固体物理学部份习题解答

aiaia2a3《固体物理学》部份习题解答证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方解由倒格子概念b12_a_、3_b22J,a_a1a2a3a1a2a3体心立方格子原胞基矢a体心立方格子原胞基矢a一—一a一一2(ijk)，a32(ijk)—a———ai-(ijk),a22TOC\o"1-5"\h\z倒格子基矢bi2_a2_a3_2a(]aia2a3vb22a■-—2--(ijk)(ijk)—(jk)%4a同理£2_ata1_2-(「k)b3—(7j)a1a2a3aa可见由h,b2,b3为基矢组成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢a1a(jk)/2a2a(k7)/2品a(fj)/2倒格子基矢62=ajajn—(Fjk)TOC\o"1-5"\h\za1a2a3a2一一一_2___同理b2——(ijk)b3——(ijk)aa可见由b1,b2,b3为基矢组成的格子为体心立方格子证明倒格子原胞的体积为其中v。为正格子原胞体积vb证倒格子基矢证明倒格子原胞的体积为其中v。为正格子原胞体积vb证倒格子基矢b1a.2a3aia2a3b2a3aiaia?a3b3a1_a2_aia2a3……一一*倒格子体积vbbi(b2b3)*(2)V0—(a2徭)(a3a)(aia2)V0*V0(2)3V0证明：倒格子矢量GNd1h2b2h3a垂直于密勒指数为（几小与）的晶面系。证:CAaihia3八CAaihia3八3CBa2曳h2h3Ghih2h3CA0容易证明_一Ghih2h3CB0Gh1bl儿£h3b3与晶面系(h[h2h3)正交。若是基矢a,b,c组成简单正交系证明晶面族（hkl）的面间距为di/J（h）2（k）2（I）2Vabc说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证简单正交系abCaiai,a2bj,a3ck倒格子基矢bi2-a2-a3-b22-a3-ai-b32-ai-a2-aia2a3aia2a3aia2a3TOC\o"1-5"\h\z2-2-2bi——i,b^j,b3——kabc一"一,』一一一一2-2-2一倒格子矢重Ghb|kb21b3h——ik——jl——kabc晶面族（hk|的面间距d启i/^（h）2（k）2（；）2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，如此的晶面越容易解理指出立方晶格（iii）面与（i00）面，（iii）面与（ii0）面的交线的晶向解（iii）指出立方晶格（iii）面与（i00）面，（iii）面与（ii0）面的交线的晶向解（iii）面与（i00）面的交线的AB—AB平移，A与O重合。B点位矢Rbajak（iii）与（i00）面的交线的晶向ABajak向指数0ii（iii）面与（ii0）面的交线的AB将AB平移，A与原点O重合，B点位矢RBaiaj（111）面与（110）面的交线的晶向ABaiaj晶向指数110.证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为.证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2.证假想一个由正负两种离子相间排列的无穷长的离子键，取任一负离子作参考离子（如此马德隆常数中的正负号能够如此取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有一2[1一2[1rj月r2r3r4r前边的因子2前边的因子2是因为存在着两个相等距离「i的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面,故对一边求和后要乘2,马德隆常数为故对一边求和后要乘2,马德隆常数为112(1-23,「'(1x)x1...]423xx当X=1时，有1111234「22fn2假设一晶体的彼此作用能能够表示为u(r)求1）平稳间距r02）结合能W（单个原子的）当X=1时，有1111234「22fn2假设一晶体的彼此作用能能够表示为u(r)求1）平稳间距r02）结合能W（单个原子的）3）体弹性模量4）假设取m2,n10,r00.3nm,W计算值。解1)晶体内能U(r/平稳条件dUdrrr0mm1rOnnrO1

(2”

m2)单个原子的结合能1,2)单个原子的结合能1,、二u(r0)23)U(r0)(再体弹性模量K晶体的体积VMlr023)U(r0)(再体弹性模量K晶体的体积VMlr02U

(▽)v°NAr3(1m)FnmV。为常数,N为原胞数量晶体内能U（r）2U………2u体弹性模量K(—UV22UV2V。由平稳条件UVV0mmr0nnr02UV2V0体弹性模量KmmrO2UV2V0m4mr010r02UV22UV2nrOmn9V02nnr0)V0V029V02N129V02[2UVT)%V0123NAr2V0V0r-2W]

r0m[(—

r1)T77：-2]

3NAr29V02N129V021U0)rO1.182mm「0nn1rO2mmrOU0Nnm-229V°2mmrOmmr0951095eVmrO2nnr0mmr01

3NAr022nnrOmrO2J

r0n

n-]

r010m9.01019eVm2(1m)(n.用林纳德-琼斯（Lennard—Jones）势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构中的结合能之比值.1解u(r)4(-)12(一)6,u(r)-N(4)与(一)12A,(-)6rr2rr*0厂1u。屋bccfccu(robccfccu(ro)bcc、〃飞、12.252/9.11()/()2u(r0)fccA2A214.452/12.130.957・关于H2,从气体的测量取得Lennard—Jones势参数为50106J,2.96A.计算H2结合成面心立方固体分子氢时的结合能(以KJ/mol单位)，每一个氢分子可当做球形来处置.结合能的实验值为/mo1,试与计算值比较解以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势彼此作用，那么晶体的总彼此作用能为：126U2NP12—P6-NiPRjPR.Pj614.45392;月1212.13188,501016erg,2.96A,N6.0221023/mol.将&代入U得到平衡时的晶体总能量为U26。0221028/U26。0221028/mol501016erg122.9612.13——3.1614.456坐2.55KJ/mol.3.16因此，计算取得的H2晶体的结合能为/mol,远大于实验观看值/关于H2的晶体，量子修正是很重要的，咱们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间庞大不同的缘故..已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引发的位移为，njajsin(jt_naqjj),j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每一个格波的平均能量为kT,具体计算每一个原子的平方平均位移。解任意一个原子的位移是所有格波引发的位移的叠加，即nnj司sin(jtnaqjj)(1)由于2*nnjnj2*njnjnjjjjnjnj数量超级大为数量级,而且取正或取负概率相等，因此上式得第2项与第一项相较是一小量，能够忽略不计。因此22nnj由于nj是时刻t的周期性函数，其长时刻平均等于一个周期内的时刻平均值为T0T020ajsin(jtnaqjj)dt12aj2j已知较高温度下的每一个格波的能量为kT,nj的动能时刻平均值为TnjToLTo1dx0022dnj--dt

dt2WjHj2tTT02L0ajSin(jtnaqjj)dt22WjLaj其中L是原子链的长度,使质量密度，T0为周期。因此Tnj22WjLaj1KT2(3)因此将此式代入（2）2

njKTPL因此每一个原子的平均位移为2

njKTjPL1KTPLj1~2讨论N个原胞的一维双原子链原子链结果一一对应（相邻原子间距为a）,其2N个格波解，当M=m时与一维单解质量为M的原子位于2n-1,2n+1,2n+3•-质量为m的原子位于2n,2n+2,2n+4OO(22n2n12n1)牛顿运动方程mM2n2n(22n12n22n)体系有N个原胞，有2N个独立的方程2n(22n(22n12n2n1)2n)的解i[t(2na)q]2nAeRi[t(2n1)aq]2n1Be(22)a(2(2cosaq)A(2cosaq)BM2)Bcosaq2cosaq22M2(mM){1(mM){1

mM[14mM.2g2sinaq]2}(mM)两种不同的格波的色散关系(mM)

mM[14mM.212i2sinaq]2}(mM)(mM)

mM[14mM.2/I2sinaq]2}(mM)2对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波——总的格波数量为2NM=m4——cosmaq4sin四

m2(2\m(2\m)q22与一维单原子晶格格波的色散关系一致c和10c.令两种原子c和10c.令两种原子质量相同，且最近邻间距为旦•求在k20和k一处的(k).粗略地画超卓散关系.此a题模拟双原子分子晶体，如H2。〈解〉Us1Vs110cVsuusd2uM—CVs1u10CVsdt2sMd~Vs10CusVsdt2ssUs1Vs将UsisKaueitisKa,VsVeite.代入上式有2uC10eikaV11Cu,2VCeika10u11CV,是U,M2C(eiKav的线性齐次方程组，存在非零解的条件为11C,C(10210),MiKa、e)11C=0,解出22MC22220C2(1conKa)当K=0C11M时，121201conKa当K=/a时2220C/M0,22C/M,2与K的关系如下图所示.这是一个双原子（例如H2）晶体3.6计算一维单原子链的频率散布函数（）解设单原子链长度LNa波矢取值q状态密度1hNaNa2每一个波矢的宽度dq距离内的状态数2NaNa,7dq对应q,距离内的状态数量()ddq一维单原子链色散关系.2,aq

sin()

24m两边微分取得mzaq.cos()221一120a「22.2V0dqdqdq代入（）d23dq2N1：d；2一维单原子链的频率散布函数()2N1()o・设三维晶格的光学振动在q=0周围的长波极限有(q)0Aq2求证：频率散布函数为f（)X，42A3/21/20时,依据q(q)B点能量f(2Aq,f(ds2m(q)K2)0.2_-Aq0f(K20,Aq2.，432A22mads।(q),并带入上边结果有A1/21/21/2.有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格,极限比热正比于T2。2m在德拜近似下计算比热，并论述在低温证明：在k到kdk间的独立振动模式对应于平面中半径ndn间圆环的面积ndn-L-kdk5一——kdk即23s2v3s2v2方2d0e/kBT1E033skBTti33skBTxdx2dx0时，ET3,Cv(-E)st22v2力2.写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为FUokBTqtiqkBT证明：量子谐振子的自由能为FUKbT经典极限意味着（温度较高）kBT不力应用因此qkBTe方q

kBT因此qkBTe方q

kBTtl因此kBT『nqkBTUokBT”nkBT其中UoU・设晶体中每一个振子的零点振动能为・设晶体中每一个振子的零点振动能为利用德拜模型求晶体的零点振动能。证明：依照量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K证明：依照量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0确实是各振动模零点能之和。Eo0mEo振动模零点能之和。Eo0mEogd将Eo3V2一三。代入23Vs积分有E0我3m，由于方mkBd得Eo一股晶体德拜温度为~10一股晶体德拜温度为~102K,可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相较拟..一维复式格子m51.67m51.671024M,

g,4,

m1.5101N/m(即1.51104dyn/cm),求（1）,光学波TOC\o"1-5"\h\z00.击学沛Ac求（1）,光学波max,min,尸子仪max（2）,相应声子能量是多少电子伏。（3）,在300k时的平均声子数。解⑴，rAaxM（4）,与max相对应的电磁波波长在什么波段。解⑴，rAaxM21.5104dyn/cm131y243.001013s1,,451.671024omaxMm21.510omaxMm21.51044551.671024dyn/cm451.67102451.6710246.701013s12—21.5104dyn/cmm\51.6710242—21.5104dyn/cmm\51.6710245.991013s1hAmax6.5810165.9913110s1.97102eV(2)方omax6.5810166.7013110s4.41102eVhomin6.5810163.0013110s3.95102eVAmaxA(3)nmax,A/.T0.873nOax㊀max/kBT11LO/lzT㊀max/kBT10.221On〜minOn〜min0.276O©Imin/kBT12c(4)—c28.1m.依照k—状态简并微扰结果,a表驻波，并比较两个电子云散布（即.依照k—状态简并微扰结果,a表驻波，并比较两个电子云散布（即2*）说明能隙的来源（假设Vn=Vn）。解令kk—,简并微扰波函数为A：(x)B0(x)aa0E0(k)EAVnB0[VnAE0kEB0BEE带入上式，其中EE0(k)VnV（x）＜0,Vn0,从上式取得B=-A,于是A0(x)A0(x)0(x)nAi-rxeaLe>EE,EE0(k)Vn|VnAVnB,得到ABA：(x)(x)A：(x)(x)n_Ae7、.Le2A

=cos.L由教材可知，由教材可知，驻波因为电子波矢k时电子波发生全反射，及均为驻波.在驻波状态下，电子的平均速度（k）为零.产生n22a——时，电子波的波长——恰好知足布拉格发射条件，这akn并与反射波形成驻波由于两驻波的电子散布不同，因此对应不同代入能量。*•t例2图电十卜•'•J些0一的电手云分布(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，因此11ababV(x)dx11aV(x)-LV(x)-bV(x)dxla题设a4b,故积分上限应为b3b，但由于在b,3b区间内V(x)0,故只需在b,b区间内积分.这时,..2,1b..2,1bmbV1V(x)dxm—ab2ab(b222m.2x)dxbx

2ab2。(3),势能在卜2b,2b］区间是个偶函数，能够展开成傅立叶级数V(x)V0mVmcos2bX,Vm22b——V(x)cos2b0m.xdx2bb0V(x)cosm.xdx2bV(x)V0mVmcos2bX,Vm22b——V(x)cos2b0m.xdx2bb0V(x)cosm.xdx2b第一个禁带宽度Eg12Vi|,以m1代入上式，Egg1(b2x2)cosxdx

2b利用积分公式2”Uucosmudu—mmusinmu2cosmu-23sinmu得mEg216m23-b2第二个禁带宽度Eg22V2,以m2代入上式，代入上式(b2x2)cos—xdx再次利用积分公式有E,b2m22g2——b用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相^•应的能带Es(k)函数解面心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数Es(k)sJ0J(Rs)eikRsRsNearests原子态波函数具有球对称性JiJ(Rs)i0*(Rs)[U()V()]°()}d0Es(k)sJoJiR'sikRs

eNearest任选取一个格点为原点最近邻格点有12个12个最临近格点的位置a2,a2,0,a2,a2,0,a2,a2,0,a2,a2,0,0,0,0,a2,a2,0,a2,a2,0,a.2j0k_s,E(k)JoJiikRsRsNearestikRsesi(kxikyjkzk)(|iai5(kxky)e2(coskxa..kxaxisin—kya)(cos—kya

isin——)

2类似的表示共有12项归并化简后取得面心立方s态原子能级相对应的能带Es(k)sJ0kEs(k)sJ0kakya4J1(cos——cos—22kxakzacos——cos——kyakzacos——cos——关于体心立方格子任选取一个格点为原点有8个最临近格点最近邻格点的位置aaaaaa2,2,22,2,2aaaaaa2,2,22,2,2aaaaaa2,2,22,2,2aaaaaa2,2,22,2,2a12j2kEs(k)J0JiRsNearestikRsei(kxikyjkzk)(aiajak)ia(kxkykz)ese222e2,___kxa_kxakya-kyakza.kza、(cos—isin—)(cos——isin)(cos—isin—)222222——类似的表示共有8项归并化简后取得体心立方s态原子能级相对应的能带Es(k)sJ08J1cos(ka/2)cos(kya/2)cos(kza/2).有一一维单原子链，间距为a,总长度为Na。(1)用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。(2)求出其能态密度函数的表达式。(3)若是每一个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级E0及E0处的能态密度。解：(1),E(k)sJ0ikaikaJ[(ee)sJ02JicoskaE02JicoskaE(k)J解：(1),E(k)sJ0ikaikaJ[(ee)sJ02JicoskaE02JicoskaE(k)J0J(Ps)eikRs(2),N(E)(3),NkF20(k)e0dk

dE2dk22NaNa22J1asinkaJ1sinkaE(k°)E2J1cos—aEs,N(E0)

2aJ1sina2aNJ1(1)证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍.(2)关于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(3)(2)的结果关于二价金属的电导率可能会产生什么阻碍-?

a解(1)二维简单正方晶格的晶格常数为a,-?

aa第一布里渊区如下图第一布里渊区如下图区边中点的波矢为Ka—i?角顶B点的波矢为aKb自由电子能量方22mKxK2k2A点能量A出2——K2mA22人22ma2m2*A点能量2mB点能量2mK2KyK2孙22ma力22m(3)若是价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7-2所示.依照自由电子理论，自由电子的能量为2mKx22KyKz,FerM面应为球面.由(2)可知，内切于44点的内切球的体积一3于是在k空间中，内切球内能容纳的电子数为43—N1.047N3其中VNa3二价金属每一个原子能够提供下的个电子可填入其它状态中.2个自由电子,内切球内只能装下每原子个电子，余若是布里渊区边界上存在大的能量间隙，那么余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包才B点).如此，晶体将只有绝缘体性质.但是由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的.事实上，关于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，关于三维晶体，可显现一区、二区能带重第二区中的能量较低的状迭.如此，处于第一区角顶周围的高能态的电子能够“流向”态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面.因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能.事实上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能

第二区中的能量较低的状带显现重达，因此能够导电.半金属交叠的能带力2k2E1(k)E1(0)——,用0.18m2ml0.06m-2--20.06mE2(k)E2(ko)——(kk。)2,m22m2其中Ei(0)为能带其中Ei(0)为能带1的带顶，E2(k0)为能带2的带底Ei(0)E2(k0)0.1eVkE|：J2[Ei(0)Ei(k)]/m,Ni(E)2VdS(2)3kENi(E)2Ni(E)2cV4k223(2)%_2[Ei(0)Ei(k)]/mi2V2mi2Ni(E)壬猾，-Ei(0)Ei(k)2力——同理能带2的能态密度32V2m22;N2(E)一不.E2(k)Ei(k0)若是不发生能带重合，电子恰好填满一个能带由于能带交叠，能带i中的电子填充到能带2中，知足Ei(0)efNi(E)dEW(E)dEE0E2(k0)E1(0)2V2mi~~~2(E1(0)2V2mi~~~2(.2E0(2)23E°)2Ei(0)Ei(k)dEE2(%)3券啰）2’巳的E2(ko)dE3/2——S[E1(0)Ei(k)]3/2El(0)3/2E0m2匚F__3/2[E2(k)E2(ko)]EE2(ko)m1[Ei(0)E°]m2[E0E2(ko)]E0^^(0)电巳(|<0)mi0.18m,m20.06mE1(0)E2%。)0.1eVmim2E0E2(k0)0.075eV•设有二维正方晶格，晶体势为Ux,y4Ucos2—xcos马上.aa用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角一,一处的能隙.aa解：以？,？表示位置矢量的单位矢量，以b解：以？,？表示位置矢量的单位矢量，以bi,b2表示倒易矢量的单位矢量，那么有,g2b2⑼,g2为整数。rx?yi?GgRG2g2b2⑼,g2为整数。a晶体势能Ux,y4Ucosxcos--y

aa2222i—xi—xi—yi—yiGiiUrUeeeeUGiieG11其中Ugii其中UgiiU,而其他势能傅氏系数UG10UG20...0o如此大体方程UgG(KUgG(KG)0变为GUgiiCkG11Ug彳彳Ckrr-11一,一,即kG(一,1)aa22似求布里渊区角顶GiiUgiiCKG11UghCKG.i01--G11处的能隙，可利用双项平面波近2C(K)eiKrC(KG)ei(KG)r来处置。TOC\o"1-5"\h\zi一i一当k-g11,k-g11时依次有22-1———1八—4八,,—一KG11-G11,KG11-G11而其他的KG1122G1111在双项平面波近似下上式中只有C1G2C1GC-G211111_G1121-1G1121G1121G112,c,C111G1121G1121G1121-G1121G112由行列式有（所以在（一,-aUC1-1G112)21G1121UC-G11

2方22m2G11U20解得-）处的能隙为a2）简单立方晶格的晶格常数为a,倒格子基矢为第一布里渊区如图7—2所示.5.1设一维晶体的电子能带能够写成E(k)其中a为晶格常数，计算1)2)3)能带的宽度电子在波矢k的状态时的速度能带底部和能带顶部电子的有效质量解1)能带的宽度的计算E(k)方27m7(8能带底部E(0)能带顶部能带宽度E(-)

aE(0)2M2ma2）电子在波矢k的状态时的速度方22ma2方22ma方222ma2u.i?,B(7coska

8coska2力22maU,-?C

a1一cos2ka)81-cos2ka)8E(k)方E(k)方22ma7,1~、(一coska-cos2ka)88电子的速度v(k)1dE(k)

方dk11v(k)——(sinkasin2ka)

ma43)3)能带底部和能带顶部电子的有效质量E(k)力271——2(-coska-cos2ka)ma88mcoska(1/2)cos2ka…一一、.一・*目匕田顶部k—有效质量m

mcoska(1/2)cos2ka…一一、.一・*目匕田顶部k—有效质量m

a5.5设电子等能面为椭球/k2E(k)票2-m3/?2k1/k；2m22m3外加磁场B相关于椭球主轴方向余弦为1)写出电子的准经典运动方程2)证明电子绕磁场回转频率为qB*omm^m2m322m2m3*c"E电子的有效质重m力/——z-k2能市底部k0有效质重m2m解恒定磁场中电子运动的大体方程d—qV(k)Bdt，一，，一一一1电子的速度v(k)-kE(k)n碇£2m33—为2k2//2k2电子能量E(k)」/2碇£2m33kE(k)Ek2E?k3kE(k)Ek2kE(k)/k2m222k51?m33电子的速度v(k)%[也&也匕

m1m2m3磁感应强度电子运动方程方dk一qv(k)Bdt应用关系k2dkdt此必旦向）（ki总qB(生k3)dkiqB(kk3)0m2m3dtm2m3qB(生ki)dk2k3qB(—ki)0m3midtm3mi-/kik2)dk3〜k.k2)0qB(一qB(一mim2dtm2m2m3电子运动方程dk1出出itedk3dt令k1dk1dtdtdkgdtki0k2qB(—m2k3qB(—m3k1qB(—mik3m3

kimik2m2ki0qBqBm2m3,k；有非零解，系数行列式为零m2qBm3虹ki0

mi22(qB)20无心义旋转频率qBm3迎ki0miqB

m222(qB)2m1m2qBmiqBmi2(qB)2m1m3吐k；

m3\。mimi■m2qBqBm2m3qBm22}0qB.i2i2im1m2m1m3mim2m3qB,m〔m2m3qBm3qBm*m1m2n其中m*:222■mim2m36.2在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成Ce2.08T2.57T3mJ/molK若是一个摩尔的金属钾有N61023个电子，求钾白^费米温度Tf解一摩尔的电子对热容的奉献CVN02EF与实验结果比较解一摩尔的电子对热容的奉献CVN02EF与实验结果比较Ce2.08T2.57T3mJ/molK费米温度