2022-2023学年山东省烟台市烟台高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

高一期末数学卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.记，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】,,从而，，那么，故选B．2.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（）倍.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.【详解】令日本东北部海域发生里氏级地震释放出来的能量为，芦山县发生7.0级地震释放出来的能量为，则有，即，所以所求结果倍.故选：A3.已知，，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】利用换底公式，对数运算性质用以6为底的对数表示，可得答案.【详解】由换底公式，，则.因，则则.故选：B4.函数在以下哪个区间内一定存在零点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根据零点的存在性定理判断即可.【详解】函数定义域为，排除A；又，，，根据零点存在性定理可得函数在内一定存在零点故选：D5.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论.【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．6.若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用切化弦化简技巧结合可得出，再由可得出，，再由可计算出的值.【详解】因为，所以，，则，，.所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解为0时的值，可得只有两个零点，再根据分析可得无解，进而求得的取值范围即可.【详解】由题意，即或.因，易得无解.故只有两个零点.当时，或，解得或有两个零点.故无解.因为，，故，解得故选：D8.已知定义在上奇函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇函数满足，推导出，得到函数的周期为4，由，结合函数的周期性和奇偶性，得到.【详解】因为为奇函数所以，又，∴，将替换为得：，即，故，所以的周期，因为，所以，则，则故选：B．二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线是函数图象的一条对称轴，则（）A.是偶函数 B.是图象的一条对称轴C.在上单调递减 D.当时，函数取得最小值【答案】AC【解析】【分析】根据为图象的对称轴，求出，从而得到，得到A正确；整体法求解函数的对称轴方程，判断B选项；代入检验函数是否在上单调递减；代入求出，D错误.【详解】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，又，所以，所以．，是偶函数，故A正确；令，解得:，所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B错误；当时，，此时函数单调递减，故C正确；显然函数的最小值为，当时，，故D错误．故选：AC．10.已知0<b<a<1，c>1，则下列各式中不成立的是（）A.ab<ba B.cb>caC.logac>logbc D.blogca>alogcb【答案】ABC【解析】【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性即可判断.【详解】由于0<b<a<1，c>1，根据指数函数与幂函数的单调性有ab>aa>ba，故选项A错误，符合题意；根据指数函数单调性有cb<ca，故选项B错误，符合题意；，，，则，由于反比例函数在上为减函数，则，，则，所以，，即，故选项C错误，符合题意；因为ab>ba，c>1，则logcab>logcba，即blogca>alogcb，故选项D正确，不符合题意．故选：ABC.11.已知函数（，为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）A.方程至多有2个不同的实数根B.方程可能没有实数根C.当时，对，总有成立D.当，方程有4个不同的实数根【答案】ACD【解析】【分析】对进行分类讨论，结合方程的根，函数单调性等知识得出答案．【详解】由，得；由，得．当时，方程没有实数根；方程有1个实数根，所以方程有1个实数根；当时，方程有1个实数根；方程有1个实数根，所以方程有2个不同的实数根；当时，方程有1个实数根；方程没有实数根，所以方程有1个实数根，所以方程至多有2个不同的实数根，至少有1个实数根，故A正确，B错误；当时，是增函数，是增函数，且，，所以在上单调递增，即，总有成立，故C正确；当时，，此时由得或，所以由得或，由，解得；由，因，所以，解得，，所以当时，方程有4个不同的实数根，故D正确，故选：ACD．12.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为，质点A以的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）A.时，的弧度数为 B.时，扇形的弧长为C.时，扇形的面积为 D.时，A，B在单位圆上第一次相遇【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件，弧长公式及扇形面积公式，逐项分析即得答案.【详解】时，质点A按逆时针运动方向运动，质点B按顺时针方向运动，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；时，∠BOA的弧度数为，故扇形AOB的弧长为，故B正确；时，∠BOA的弧度数为，故扇形AOB的面积为，故C错误；设时，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得，故D错误.故选：AB.三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数的图像恒过定点，若点也在函数的图像上，则__________．【答案】1【解析】【分析】首先确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可.【详解】令可得，此时，据此可知点A的坐标为，点在函数的图像上，故，解得：，函数的解析式为，则.【点睛】本题主要考查函数恒过定点问题，指数运算法则，对数运算法则等知识，意在考学生的转化能力和计算求解能力.14.已知，则x＝___．【答案】100【解析】【分析】直接根据对数的运算即可得结果.【详解】因为，所以，即，所以，故答案为：100.15.已知钝角终边上一点的坐标为，则________.【答案】【解析】【分析】先根据任意角三角函数定义得到，再结合诱导公式及角的范围得到的值.【详解】因为，又因为角为钝角，所以.故答案为：16.已知函数在上单调递增，则的最大值是____.【答案】4【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.【详解】由函数在区间上单调递增，可得，求得，故的最大值为，故答案为：4四．解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】结合指数与对数的运算法则和换底公式即可.【详解】(1)原式，(2)原式．18.在平面直角坐标系中，角的顶点坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点．（1）求的值;（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；（2）根据诱导公式化简求值.【小问1详解】由题知角终边经过点，则，∴，，故.【小问2详解】由(1)知，则，故.19.已知函数（1）求函数的单调递减区间，以及对称轴方程；（2）若，当时，的最大值为5，最小值为，求实数a，b的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）结合正弦函数性质，由整体法列式即可；（2）先求出的值域，讨论一次函数的最值即可.【小问1详解】的单调递减区间满足，解得，即单调递减区间是；的对称轴方程满足，解得，即函数对称轴方程为.【小问2详解】当时，，则，即，又的最大值为5，最小值为，则或，解得或.20.已知函数．（1）求函数的对称中心；（2）函数在内是否存在单调增区间？若存在请说明原因并写出递增区间．若不存在，说明理由；（3）若，都有恒成立，求实数m的取值范围；【答案】（1），（2）存在，，理由见解析（3）．【解析】【分析】（1）直接令，解出即可得到对称中心；（2）利用整体法得到，则，解出即可；（3），求出函数的值域，则根据.【小问1详解】对于函数，令，，解得，可得函数的对称中心为，．【小问2详解】当，有，当2x∈时，函数单调递增，故函数在内，存在单调增区间．由，求得，可得函数的增区间为．【小问3详解】若，都有恒成立，当，有，故当，即时，函数的最大值为2，当，即时，函数的最小值为，∴，故实数m的取值范围为．21.某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每1件的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；①②③（2）利用你选取的函数，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；（3）设你所选取的函数为，若对任意实数k，关于x的方程恒有两个相异实数根，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；（3）.【解析】【分析】（1）随着时间的增加，的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论；（2）把点代入中，求出函数的解析式，利用配方法，即可求出该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；（3）由（2）结合题意可得有两个相异的实根，然后由可求出实数m的取值范围.【小问1详解】因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的函数中和都是单调函数，不满足题意，所以选择【小问2详解】把点代入中，得，解得，所以，所以当时，有最小值26，所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；【小问3详解】由（2）可知，所以由，得，即，因为方程有两个相异实数根，所以，所以，因为对任意实数k，上式恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为.22.