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几点要求与注意:1。考研辅导学时有限,教师讲解不可能面面俱到,只能画龙点睛,教师所起的只是引导的作用,师生必须相互配合默契才能发挥最大的效益。2。辅导讲解主要讲授:常见题型,解题分析,
第一章行列式
行列式的常用计算方法:化三角形;递推法;数学归纳法,公式法知识要点线性代数中与行列式有关的内容:时,齐次线性方程组AX=0有非零解,但非齐次线性方程组没有唯一解(可能无解或无穷解)时,A可逆,可用A*求逆;对n个n维向量可用其行列式判其线性相关性;从1987年全国统考以来,行列式的题以填空、选择为主,题量不多,且偏重于计算。
对于落到行列式的考题,大致为三种类型,一是数字型行列式的计算,一是抽象型行列式的计算,还有就是行列式值的判定(特别是行列式是否为零?)
在这些考题中不仅考查行列式的概念、性质及计算,还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值二次型等知识点。
一、数字型行列式的计算
1.(6分)设n元线性方程组Ax=b,其中
,,.
评注:本题关于三对角线行列式的计算通常用递推法。(96年数四考题中出现过)
例如,本题按第一列展开,有证明行列式
注:1.递推公式由也可直接往下推由同学们完成2.如果不是证明,而是求呢?3.如果要求解方程呢?例如见下题:留给读者(6分)设n元线性方程组Ax=b,其中
(Ⅰ)当a取何值时,该方程组有唯一解,并
求x1;
(Ⅱ)当a取何值时,该方程组有无穷多解,
并求通解。
评注:本题可以按第一行(列)直接展开,建立递推公式;也可将各行(列)加到第一行(列)再展开,不过在建立,递推公式时一定要注意符号问题(如将各列加到第一列再展开),否则会出错!留作考生作练习。(2).(3分)设n阶矩阵则提示:用行列式性质作,注意技巧:使第一行或列元素一致。参考答案:评注:本题除用行列式的性质及展开计算外,你能用特征值更简便地求出该行列式的值吗?(提示:R(A)=1充要条件为A=(a1a2····an)T(b1b2····bn)且A的特征值为n,0,···,0注意本题A=B-E,其中虽然单独命的计算题并不多,但在特征值问题中有较多型行列式的计算,在线性相关矩阵可逆、n个未知数n个方程的齐次方程组、二次型的正定等问题中都会涉及到行列式的计算,因此对行列式的计算要重视,不要因小失大.二、抽象型行列式的计算1.(3分)若4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为,,,,则行列式(1).(4分)设矩阵,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则练习一:要会计算这些题:(3)(3分)若都是4维列向量,且4阶行列式,,则4阶行列式(A)m+n;(B)-(m+n)(C)n-m;(D)m-n评注:作为抽象型行列式,本题主要考查行列式的性质2(4分)设矩阵,矩阵B满足:ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵.则注意:式AA*=A*A=E的应用及的性质答案:(3)(4分)设均为3维列向量,记矩阵,,如果,那么注意:行列式与矩阵运算的不同;参考答案:另有B可分解为再利用范德蒙行列式的结果,注意矩阵分解是常用的方法。三、行列式是否为零的判断1、(3分)齐次方程组的系数矩阵为A。若存在三阶矩阵B≠0使得AB=0,则且(A)(B)且(C)且(D)且注:作为选择题,只需在与评注:对于条件AB=0应当有两个思路:一是B的列向量是齐次方程组AX=0的解二是秩的信息即,要有这两种思考问题的意识.另外,还可由AB=0可推出A,B都不可逆(反证)也是解决问题的一种思路中选择一个,因而可以用特殊值代入(3分)设A是m×n矩阵。B是n×m矩阵,则
(B)当m>n时,必有行列式.(C)当n>m时,必有行列式
(D)当n>m时,必有行列式
(A)当m>n时,必有行列式这样的题能快捷判断吗?2。设A是n阶非零矩阵(至少用两种方法作)是n阶矩阵,那么行列式矩阵A不可逆秩r(A)<n
AX=0有非零解0是矩阵A的特征值A的列(行))向量线性相关.综述:若因此,判断行列式是否为零的问题,常用的思路
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