a《0时/'（方2/但在⑥,叫上单调递增.当，刀时，令/'（¥）电得x=4a~.x>4a"'（x），X）,&）单调递增;0<x<4a!,f\x）e, 单调递减.讨论a得结论.由⑴结论得最值.构造函数研究函数的单调性及零点.(2)/(x)>2a-2a；4只需/")的最小值大于2a-2a*.当a_X)时,由⑴知/“(X)嗤"X).*Ma["(x)X),/(、)单调递增；o<x<\ff,r(x)e,/(x)单调递减.即/(X)在xNH处取得最小值且最小值为/(4tf)=2a-2aln2a,所以只需/(4a)^2a-2aln2a>2a-21岑令Ma)=2a-2aln2af则/?'(a)=4a-21n2a-2,令虱a)Ea-21n2a-2,则g(a)Na-a2.当时,g'(a)?0,期a)单调递增，当004时,/(力<0,a,)单调递减，所以4为与武今力，即“(a)》0恒成立，所以火力在(0,+8)上单调递增.又因为用)R,所以当a.%t2a'-2aln2a-X).即当a制,/(4才)?2a-2a*恒成立.综上所述，司的取值范围是&+8).突破•针对训炼.已知函数4X)气”-打尤⑴若求46的最值.⑵若对一切x£R,/«21恒成立，求，的取值集合.【解析】⑴因为与之,所以/(x)气‘-2工所以当*<ln2时,尸(彳)〈0/11)单调递减;当x>\n2时,尸(彳)>0,/(*)单调递增.故4V)的最小值为/(In2)-2-2ln2,4v)无最大值.⑵当〃力时"(x)气%£(-8,0),/(小1,不满足题意.当a<0时J(x)=e-8"(同--已不满足题意.当aX)时/'(x)=e'-a,令F’(x)也得v-lna.当彳<ln〃时单调递减当月)ln〃时/'(力以中)单调递增.故当彳=lna时,/(*)取得最小值/(Ina)=awlna.即当a-aln@21对一切x£R,/(>)21恒成立.令 。则屋(t)=Tnt.当oc<i时出'(。为，耳。单调递墙当t>\时出'(『)<0,以。单调递减.故当E时,出。取得最大值⑷)刁.因此，当且仅当“1时成立.综上所述团的取值集合为{1}..已知/(A)-xlnx.⑴求函数/U)的单调区间；⑵求函数/3在比刈上的最大值；⑶当后1时,/但与乩人1),求实数〃的取值范围.【解析】⑴/。)的定义域为(0产8)/(»=in户l令尸(力。解得oag；令/“(力为，解得所以外力的单调递减区间为(0,1单调递增区间为6*8).⑵由⑴知/w的单调递减区间为(0$,单调递增区间为&产8),则当时，，无解；当0agc+2,即0C加,心)在［地上单调递减，在曲+2］上单调递增.令炭。=4"2)-az)=(t+2)ln(t*2)-flnt,则g'(0=ln(t+2)-lnt.因为1%,“2乂,所以/(，)为,土)单调递增且虱。；0,所以所以/(x)4*=/Q+2)=(［+2)ln("2).当;WS2,即t”时,/(力在""2］上单调递增，所以/(■¥)““("2)Xt+2)1n("2).(3)令M*)=*ln『己(*-1),则力'(同=1118-2用”1,令式力=1口x-2ax^l,^i^―.a<0时,5’(工)20屈力单调递墙«*)，5(1)=1-28?0,・：当*21时，力'(*)期M*)单调递增,凤力2M1)次.力(A)=xlnx司fT)20,当彳21时,/(x)2a(*T).0Q〈；时,1a*s'(x)X),&)单调递增,t%,s'(*)<0,s(x)单调递减..s(x)W.哈)=Tn2a?0.又：Rl)=l-2<?zX),X-*+80由 6,记对老照£(Lf°°),•:当)£(1,刘)时,力'(力双当★£(蜀产河时43⑴.•:以X)在(L对上单调递增，在(照/8)上单调递减，此时4耳2Mx1)不成立.妈 时,*>l,s'(x)e,sQ)单调递减心)WMl)=l-2aW0,.：当x>l时，力'(*)©.：/。)单调递减力(a)WM1)O, 1,&r)wM"T),不满足题意，舍去.综上可知，当aW0,Ql时,/(x)2乩TT).故〃的取值范围为(-8,0］..已知函数f［x)^a\nx,aWR.⑴求函数/U)在区间(0浦］上的最小值.⑵任意的刖年曰0,目且3口都有心)*/。,求»的取值范围.xrx2【解析】(i)f'(x)=^,*w(o,*8).。当aWO时,xe(0,e］,/“(x)◎此时儿。在区间(0,日上单调递减，则/5)在区间(O,e］上的最小值为/(e)/+a峪0《◎即a翎，xe（03,f'（x）<0,此时心）在区间（09上单调递减;g,ej/'（x）为,此时«x）在区间©ej上单调递增.则中）在（0同上的最小值为4）=a+aln髓经e,即03近：时，xe（0,e],/“（x）这0,此时/（x）在区间（0,e]上单调递减，则/3在区间（0,e]上的最小值为/（e）多a.综上所述，当aW矢L/5）在区间（0同上的最小值为:，或当a*时,/（x）在区间（0,旬上的最小值为a+aln,⑵不妨设改厕®化为/（川）-4而）<>,-1.,即/（Xi）-Xx<f[x^）~x„XVX2设观耳二个）F由题意得出）在（03单调递减，故g'（A）W0在0o]上恒成立,/（加隹号TW0“£（0,e],则庐，彳“£（0同故后（：句.0=2迎..已知函数/（jr）-lnx-ax'^a-2）x⑴若OQ<1,求函数尸/（x）在卜闾上的最大值.⑵若（V）存在最大值,且最大值大于或等于Tn2飞,求a的取值范围.【解析】（1）.4三-2「口-2）」々"学吃=口吗”+1）:（0/8）,.：ax+l为，.：/3在（0$上单调递增;在g+8）上单调递减.⑦当时,/U）在上㈤上单调递增，*/（%）«,»—/（ci）—1nn~3 -2a；型 1即将母时,心）在（吗）上单调递增，在（%）上单调递减，：/（力皿=«；）=Tn2彳写书Tn2;旗当卜，，即苧Wa<l时,心）在后旬上单调递减，：/（x）s=/（寸）=21na-ci'-2cf.综上所述当OQW：时，函数片在囱句上的最大值是Ina-a'法-2a；当我〈苧时，函数片中)在卜间上的最大值置TTn2；当苧Wa<1时,函数片/3在上间上的最大值是21na-2/.⑵由⑴知f'(X)=01等±22.当心0时,：XC(0,+8),.：a"与，.：G)在(0,§上单调递增，在g,+8)上单调递减，当xf时,《X)取得最大值.当a<0时，令r'(x)引得小多乂=3.当品，即时,f'(x)河外)单调递增，心)不存在最大值.当口£即-2<a<0时,0agf'。)为,/3单调递增JaT,，'(力©/(、)单调递减.\>'/'(力为,/3单调递a4 4 4a u增,心)不存在最大值当34即a<-2时,0〈x〈T，f'(x)?0J(x)单调递墙344f'(x)<0,/(x)单调递减 '(x)X),/(x)单调递增,/(*)不存在最大值.所以当心0时,*三中)取得最大值为《)=Tn2-M>-ln2V即e货-1》0,令4)*货T,则4)单调递增且40)=0,所以Q0,目咛-1>0.综上可得,”的取值范围是[。产叼..已知/(工)4*-1)。'13*'.⑴若a-G[0J,aX),/3的最小值为-1,求»的取值范围.⑵当aG(0,2]时证明:V*W[0,a],/(x)WeT.【解析】⑴/''(')=《'/4?0,令/”(*)电解得了甩龙=1[1a当InaWO时,00这1,/“(*)对,北[0川,/3单调递增,当*=0时取得最小值/(0)=-1,所以0Q这1满足题意.当0<lna<l时,lQ<fe,xd[0,lna],/"(x)W0,/(x)单调递减,xC[Ina,l],/“(x)》0,/(x)单调递增.当x=lna时取得最小值/(Ina)=alna-a-1a•(Ina)：=T,解得a=l(舍去).当Ina》l时,?—/'(*)这0,*口0川,&)单调递减当尸1时取得最小值/⑴=小=-1,解得aN,不满足a》e(舍去).综上可得"，的取值范围是(0,1(2)要证ae(0,2]时,YxW[0,a],/(x)We：y,只需证/(x)…We'Y,易得Ina<a.当InaWO时,01/(6与0/£[0间,/(力单调递增/&)n"/(a)qaT)eTH；当0<lnaQ时,1 [O,ln司/'(力・0,/(“)单调递减“£口11与司,〈'(*)20/(力单调递增,4%『ax{/(0)"®},/(0)=TWef故只需证f(a)^(a-1)c1-^ae2-4.令良a)«T)ef,则gCe"多).令武a)三。多,则力'(a)*"].0Q<1&'(a)电始)单调递减”号力'(力次力(a)单调递增，.:饵力“，功(1硝=|(1-1n1)X),所以g'(a)电双力单调递增，4百所以/(a)=(a~l)e1-^ae2-A,即当a£(0,2]时,V*£[0,处/(力<©2/.设函数^)=e'^-2x⑴求/卜)的最小值 .⑵已知加0,对任意勒在£[-典/〃],都有|f(与)-。2)|近誉-2,求r的取值范围.【解析】⑴尸(»2e"2『2，(x)在R上单调递增.又尸(0)可所以当匕0时,/但泡/。)单调递墙当x<0时/(x)<0/(x)单调递减当x=Q时/")取得最小值f(0)=L⑵加泡任意而,也£[-典"都有|/(勺)-电2)1We、2只需|f(Xi)・f(X2)lmaxWeT.令爪加-wFb,dy%则/(力%％2小~4川,故土)单调递增.又以0)耳〃出所以期力)20,故故)2AR),所以当[-同同时"(»心二《卬),/(小产电)，所以/心)-/(对/・”=徊-«0).由4m)-/(0)We，2得4卬)国"戒-2底cT=/(l),又因为当D时,心)单调递增，所以0SW1,<养•甩•飨建馍研究函数的最值与恒成立问题是本专题的重点与难点，重在考查转化思想，数形结合思想.转化就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题方法的数学思想.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.大题小做考点19函数导数中的

零点个数问题K题•题型分析.函数零点的存在性判断主要依据函数零点存在性定理即连续函数在开区间(a,〃)上满足/(a)/3)e,则函数区间上的零点..函数零点个数的判断，主要借助函数的单调性以及零点存在性定理.

.解决零点个数问题主要有两种方法：(1)利用分离参变量，转化为函数图象的交点问题;(2)研究原函数，分类讨论.小做•拆解技巧庖丁解题高考真题过程拆解(2017年全国/卷,21)已知函数《X)揖：'3-2)e*-x⑴讨论儿。的单调性；⑵若/(X)有两个零点，求a的取值范围.1.求导，根据导数与函数的单调性的关系，分类讨论,即可求得的单调性.2.由⑴中结论，进一步分析有两个零点的充要条件,对所得条件进行合理转化，求得，，的取值范围.答题模板评分细则解:⑴/(力二ae"*a~2)e'f'(a)=0,aeL,Ha_2)e'T.当a=Q时,f\x}=-2e~\<0,：4，v)在R上单调递减 1分得分点②当a>Q时/(%)42eF)(肥T)之a(eg)(c6令解得x=lni令/"(X)电解得r>ln令F'(x)<0,解得x<ln：“£(-『In今时,&)单调递减，x£(ln]河时,/卜)单调递增 2分得分点③当ae时,(x)2Ke'*)(/[)e恒成立.：在R上单调递减 1分得分点©综上可知，当aWO时,/(力在R上是减函数；当a-X)时,/(x)在(-吗必今上是减函数，在(In+叼上是增函数 1分得分点⑤(2)谓aWO时，由⑴可知,/卜)最多有一个零点 1分得分点⑥当时,几¥)二舐Na-2)eT,当-°°B^,e2'-*0,e'-0,:当X--8g由+8,当广fJ+吗且远远大于人和用:当X一+004自f+00,:函数有两个零点，只需/W的最小值小于。即可 2分得分点②丁由/(*)在(9in》是减函数，在(In8)是增函数，.*X--ln?。：13Tn-<D,BPIn14-1X) 1分得分点@a a aa设吟则水)-l(rX)),g'(z)*L：X1),：£』)】,解得0Q1, 1分得分点⑨第⑴问踩点说明(针对得分点2求导得1分.酸类讨论之一得1分.趋分类讨论之二得2分@分类讨论之三得1分.与结论得1分.第⑵问踩点说明(针对得分点⑥分析零点个数得1分.:褊足零点个数条件的含参讨论得2分.3察函数最值得1分.该换元解不等式得1分.面结论得1分.•*的取值范围为(0,1) 1分 得分点废导向训练

1.已知函数f{x}=x-bx+\x\MZ?＞3）,记函数4X）的导函数尸'（入）的两个零点是X和x 求证：/（.片）-4为号-®2.过程导引解析对/（X）求导得到XX的关系式.根据/＞＞3,可得f'（》/''⑴的正负从而确定的范围.解:/5）=户bx+1nx,f'（*）=2i♦空詈上由题意知,M八是方程2*-公*4）的两个根，故X\X\记4x）%2-6"L因为6＞3,所以舄）夸＜0,爪1）书斗＜0,所以x£（0皮）,*£（1/8）,且bx\2c*l,6x=2x；4.计算/并用M《状入化4X2简变形，根据用的范围得的最小值比：Tn2大即可.所以/（A：）-f{x}^（xf-x|）-\bx\-bx^4n -x|）*lnp因为武正号所以M喘.故/（司）E照）田Tn（2x1块£（1产河.令^x|G（2,^）,h（t）=f1xt）-/（X2）44t4nL因为力'（。驾电所以M。在⑵+8）上单调递增，所以力（。）n2）至52,即/（小）-/（为号Tn2.2.已知函数/W-ln 有两个不同的零点证明:汨&&.过程导引解析由零点的意义得到两个分别关于-V,和风的等式,利用这两个等式消去，得到关于“的等式.解:由题意知1管一个::U两式相减得1吟司/E）K,即（ITlXz-dX?十D—U, «2一呜a %xi-x2故要证X比3,即证―%售，即证In守坐乎4-2仔.a （/n-1） x2xlx2x2X1不妨设aJ,令义（0,1）,则只需证ln，a-2*,设爪。-Int"乜则g（£）%lnt 设M0~21nt《，则力'（t）=e,.:M。在（o,i）上单调递减.:Mt）Mi）=o,•：4D在（o,i）上单调递增，•:4）31）R,即ln】＜7-2区te（0,1）时恒成立.故用分析法分析要证明M死&，把⑴中的等式代入相到关于.V,和M的不等式，化为u的不等式.X2构造函数，利用导数研究该不等式恒啦.突破♦针对训练.已知函数A^）=（A-2）ln*吆＞-3,彳21.试判断函数”八）的零点个数.【解析】由/（A）＜x2）ln彳+2彳-3/21,求导得f（力=111*—+3（x21）,则函数f（力在［1］河为增函数,所以r'(A)2f〈i)=L故/(x)4v-2)ln"2>-3在U/8)上为增函数.因为*1)7<M2)=1过所以函数()在［1产8)上有唯一的零点..已知函数«x)=x+lnx.求证:函数尺x)力号有且只有f零点.【解析】由已知得,外)=/--1,则尸(*)当如:.设A(x)=x'T+ln%则。'(力之彳号?0(m刈,故A(x)4T丹nx在(0,+句上为增函数.又由于始)=0,因此尸'⑴K且尸()有唯一的零点1.当00<1时尸(x)<0,当x>\时尸(*)人..：凡。在(0,1)上为减函数在(1J8)上为增函数..:凡。的最小值为8)=0..：函数Hx)=x"有且只有一个零点..已知函数/(^)-lnx-%若方程/(x)W加(-2)有两个相异实根且汨3证明:工据<2.(提示In2^0.69)【解析】因为/U)=lnx-x,所以/"(*)=T,所以4丫)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.设/3=必》〈-2)有两个相异实根S,满足1n*-牙-勿=0,且0<¥|<1,£>1/11>|-跖-勿二111x：-x--m=Q.由题意可知Inx：-x:=m<-2<\n2~2,而/(*)=lnxrr在(1尸8)上单调递减，故也>2.令4r)=lnx-x-/n,In照Tn2.令M2抬.3lnr-ln2(r>2),则力，(f)=rG2)*t+!)当少2时,方'(。<04)是减函数所以力(。<77(2)之屈2-1<O.所以当x>2时，爪汨)-爪,)<0,即爪小)磔看).因为小)在(0,1)上单调递增，所以X、.，故Xxxl<2.综上所述M竭②.已知函数*x)=其中为X£R.⑴当a=l时,求函数/(\)的单调递减区间；⑵若函数人。在区间(1,2)上不是单调函数求实数〃的取值范围；⑶当xe[0,3]时，函数在x巾处取得最小值,求实数〃的取值范围.【解析】⑴当a=l时由f(x]<0,即3父+2]-1◎得~ia4即当时，函数«.、)的单调递减区间为(f\x)Aa大包x~~a.要使函数/*)在区间(L2)上不是单调函数，则方程f'(x)R在区间(1,2)上有不同的零点，由3aV彳导M3「-1)二-2K:W(1,2),.：3/-1#0,.：a=-品.令艮加费1收(1,2)),则/(切益契0,.:虱x)在区间(1⑵上是单调递增函数的)=T,42)二小故〃的取值范围是(T,$).(3)由题意可知，当xG[0,3]时,/(x)》/(0)R恒成立，即xe[0,3]时,一也七20恒成立.记h(a=a]C+x-at当aR时在也3]时恒成立，符合题意；当心0时,M0)=f©不符合题意；当a<0时,M0)=-a_X),则只需M3)总a*3》(U导a》g即^a<0.综上所述1a的取值范围为【弓⑼..已知函数心)=(2-a)(『l)-21nMaER),若函数/(x)在(0,》上无零点，求”的取值范围.【解析】因为A-v)<0在区间上不可能恒成立，故要使函数/")在(0,§上无零点，只要对任意的vW(0,》/U)X)恒成立,即对re(0,i),a>2当恒成立.3 X"!令Mx)2等xe端)，则人)胃柒再令*/)21nx-i^-2,xe(0,1),则0，(力苦故2)在(03)上为减函数于是,=-21n3过从而〃'(切为,于是/心)在(04)上为增函数所以MMWgZTln3,故”的取值范围为【2-31n3,+8)..已知函数Hx)qq"(aT)lnMa>0).⑴求函数火力的单调区间和极值；⑵证明当代[初时，函数/⑴没有零点.(提示:In2-0.69)【解析】(1):"(x)如号(T)ln.z/.,(Y)Jx+l)(x^)、ax^,*%,.：xG(0,J)时,/"(x)<0,*e(a；+8)时,尸⑴却..：/3在(0,4上单调递减，在(a)8)上单调递增，.:当x=J时,/5)取彳#®小值为/(^WE+lY4-Dlna].⑵由⑴得，当产4时,/(力取极小值也是最小值,/(才)4J+l«T)ln外：方—.：江依4.设良。="1"(fT)lnt,；WfW4,则g'(D』Tnt.:N⑺在剃上单调递减且屋⑴与/⑵e,.：&'⑺有唯一的零点©e（1,2）,使得M。在《㈤上单调递增，在（典4］上单调递减.又金誓R，W4）=5fln28，•:4r）X）恒成立.a］X）恒成立，则/但为恒成立，.:当a£$2］时，函数/。）没有零点.＜恭•愿飨建强导数在解决函数零点问题中的应用是本专题的重点与难点，主要考查参变量分离、数形结合以及分类讨论的数学思想方法.高考中，大题的零点问题,无夕呼利用函数图象的交点，或者应用分类讨论思想，对于含参问题，能用参变量分离，黑婚分离,找到熟悉函数，从而作图.解决参数范围问题，在此过程中，应熟练掌握常见函数，通过求导判断单调性，并注意函数的上下界.大题小做考点20函数导数与不等式的

综合问题A题•题型分析导数主要用来研究函数的取值、单调性、存在性和恒成立以及零点个数问题.高考针对此类问题主要以含参问题为背景，考查分类讨论思想的应用.在解决此类问题时，主要依据参数的位置采用:⑴参变量分离法;（2）分类讨论法.在具体问题的解决过程中，还会碰到导数与不等式的有机结合.当做•养解技巧庖丁解题高考真题过程拆解（2015年陕西卷,21）设。（41,40,〃£N,〃22.⑴求£'⑵;⑵证明：。。）在（0,，内有且仅有一个零点（记为4）,且转）1.将已知函数求导，取X=2,得到£'⑵；2.只要证明£（力在（0$内单调递增彳导到有且仅有一个零点，然后£（a）变形得到所求.

答题模板评分细则解:⑴由已知得,£'(x)=l+2*+3"・・+〃" 1分得分点①所以/；'⑵=4吆X24X听…n・2n\(*) 1分得分点②则2。'(2)=2+2X2-+3X2'—•2",(秫由2K得工，⑵=]+2以+2»-2.转_〃-2口1 2分得分点1-4③所以£'⑵七-1)2”1 1分得分点④⑵因为/；,(0)=-1 电所以£*)在(09内至少存在T零点 2分得分点⑤又A'(切=1，2k3『一+”'为,所以£(*)在(0翁内单调递增.所以£(力在(0$内有且仅有一个零点4 1分得分点⑥_Y.vO+1因为〃*)号1T，所以0=。(4)智则-1.所以a“E』a；；+i 2分得分点②因为Oga/igx(于”/(歹・所以0心.34(》 2分得分点@第⑴问踩点说明(针对得分点5W@：四导得1分.部入数值得1分.信错位相减得2分.@1言论得1分.第⑵问踩点说明(针对得分点⑤©⑦@i：⑤代入区间端点值并判断零点存在得2分.⑥利用单调性判断零点个数得1分.⑦化简得到“白的表达式得2分.骐！J用表达式证明结论得2分..导向训练.已知函数几⑴讨论函数“力的单调区间；⑵右V/£[1产8),4*)+1nx^aA但成立求a的取值范围.过程导引解析求出函数的导数通过讨论a的取值范围，求出函数的单调区间即可.构造函数W*)=/(x)+lnx-a-L并求出g'(*).当a"-2时,证明晨(x)X)需借助进行放缩.当a<~2时，构造函数反力气、‘♦他通过力'(X)分析饵耳在(1/-力上存在零点.分析乳、)的最小值不满足Wx)X)恒成立，从而得到〃的取值范围.解:⑴f'(x)C+目但a》Q时，尸(x)N,/(x)在R上单调递增；侬a<0时，令f'(x)可，解得x=ln(-a)+l,故亦n(-a)+l时/'(x)X,&)单调递增，当x<ln(-a)+l时/'(x)©/。)单调递减.综上可知，当a20时,仆)在R上单调递增；当a<0时,/(力在(ln(-a)+1,+8)上单调递增，在(-8jn(-a)”)上单调递减.⑵令所-1,由⑴得4\)的最小值是41)=0.故 即4x)+1nx^a+\恒成立与f(x)+lnx-aT30恒成立等价，令匐x)=/(x)*lnx-a-1,即Wx)k"+a(xT)+lnxT,x》l,则g'(x)K'**a-2时,g'(x)e* J^+a=a+2/0,•：Wx)在口,+8)上单调递增，•:44)2虱1)4),故/(A)Hn 恒成立.

含肖a<-2时，令Mx)话”则力'(同理gA当,21时,力'。)20/(工)单调递增，又力⑴之也<0,41-6天〜1£七》1-刘壬也可£电・：存在ww(1/-力，使得M刖)O,故.丫亡(1涮时/7(¥)<7?(际)4),即g'(x)6,函数4力在(1，8)上单调递减万£(照产河时液同阳照)土即/(»；0,函数爪工)在(即产河上单调递增.•:虱X)nin二W照)31)r0,即Vx£［l,+8),/(x)*in*2a+1不恒成立，综上可得用的取值范围是［-2］叼..已知函数(x)=(户l)lnx-ax+2.⑴当a=l时，求心)在户1处的切线方程；⑵若函数/5)在定义域上具有单调性求实数a的取值范围;(3)求证［g3 NJ〉/ 471十X4过程导引解析求出函数的导数计算求出切线方程即可.求出函数的导数通过讨论函数递减和函数递增，从而求出a的取值的围即可.解:⑴当a二1时」&)/r+l)ln广户2(工刈，f'(x)=ln所以心)在E处的切线方程为产乂(2)f'(x)=lnx**l-a(xX)).妈函数/U)在定义域上单调递减时，即a21n 令Hx)=ln*当xV时，虱x))a,a21n*卓不成立；型函数/«在定义域上单调递增时，即aWln才上?.令双»=ln4巧工则/3专户次所以函数在(0,1)上单调递减，在(1产8)上单调递增.令a2得Inx合手在(1,+8)上恒成立令xJ争得In咛噜J,化简得ln(〃+l)Tn〃熹累加即可.所以4*)22,故，区2.⑶由②W当我时,&)在(38)上单调递增，由/(*))/⑴/)1,得(.什l)ln彳-2户2电即Inx合学在(1,+河上恒成立，rrn+11、令x哼”导In平存2n nUT，11n化简得ln(/7*l)-ln〃弓片，所以In2-inIn3-In2*,…，ln(/?H)-ln吟匕累加得ln(〃+l)Tn垮福，即吴生・•白7W1电仪),〃£N成立.突破•针对训拣1.已知函数4x)才+ln(*+w),其中a为常数讨论函数乩\)的单调性.【解析】：•Wx)=*+ln(x+a),•:函数的定义域为(2/8),令2电/),得2/*2a/l也当4WJ-8W0,即2时,g'(x)/O,即函数4x)在(％*8)上单调递增.当4daY却，即或aC/1时，令g'(x)O,解得、士铲或x杏豆.。席aV2,当g'(力为，即"史亭旦或时，函数人。单调递增；当g'(*)e,即当亘a〈更号时，函数以刈单调递减.薜aC/5,g'(x)?0,即函数双力在(8+河上单调递增.综上所述当aW&时,即函数4丫)在(a,+8)上单调递增；当aWI时，函数Wx)在(当豆,+可和(加哗3上单调递增，在(哗三上守)上单调递减..已知函数/(x)=lnx-a(xT),aeR,当时,/(x)W署恒成立，求a的取值范围.【解析】小)然红含*令 =xlnx-a(jC1),则g'(x)=1nx+1-2ax.令尺a)讶(x)=1n户1-2ax,则广'(x)三”循aWO/'(x)泡屋(x)在口,+8)上单调递增，.：g'(X)3g'(1)=1-2a<X),•:G)在［1,+叼上单调递增,从而/U)笔20,不符合题意.藩0Q4当xe(*)尸(x)N,.：g'(x)在(1,a)上单调递增，从而/(*)>/⑴=1.：Wx)在口,a)上单调递增，良从而/(x)M3°，不符合题意.(3^ /(>)W0在［1,+8)上|颤立，•3。)在［1,+8)上单