不等式与不等关系

全国名校人教版高中数学必修五优质学案汇编

第二章数列

第三章不等式不等式与不等关系第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。【教学过程】课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之全国名校人教版高中数学必修五优质学案汇编全国名校人教版高中数学必修五优质学案汇编间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。讲授新课1)用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v<40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示Jf<2.5%|p>2.3%问题1:设点A与平面a的距离为d,B为平面a上的任意一点，则d<1ABI。问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为(8-xx0.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x-2.5(8--x0.2)x>200.1问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：'500x+600y<4000;3x>y;<x>0;、y>0.随堂练习1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。2、课本P82的练习1、2课时小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。评价设计课本P83习题3.1[A组]第4、5题【板书设计】授后记】

第2课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。【教学过程】课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a>bna土c>b土c（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若a>b,c>0nac>bc（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若a>b,c<0nac<bc讲授新课1、不等式的基本性质：师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？证明：1)v(a+c)-(b+c)二a-b>0,.•.a+c>b+c2)・・(a+c)—(b+c)=a—b>0,a+c>b+c・实际上，我们还有a>b,b>cna>c,(证明：nbd'c,.a－b>0，b－c>0・根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)+(b－c)>0，即a－c>0，.a>c・于是，我们就得到了不等式的基本性质：(1)a>b,b>cna>ca>bna+c>b+ca>b,c>0nac>bca>b,c<0nac<bc2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：a>b,c>dna+c>b+d；a>b>0,c>d>0nac>bd；(3)a>b>0,neN，n>1nan>bn；n:a>nb。证明：)va>b,.•.a+c>b+c．①vc>d,.•.b+c>b+d．②由①、②得a+c>b+d.a>b,c>0nac>bc]2)Inac>bdc>d,b>0nbc>bdJ3）反证法）假设爲＜nb,

则：若这都与则：若这都与a〉b矛盾［范例讲解］：例1、已知a〉b〉0,c<0,求证cc〉。

abab1.111ax〉bx，艮卩一〉一ababba于是ab1.111ax〉bx，艮卩一〉一ababba于是由cvO，得C〉Cab随堂练习11、课本P82的练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：⑴(°1認)26+26；(.,3-.,2)2U6-1)2；TOC\o"1-5"\h\z」1；弱-2石-弱当a>b>0时,logalogb丄丄22答案：(1)v(2)<(3)<(4)<［补充例题］例2、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：(a+3)(a_5)_(a+2)(a_4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0•••(a+3)(a-5)v(a+2)(a-4)随堂练习21、比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)2x2+5x+6与2x2+5x+9课时小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数(代数式)的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论评价设计课本P83习题3.1［A组］第2、3题；［B组］第1题【板书设计】课时教学目的：1．系统掌握数列的有关概念和公式。2•了解数列的通项公式a与前n项和公式S的关系。nn3•能通过前n项和公式S求出数列的通项公式a。nn授课类型：复习课课时安排：2课时教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要⑴数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列.⑵等差、等比数列的定义.⑶等差、等比数列的通项公式.等差中项、等比中项.⑸等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法.

三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．•等差、等比数列中，a、a、n、d(q)、s“知三求二”，体现了方程1nn(组)的思想、整体思想，有时用到换元法.•求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1,公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想.4•数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等.数列［数列的通项公式］a=S(n=数列［数列的通项公式］a=S(n=1)11S-S(n>2)jnn-1［数列的前n项和］Sn=ai+a2+a3++an2、等差数列［定义］如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

1.定义法：对于数列・｝，若a-a二d(常数)，则数列・｝是等差数列。nn+1nn2•等差中项：对于数列J｝，若，则数列匕｝是等差数列。nn+1nn+2n如果等差数列°｝的首项是a「公差是d,则等差数列的通项为a二a+(n-1)d。n1n1［说明］该公式整理后是关于n的一次函数。［等差数列的前n项和］1［等差数列的前n项和］1.n(a+a)1n—2.=na+d2［说明］对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。［等差中项］如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：A—凹或22A二a+b［说明］：在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。1•等差数列任意两项间的关系：如果a是等差数列的第n项，a是等差数列的nm第m项，且m<n，公差为d，则有a-a+(n-m)d2•2•对于等差数列J｝，若n+m-p+q，则a+a-a+a。nnmpq

也就是：A1+也就是：A1+an=a2+an_1=A3+an一2TOC\o"1-5"\h\z/>丄nFT^irrA,A,AJ'*,A,A,AA2+AN-1‘如图所示：1「2，3A2+AN-13•若数列・｝是等差数列，S是其前n项的和，keN*，那么S,S-STOC\o"1-5"\h\znnk2kkS-S成等差数列。如下图所示：3k2kA+A+A+'+A+A+'+A+A+'+A•12、3，k•k+1-'“2k•2k+1-'“3kpvvS2k-SkS3S2k-Sk3、等比数列［等比数列的概念］［定义］如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等