步步高高中数学 步步高选修2-3 第一章 1.2.1(一)

.2计数原理排列与组合1.2.1排列（一）【学习目标】1•理解并掌握排列的概念.2•理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.问题导学新S1探兗点点落卖知识点一排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.思考1让你安排这项活动需要分几步？答案分两步.第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学.思考2甲丙和丙甲是相同的排法吗？答案不是.一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.知识点二排列数及排列数公式思考1从1,2,3,4这4个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的两位数？答案4X3=12个.思考2从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？答案4X3X2=24个.思考3从几个不同的元素中取出m个(mWn)元素排成一列，共有多少种不同排法？答案n(n—1)(n—2)・・・(n—m+1)种.排列数定义从n个不同兀素中取出m(mWn)个兀素的所有不冋排列的个数叫做从n个不冋兀素中取出m个兀素的排列数排列数表示法Amn乘积式Am=n(n—1)(n—2)…(n—m+1)n排列数公式阶乘式n!Am一n(n_m)!性质An=n!,0!=1n—备注n,m^N*,mWn题型探究重点难点个个击破类型一排列的概念例1下列问题是排列问题的为.选2个小组分别去植树和种菜；选2个小组分别去种菜；某班40名同学在假期互发短信；④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除；⑤10个车站，站与站间的车票.解析①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；不存在顺序问题，不是排列问题；存在顺序问题，是排列问题；两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题答案①③④⑤反思与感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？从集合M={1,2,…，9}中，任取两个元素作为a,b可以得到多少个焦点在x轴上的椭

圆方程a2+b2=i?可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2_b2=i?平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关故选3个座位安排三位客人是排列问题.(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题•若方程|+b|=1表示焦点在x轴上的椭圆，则x2y2x2y2必有a>b,a,b的大小关系一定；在双曲线仏-台=1中，不管a>b还是a<b，方程历一右=1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.类型二排列数的计算或证明例2(1)用排列数表示(55—n)(56—n)-(69—n)(nWN*且n<55)；2A5+7A4⑵计算Ik；89(3)求证Am,—Am=mAm-1.n＋1nn解(1)°.°55—n,56—n，…，69—n中的最大数为69—n,且共有69—n—(55—n)+l=15个元素，(55—n)(56—n)…(69一n)=A652A8+7A4A88－A592X8X7X6X5X4+7X8X7X6X58X7X6X5X4X3X2X1—9X8X7X6X58X7X6X5X(8+7)=8X7X6X5X(24—9)=・(3)方法一n!

(n—m)!•••Am厂Am=(疔1)為n(3)方法一n!

(n—m)!n!(n—m)！n+n!(n—m)！n!(n＋1－m)!=mAm—1，n、n+n!(n＋1－m)!=mAm—1，n.Am－Am=mAm－1.n+1nn方法二Am】表示从n+1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素°】的有Am个.n+11n含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m—1个元素排在剩下的m—1个位置上，有Am－1种排法.n

故Am.=mAm-i+Am,n＋1nn.°.mAm—i=Am,—Am.nn＋1n反思与感悟1.连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其中最大的数是排列元素的总个数而正整数的个数是所选取元素的个数，这种题型是排列数公式的逆用.2.应用排列数公式解题时，一般先写出它们的式子，再提取公因式，然后计算，这样会减少运算量，另外，应用排列数的定义解题，也是一种常用方法.跟踪训练2解不等式：AgvGAg-2.8!_8!解由A8<6Ax-2,得©—X)!v6X(i0—a，化简得x2—19x＋84<0,解之得7<x<12,①JxJxW8,x—2三0,所以2WxW8,由①、②及x^N*，得x=8.类型三排列的列举问题例3写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？解(1)列出每一个起点和终点情况,如图所示./广州/南京/天津/北京北京乙南京广州乙天津南京攵北京天津攵广州'天津'北京'广州'南京故符合题意的机票种类有：北京广州,北京南京,北京天津,广州南京,广州天津,广州北京,南京天津,南京北京南京广州,天津北京,天津广州,天津南京,共12种.(2)因为A不排第一,排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排),而此时兼顾分析B的排法,列树形图如图.所以符合题意的所有排列是：BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA共14种.

反思与感悟用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法.它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏.跟踪训练3从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.解(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.由分步乘法计数原理得共有3X3X2=18(个)不同的三位数.画出下列树形图：023AAA230302023AAA230302013AAA1303010^2AAA120201由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.达标检测当堂检测巩固反馈1.4X5X6X・・・(n—l)・n等于()A.A4B.An－4nnC.(n－4)!D.An－3n答案D解析从4,5,…到n共n—4+1=n—3个数，所以根据排列数公式知4X5X6X…X(n—1)=An—3.n2.下列问题属于排列问题的是()从10个人中选2人分别去种树和扫地；从10个人中选2人去扫地；从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.TOC\o"1-5"\h\zA.①④B.①②C.④D.①③④答案A解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题.3.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有()A.6个B.10个C.12个D.16个答案C解析符合题意的商有A2=4X3=12个.4.写出下列问题的所有排列.(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长.解(1)四名同学站成一排，共有A4=24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲.(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A2=20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.I■■规律与方法■■)判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.这就说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.关于排列数的两个公式排列数的第一个公式Am=n(n-1)(n-2)-(n-m+1)适用m已知的排列数的计算以及排列n数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可.n！排列数的第二个公式Am=@*用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、mWN*,mWn”的运用.40分钟课时作业强化训练拓展提升一、选择题I.qWN*，且a<27，贝y(27—a)(28—a)・・・(34—a)等于()B.A34：aC.A34-aD.AC.A34-a答案D解析从27—a到34—a共有34—a—(27—a)+1=8个数.(27—a)(28—a)…(34—a)=A34a.2•已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，cd中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析由排列的定义知①④是排列问题.已知A2=132，则n等于()nA.11B.12C.13D.14答案B解析A2=n(n－1)=132，n解得，n=12或一11(舍去).甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A.6B.4C.8D.10答案B解析列树形图如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲，共4种.5.2016北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为()A.12B.24C.36D.60答案D解析由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5X4X3=60(种).6.下列各式中与排列数Am相等的是()nn!A•(n—m+1)!B.n(n_1)(n_2)…(n_m)nAmCn—1—n—m＋1D.A1Am—1nn—1答案D

解析n！A1解析n！A1Am-1=nXnn－1(n—1)!

(n~m)!n!

(n—m)!A1Am—1=Am.nn—1n二、填空题7’答案22X12X11X10X9+12X11X10X9X813X12X11X10X9—12X11X10X9X82+8——213—82A78.满足不等式A>12的最小正整数n的值为.n答案10n!解析A7(n—7)!(n—5)!解析Ann!(n—7)!'“(n—5)!得：(n—5)(n—6)>12.解得：n>9或n<2(应舍去)..最小正整数n的值为10.9•从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a,b共可得到lga-lgb的不同值的个数是.答案18aa13解析由于lga—lgb—lgb(a>0,b>0),从1,3,5,7,9中任取两个作为b有种，又3与g相同，391与3相同，•：lga—lgb的不同值的个数有A2—2—20—2—18.10.一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m(m>1)个车站，客运车票增加了62种，则n=,m=.答案152解析由题意得：A2丄一A2—62,n+mn(n+m)(n+m—1)—n(n—1)—62.整理得：m(2n+m—1)—62—2X31.*.*m,n均为正整数，2n+m—1也为正整数.

m=2,得：n=15,m=2.2n+m—1=31,11.有3名司机，3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有种（填数字）.答案36解析司机，售票员各有A3种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A3A3=36（种）不同的安排方法.三、解答题某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a54种退热药b『b2,b3,b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.解如图，同时不用4;用偽不用