2017年中国女子数学奥林匹克试题(图片版)

/6L（D求所有正整数%使得对任意的哥求所有正整数"使得对任意的奇数%均有L（D求所有正整数%使得对任意的哥求所有正整数"使得对任意的奇数%均有配如图】•在凸四A边形AJiCJ）中,Nhad木+2ZBCD=ISflijK\~~-J-\yYzbad的平相与线\Z4y^段川□交于点礼线段\/HE的中垂规分别与Y直级c风切交于点姓7氏明四点共阐.3.俄鼻*0隅W亶一・13产“）.注明；（（1.能入卜卜.部心⑺1川,4J%将16个依・…，或蚓犯.肝期八个数.圮其中一期的八个数之*0为儿另一狙的八个数之和为"清第出一转分期方案做将M-即最小.井说明理礼5.求最大的实教或使押时任意的正铁数m和1W是o=xd<孙<ii<,irci,=1的数列均行£H5Ti）>c九地巴为法整数小为有限集☆.映时fix-x满足对死意的善e着府/*《#）=打JX中,尸玄公=/[/”13））（42）.记啊为集合I鬲石加的元素个数对于任意的整数"证明：（1）—£Al皿学^印*（2）;£*户*誓为非负整敷-7.如图2,N心为四边密说》的外接■.ta^c与即交于点心亶就仙与网交千点RBU门分别与缝段EB^EC切于点M、M且与阑n克于点Q.&直线m、4D分别与直线W交于点S、r证胴:q淖、sj㈣点共闻时看可以避有如下榛作：捻取也FM-mi氏蛤定正整数同一1假月格表行或同一列的两个收.交换宦。;的拉皆,箕余JfZ个数保持不说这种提作称为一次时限求最小正整数.使得知任意的孔兄可以黑过不短过电次时慢.把A变成出摹考零案1"1)雪・为偈数时./■“mod4”当椁为寄数时,0**1*(-1)*-1(mnri4).因此,所求的品为所有正口It(2)先证明r°”加时潭满足条件.■产■仆5便产叫.其中.第一个秋敝为吕的储敷，其余3014T款数均为偶数「一一则弼一3盾《条件.下面KMt当ilwin时/不调是条件.ftn=2\2j+1){*JWR.J<2014).著"OJ|U・3JUr?-l-3-lE2(n»d4),n不满足条件、若I/.ZOI%般n3朋4］』3F.(F-l)(Q")•你承f网f法叫册2工个乘数各有一个？的因子3-1有三个2的出子r廉品一小夷It为奇敢故/-1仅期」+2C20离个2的因子科不清足条件.X设九WH分刷为点乂到直蝗死人配、C7)的南是j/w分别为点算置于i［蝶肮,ci/的对糊点.唾证明4JLC、V四点共嗣，肉西嶂般足现的逆定理.如只需亚明LMJV三点如tM然『£国门分别为线设AE/U/V的中点.版只需证明三点共级1期ABADM由丽』近”施工加*ZyM¥+ZKBD+ZBDr*Z）W工/MT*100%/8CD+/业丁^540a+ZUW-ZAJJC-ZWC=］!»、/皿d呢Dm3«，剜点6F套直缠即的离fhKZ（/fl£-ZW）E.ttA£B£=△n/8£t'=z阪.纳含点心F在直线AH的醉■.却以以Y三点蝴.3*若1•冬中E%期曲■成士和-加皿则叩4。山】4«而丁卜冲唔，小喈2、卜敏倬喏3丁642JF・(卜部心哈切*中喑』4・嶷个描述方式;记*=4侬।把索包hIQJ.-J5I分就川个互斗的八元干，2、圮小・2三.1r目的反枷*一眇I*小化对非91整数E记■台4M的元*的E次方之11分群为，」gu儿■廿厂其中|4二4・日为元’果件现在*DL产产£产£『，14400.于是的大小与“一nI,叫・勒|-%■凡1「，的大小有关.旦存在啡一的正整收上使得人＞＞00Jj=研，…A.】田见…但4d%若找到一T**1次百♦多项式向⑴=人*£孙』浦足对每个工EL而有(：：(CJF)唱C：,其中,下界需看露上界C；,且上下界之差G=c；-C；不是根大，就可以就LT■配；糊如F牯让下面考源名师式4(。除以一次雳项式…时的结用.应设得刎余式为帛殁套鹏式幅■6(・背)，以及商式为A改苜一学项式—77m—…g2.北中,4」“，,•,内.0为固定的系也此时.%⑴&SMi+jM-l4Mi+Af♦八电六mw陪为上式分捌对于集音人用中的八个元窜求和得c"klc"*K个,4*2。认画IIVQJW£、用,+4配.41式%以上网式和城•冲由已知乐・月《二火7-1).相-gstjT■(A.#j)*斤.(』'一国*)"葡氏"1寸卜联中■制土川号卜者上鬣1,4X风.曲奇日住即至中为2取名项式G(*)=Kt-1力满足时任毒的1€T.有・环/6/酎，0,其上下界之差0=56.余数比尸M**15)工工0021017.喝W-即94日氏7/=()IJKjIVulff差比较大若上口2足工■&-由奇偶性知14-用I至少力名取名罩式GUk1j产濡足对住息的二£T.海0£6(。＜24叽其上下鼻之«G»2«.余数用=・则即/”工*-2002k29B1.if…1#由|也如■争)里成比较大.若±二三4,■典，注感到.6M?F=62-1｝小1).于是二2、然"用为■起而彳者之和为偶败，故两者之差也为fillt其内产鼻，从而d*-良春为期的荒域,I&-5』至少为E取去瑁式ft(O-i(i-7)G-B)(f-13)虐足时任■的，w丁.花一端工箕上下鼻之鱼心$744,H舄■制*+7)｛用“**’13)・200am2009K2Q|Ok2on.-51.周内■鸟I.苧)差还是比较大.由朝郑只有人=鸟4=同4=%才可能使垄I小■朋1变得更外、考虑0」,….15的二进制表示中含奇数个1还是偶数个1米第出一个分组:4=[*3/芾，九1。』就延匕日=”口4,7净」14九1可i®这个分配满足小鼻/dd为，&=场,同时1从4-此=15堆取多项式C4(O=皿-5)七一13)口-14)满足对任意的，E叫有口宅Q。)W33。,其上下界之羞C=3000.余数用=-#(M+S＞*(M4t3＞(M+M)=^-2002x2OG73毙2015算2。16-娜IT-曰I.；1,「为"专)1536+8吟4-飞~七50x10.整比较小了，最后证明:当分组湾患由m,由二用时1分图①星唯一的方声观察立方数模9的余数的持点,即当f携3余露】3时其模9的余数分别为0J1■1《7父模9的余数分噩为1—I.Q[ijXl1・0Cmoi9),知130》"廿'・0'内词由%.知/**1)，=＞热*1『・5"”34想中俱;余UJ2的元宗个数升刷为叫、叫、啊淖组中模三命。」总的元素个数分别为％山,乐购则-%,()[mod9)收f,5(a»d9).脑-i1»3(nwd»).由于‘烟g缶用心垮为。至6的整数,于是必=%瓦=%.且,与为=瓦只髭为S或-4又＜4-.)+(%-4)=1,圈.一叱1瓦-%恰有一个为5.T为-4.不妨设%-％-5.从而.■=6./=啊wl.不集合M包含了集合T中的六个，的倍数相口声・9/'廿.此时.可算得集合H中其量两个数之和为K,平方和为L25,它＜]为|5JQ|,故集合通=母,兀3%九1。42/5|.因此,满足/=显出,/4■舄的分组方式是唯一的I在两氧可交囊的重文下)，，•首先5E明:C*：,由**=**-L芬°午拜3£工：但・■-，=£(匕+小币＜4-力＜)，£3*中2)父7乂・广力7)=*#；7；_j)=匕Y=:一。=L再正照若S1窝存在J*0=.5工叼＜…=1,使得也隆/■,《*=0,1，…，卑).当口＞3口：＜£-：耳，E*华・2・塘必=——广=■,~~工*T+＜-11•一品'J2nlJI＜C3n因此《工卜品以集合X中的元素为嗔点，按如下方式构造有同图。;对于xJW&哥且仅当/"）二，时，连一条从三指向，的有向边.注意到，时于了的市动点船图c中有一条从工指向自身的环边,称其是长度为I的轨道由条杵,知对任彘的工在工育r"W=⑥则f为双射，故删去了的所有不硝点及对应的环边之后,躺下的图中诲个点的出度和人度均有i.由图轮中热知的结造.怎#TF的图可以分柝成若干个不用交的脊向・邮井可将每个这样的石向・称为一个航道.对于一个长度为I的航道工,财轨道上的任何II点知品知」5《幻■工的充分必襄条件是口工相照地』为«的约数，且轨道L中的逋氤却3的不动点的充分班饕条件为川.设图G中共宥p个轨道（包括长度为I的物遭｝■长度分别为匕脑…耳，由前述，时正鞋敷。有嗡儿经）喀中»）『q①菖中.倒果第二个等式用到了热知的结果Rlo,否卿外则考虚式①的虚郁、熨芾.邓禅到瞰时中所要证明的网个站怆.ZFTS五N》7V-Nrvw-zrfAT=Z£MW-Z>BS»zcsw-Zrer.于是内二值由正弦定理知AT=«inZA^TfiS=wnZff.WS泡=/2而"H.W=赢N面iTCS_iin/gDT_lin/MTQV=bebZCSW'ES=ainZ/Hlf'3由NAJW=ZE=NCSNYAS%i瞅-zaws=zcmzow不上MS*ISO*-Jw;用结讫①中妁单个等式右边的分子和分母均相同^ATBSCSD7一故赢=讪*而‘两县”由KS=FT知存在■小闻心J丁分期切于点31注88/,外、八的翼心分别力■,4、6,半笔分别为外、小小时平面上任意♦点巴定义4小小|〃酸-G-WraMWMT工期寅拈■《¥・1冲•以w+/r>0./血纳“勒・人。”尺2）■0更立平面直角型标票.设点用yt%力・用-I）■（<>f［*+（7f--4）-F（（土一,尸♦（FT.尸-力）♦CC*7,'*《,一为V.或U3*h”<4/<C为1*数］.若。修《不全为零，圉,足人%/方。的点（跖办1着存在）的物遗是一条I［我.但此这第期过'出工山四十点I矛啾因此“m.即6。出宿=4.财=K2t/（/<r=o.甯则・dz点火密网八上类假jt点。/阑rt匕因此《宙SJBI点共*于・八.乐时任就的工、小不妫说%（i-1）的+工茸先证明两个引理（1.2.…,用的任意排列t..叫「・.明）时以量过甑鑫鼻-1次时携，交威UR,””）.料理I忖箕明将EulZ，”“一l依次排到位置L料理2把排列（入3「**】）变或排列（L,2「，m）,需圈经过至少n“次对排,引双2带调明对乩血用教学旧炳注.#口2时&郎显然成上林设哨以健过用［刖《同-I）次时搂将（2.3」,”/）受成。『2「+小，则存在&W霜31aMe06田了1次对换脚从位置*-1变到位置*.从加，叮以跄过e・1次对晨构（2,…*7**1丁*5，1）变成口21、4-I.b*♦矛盾,引理1・2褥记中任明；任意一堆排列/可以鳏过堂学%-1次对怏,揩第一行变成C14l3.署1，册⑷同现在的则各不相同期可以跳过量多两次对怏+将它切换节/的第一行.再拿过至第E-I次对携.博小的常一fj变成（1,2,1",«）*若13「，小中有两个敷雷同一婀，期存在某河《旗为第4刊）不含任何13,i导*5对换至第七列，再对换至第】行，不会改变IlJ73+3*e的位置*LU£两类操作.红“-I次对1%可以带A的第一行变成H1,…・力.美假螭।至塞2*-1忒对可以樽力的（（j-I）R+lt（