矩阵论同步学习辅导 张凯院 西北工业大学出版社

矩阵论同步学习辅导(习题与试题精解)张凯院徐仲编西北工业大学出版社图书在版编目(CIP)数据矩阵论同步学习辅导/张凯院,徐仲编.—西安:西北工业大学出版社,2002.8ISBN7-5612-1542-8Ⅰ.矩⋯Ⅱ.①张⋯②徐⋯Ⅲ.矩阵-理论-高等学校-教学参考资料Ⅳ.0151.21中国版本图书馆CIP数据核字(2002)第062114号出版发行:西北工业大学出版社通信地址:西安市友谊西路127号邮编:710072电话址:印刷者:印刷厂开本:850×1168mm32印张:字数:版次:2002年8月第1版2002年8月第1次印刷印数:1～定价:元内容简介】本书由两部分内容组成。第一部分按照程云鹏等编的(第2版)的自然章节,对矩阵论课程的基本概要结论和常用方法做了简明扼要的分类总结,对各章节的课后习题做了详细的解答;第二部分收编了近年来研究生矩阵论课程的考试试题12套和博士入学考试试题3套,并做了详细的解答。本书叙述简明,概括性强。可作为科研究生和本科高年级学生学习矩阵论课程的辅导书,也可供从事矩阵论教学工作的教师和有关科技工作者参考。—Ⅳ—前言矩阵论是高等学校和研究院、所面向研究生开设的一门数学基础课。作为数学的一个重要分支,矩阵理论具有极为丰富的内容;作为一种基本工具,矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域都有非常广泛的应用。因此,学习和掌握矩阵的基本理论与方法,对于研究生来说是必不可少的。矩阵论课程的理论性强,概念比较抽象,而且有独特的思维方式和解题技巧。读者在学习矩阵论课程时,往往感到概念多、结论,对教学内容的全面理解也感到困难。为了配合课堂教学,使研究生更好地掌握该门课程的教学内容,我们编写了这本同步学习辅导书。本书由两部分内容组成。第一部分根据程云鹏等编的研究生教阵(第2版)的内容体系,对矩阵论课程的基本概念、主要结论和常用方法做了简明扼要的分类总结,对各章节的课后习题做了详细的解答;第二部分收编了近年来西北工业大学研究生矩阵论课程(60学时)的考试试题12套和博士入学考试试题3套,并做了详细的解答。本书对于学习矩阵论课程的研究生以及参加博士入学矩阵论课程考试的有关人员有很好的辅导作用,对于从事矩阵论教学工作的教师也有一定的参考价值。本书由张凯院、徐仲共同编写,张凯院任主编。—1—限于水平,书中疏漏和不妥之处在所难免,敬请读者批评指正。编者2002年7月于西北工业大学—2—符号说明R(C)实(复)数集合Rn(Cn)实(复)n维向量集合R×n(C×n)实(复)m×n矩阵集合×n×nRr(Cr)秩为r的实(复)m×n矩阵集合Pn[]次数不超过n的一元多项式集合nn维线性空间VW⊥子空间W的正交补dimV线性空间V的维数span{1,2,⋯,xm}由元素1,2,⋯,m生成的子空间0零向量或线性空间的零元素i第i个分量为1,其余分量为0的向量O零矩阵I单位矩阵ij第i行第j列元素为1,其余元素为0的矩阵JJordan标准形矩阵diag1,2,⋯,n)以λ1,2,⋯,n为对角元素的对角矩阵detA方阵A的行列式trA方阵A的迹(A)方阵A的谱半径adjA方阵A的伴随矩阵rankA矩阵A的秩—1—R(A)矩阵A的值域N(A)矩阵A的零空间R(T)线性变换T的值域N(T)线性变换T的零空间vec(A)矩阵A按行拉直的列向量T矩阵A的转置H矩阵A的共轭转置A+矩阵A的Moore-Penrose逆(1)矩阵A的{1}-逆A(1,j)矩阵A的{1,j}-逆A{1}矩阵A的{1}-逆的集合A{1,}矩阵A的{1,j}-逆的集合(d)矩阵A的Drazin逆AA#矩阵A的群逆AíB矩阵A与B的直积(x,y)元素x与y的内积x⊥y元素x与y正交‖‖p向量x的p-范数‖‖F矩阵A的Frobenius范数V1∩V2子空间V1与V2的交V1∪V2子空间V1与V2的并V1+V2子空间V1与V2的和V1īV2子空间V1与V2的直和Re)复数λ的实部lm)复数λ的虚部�f)多项式f)的次数—2—目录第一部分同步学习辅导第一章线性空间与线性变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18第二章范数理论及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯45⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯45⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯47⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯49四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯50五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51第三章矩阵分析及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯58⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯58⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯61⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯65四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯67五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯68第四章矩阵分解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯80—Ⅰ—⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯80⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯82⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯84四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯91五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯92第五章特征值的估计及对称矩阵的极性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯108⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯108⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯110⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯112⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯114⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯115第六章广义逆矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯127⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯130⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯132⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯133第二部分试题精解试题一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯159试题一解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯161试题二⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯165试题二解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯167试题三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯172试题三解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯174试题四⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯179试题四解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯181试题五⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯186—Ⅱ—试题五解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯188试题六⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯193试题六解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯195试题七⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯200试题七解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯202试题八⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯207试题八解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯210试题九⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯216试题九解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯218试题十⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯224试题十解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯226试题十一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯230试题十一解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯233试题十二⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯238试题十二解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯240试题十三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯245试题十三解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯247试题十四⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯251试题十四解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯253试题十五⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯255试题十五解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯257参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯262—Ⅲ—第一部分同步学习辅导第一章线性空间与线性变换线性空间是向量空间的推广.具体的线性空间多种多样,其中的元素既可以是向量,;其中的线性运算既可以是通常的,也可以是特殊的.线性空间的核心内容是线性变换,它反映了线性空间中元素之间的一种基本联系.在有限维线性空间中,借助于基的概念可在元素与列向量之间、线性变换与方阵之间建立一一对应关系,从而元素的运算能够转化为列向量的运算,线性变换的运算能够转化为方阵的运算,一般线性空间中的问题能够转化为列向量空间中的问题.这种转化依赖于三类特殊的矩阵,即两个基之间的过渡矩阵、线性变换在指定基下的矩阵、欧氏(酉)空间中基的度量矩阵.线性空间中的元素统称为向量,加法运算和数乘运算也使用通常的运算符号.一、基本概念1.线性空间线性空间指引进了加法运算和数乘运算且满足8条运算律的某个数域上的非空集合,通常用V表示(n维线性空间记为Vn).(1)实行向量空间Rn=α=(1,2,⋯,n)|i∈R}实列向量空间Rn=α=(1,2,⋯,n)T|i∈R}复行向量空间C1,2,⋯,n)|i∈C}n=α=(a复列向量空间C1,2,⋯,n)i∈C}n=α=(aT|a—3—(2)实矩阵空间Rij)×n|ij∈R}×n={A=(a×n={A=(a复矩阵空间Cij)×n|ij∈C}(3)实多项式空间Pn[]={f()=0+1t+⋯+nti∈R}n|a复多项式空间Pn[]={f()=0+1t+⋯+ntn|i∈C}2.线性子空间线性子空间指线性空间中对加法运算和数乘运算封闭的非空子集.(1)生成子空间span{1,2,⋯,m}或者L(1,2,⋯,xm):设V是数域K上的线性空间,i∈V(i=1,2,⋯,m),则span{1,2,⋯,xm}={x=11+22+⋯+kmxm|i∈K}×n的列向量组为β(2)矩阵的值域R(A):设A∈C1,2,⋯,n,则R(A)=span1,2,⋯,n}={y=Ax|x∈Cn}×n,则(3)矩阵的零空间N(A):设A∈CN(A)={x|Ax=0,x∈Cn}(4)线性变换的值域R(T):设T是线性空间V的线性变换,则R(T)={y=Tx|x∈V}(5)线性变换的核N(T):设T是线性空间V的线性变换,则N(T)={x|Tx=0,x∈V}(6)线性变换的特征子空间λ:设λ是线性空间V中线性变换T的一个特征值,则λ={x|Tx=x,x∈V}3.线性空间的基线性空间的基指线性空间V中满足下列条件的向量组x1,2,—4—⋯,n:①1,2,⋯,n线性无关;②任意x∈V都可由x1,2,⋯,xn线性表示.(1)向量空间Rn(n)的简单基为1,2,⋯,n,其中i表示第i个分量为1,其余分量为0的n维向量.(2)矩阵空间R×n(C×n)的简单基为11,12,⋯,1n,21,⋯,E其中ij表示第i行第j列元素为1,其余元素为0的m×n矩阵.(3)多项式空间Pn[]的简单基为1,t,⋯,tn.4.两个基之间的过渡矩阵过渡矩阵是以线性空间的一个基中各元素在另一个基下的坐标为列向量构成的方阵.(1)表示方法:已知线性空间Vn的两个基为(Ⅰ)1,2,⋯,xn;(Ⅱ)1,2,⋯,yn.设j在基(Ⅰ)下的坐标为j(j=1,2,⋯,n),则由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C=1,2,⋯,n),基变换公式为(1,⋯,n)=(1,⋯,xn)C(1,⋯,n)=(1,⋯,yn)-1评注〕一般地,上式中进行乘法运算时,只能将i或者yj作为一个“数”看待;比较等号两端的,亦将i或者yj作为看待.(2)主要特征:两上基之间的过渡矩阵是可逆方阵,它的阶数等于线性空间的维数.5.元素的坐标元素的坐标指元素由线性空间的基线性表示时,表示式中的系数构成的列向量.(1)表示方法:设线性空间Vn的一个基为x1,2,⋯,n,对于任意x∈Vn,有x=11+22+⋯+nxn,则x在该基下的坐标为(1,2,⋯,n)T.—5—(2)主要特征:元素的坐标是列向量,它的维数等于线性空间的维数.(3)运算转化:设数域K上的线性空间Vn的一个基为x1,2,⋯,xn,且x,y∈V1,2,⋯,n)n在该基下的坐标分别为α=(aT和β=(1,2,⋯,n)T,则1)x+y在该基下的坐标为α+;2)在该基下的坐标为(k∈K).6.线性变换的矩阵线性变换的矩阵是以线性空间的基中各元素的像在该基下的坐标为列向量构成的方阵.(1)表示方法:设线性空间Vn的一个基为x1,2,⋯,n,线性变换为T,基像组Tx1,Tx2,⋯,Txn在该基下的坐标依次为β1,2,⋯,n,则T在该基下的矩阵为A=1,2,⋯,n),且有defT(1,2,⋯,xn)(Tx1,Tx2,⋯,Txn)=(1,2,⋯,xn)A(2)主要特征:线性变换的矩阵是方阵,它的阶数等于线性空间的维数.(3)运算转化:设数域K上的线性空间Vn的一个基为x1,2,⋯,xn,线性变换1和T2在该基下的矩阵分别为A和B,则1)1+2在该基下的矩阵为A+;2)kT1在该基下的矩阵为(k∈K);3)12在该基下的矩阵为AB;-1-1(若T4)1在该基下的矩阵为A1为可逆变换).7.基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i个元素与第j个元素的内积为i行j列元素构成的方阵.(1)表示方法:设欧氏(酉)空间Vn的一个基为x1,2,⋯,n,—6—令ij=(i,xj)(i,j=1,2,⋯,n),则该基的度量矩阵为A=(ij)×n.(2)主要特征:基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵,它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数.(3)运算转化:设酉空间V1,2,⋯,n,该基的n的一个基为x度量矩阵为A,x,y∈Vn在该基下的坐标(列向量)分别为α和β,那么x与y的内积(x,y)=T.当Vn为欧氏空间时,(x,y)=αT.8.标准正交基标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成的基.(1)构造方法:对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt正交化可得正交基,再对正交基进行单位化可得标准正交基.(2)主要特征:正交基的度量矩阵是对角矩阵,标准正交基的度量矩阵是单位矩阵.(3)运算转化:设欧氏(酉)空间V1,n的一个标准正交基为x2,⋯,xn,x,y∈V1,2,⋯,n)n在该基下的坐标分别为α=(aT和β=(1,2,⋯,n)T,则1)i=(x,i),i=(y,i)(i=1,2,⋯,n);2)(x,y)=11+22+⋯+nn=,).二、主要结论1.线性子空间设V1和V2是线性空间Vn的两个子空间,则有:(1)V1∩V2和V1+V2是Vn的子空间.—7—(3)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2)(4)下面四种说法等价:1)V1+V2是直和;2)V1+V2中零元素的分解式惟一;3)V1∩V2={0};4)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2.(5)若V1+V2是直和,则将V1的基与V2的基拼接起来可构成V1+V2的基.(6)若V1=L(1,2,⋯,m),则1,2,⋯,m的最大无关组是V1的基.(7)若V1=L(1,2,⋯,xm),V2=L(1,2,⋯,l),则V1+V2=L(1,2,⋯,xm,1,2,⋯,l)(8)线性空间Vn为欧氏(酉)空间时,Vn=V1īV⊥.(9)设A∈C×n,则有1)[R(A)]⊥=N(H),且Cm=R(A)īN(AH);2)[R(AH)]⊥=N(A),且n=R(H)īN(A).(10)设V1,2,⋯,n,则V1,2,⋯,n的一个基为xn=L(xxn).2.向量组的线性关系设线性空间Vn的一个基为1,2,⋯,xn,y,j∈Vn在该基下的坐标分别为β和βj(j=1,2,⋯,m),则有:(1)y可由y1,2,⋯,ym线性表示的充要条件是β可由β1,2,⋯,m线性表示.(2)1,2,⋯,ym线性相(无)关的充要条件是β1,2,⋯,m线性相(无)关.—8—(3)yj1,2,⋯,ym的最大无关组的充要条件是1,⋯,yjr为yj1,⋯,jr为β1,2,⋯,m的最大无关组.3.坐标变换设数域K上的线性空间V1,2,⋯,xnn的两个基分别为(Ⅰ)x和(Ⅱ)1,2,⋯,yn,且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为,x∈Vn在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的坐标(列向量)分别为β,则有:(1)α=,β=C-1.(2)对于λ0∈K,存在x≠0使得α=0β的充要条件是β=0,即λ0为C的一个特征值.4.标准正交基设欧氏空间Vn的两个基分别为(Ⅰ)1,2,⋯,n和(Ⅱ)1,2,⋯,n,且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为,基(Ⅰ)的度量矩阵为A,基(Ⅱ)的度量矩阵为B,则有:(1)B=CT.(2)基(Ⅰ)是标准正交基的充要条件是A=.(3)若基(Ⅰ)与基(Ⅱ)都是标准正交基,则C是正交矩阵.(4)若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))是标准正交基,C是正交矩阵,则基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))是标准正交基.5.相似矩阵(1)A∈C×n相似于上(下)三角矩阵.(2)A∈C×n相似于Jordan标准形矩阵.(3)A∈C×n酉相似于上三角矩阵.(4)设A∈×n,则HA=AAH的充要条件是存在酉矩阵P,使得PHAP=(对角矩阵).(5)设A∈R×n的特征值都是实数,则TA=AAT的充要条件是存在正交矩阵,使得QT=.(6)实对称矩阵正交相似于对角矩阵.—9—6.方阵的最小多项式(1)方阵是其特征多项式的矩阵根.(2)方阵的最小多项式整除它的零化多项式.(3)方阵的最小多项式与它的特征多项式有相同的零点(不计重数).(4)设n阶方阵A的特征多项为),特征矩阵I-A的n-1阶行列式因子为n-1),则A的最小多项式为m)=)Dn-1).(5)设n阶方阵A的全体初等因子为λ-1)1,⋯,λ-1)kt1(1≤k1≤⋯≤t1)λ-2)l1,⋯,λ-λ2)2)lt2(1≤l1≤⋯≤lt2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯λ-s)rt1,⋯,λ-λ1≤⋯≤ts)s(1≤rs)其中,1,2,⋯,s互不相同,则A的最小多项式为m)=λ-1)ktltrt1λ-λ2⋯λ-λ2)s)1λ-λ2⋯λ-λs7.线性变换设线性空间V1,2,⋯,n和(Ⅱ)1,n的两个基分别为(Ⅰ)x2,⋯,n,且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为,线性变换T在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的矩阵分别为A和B,x∈Vn在基(Ⅰ)下的坐标为,则有:(1)dimR(T)=rankA,dimN(T)=n-rank.(2)Tx在基(Ⅰ)下的坐标为.(3)B=-1.(4)T的特征值与A的特征值相同,T的对应于特征值λ的特征向量在基(Ⅰ)下的坐标为A的对应于特征值λ的特征向量.(5)在Vn中存在某个基使T在该基下的矩阵为对角矩阵Λ的—10—充要条件是,存在可逆矩阵P使P-1AP=.此时,P是由基(Ⅰ)改变为这个基的过渡矩阵.(6)T在Vn的某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是T有n个线性无关的特征向量.(7)关于正交变换,下面四种说法等价:1)T是欧氏空间Vn的正交变换,即对于任意的x∈Vn,有(Tx,Tx)=(x,x);2)对于任意的x,y∈Vn,有(Tx,Ty)=(x,y);3)T在Vn的标准正交基下的矩阵为正交矩阵;4)T将Vn的标准正交基变换为标准正交基.(8)关于对称变换,下面两种说法等价:1)T是欧氏空间Vn的对称变换,即对于任意的x,y∈Vn,有(Tx,y)=(x,Ty);2)T在Vn的标准正交基下的矩阵为对称矩阵.(9)若T是欧氏空间Vn的对称变换,则T在Vn的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵.(10)在欧氏空间Vn中,若正交变换T的特征值都是实数,则T是对称变换.8.线性变换的不变子空间设T是线性空间Vn的线性变换,则有:(1)R(T),N(T)及λ都是T的不变子空间.(2)若V1和V2都是T的不变子空间,则V1∩V2与V1+V2也是T的不变子空间.(3)若Vn可分解为T的不变子空间Vi(i=1,2,⋯,m)的直和,则T在由V1,V2,⋯,Vm的基拼接而构成Vn的基下的矩阵为准对角矩阵.(4)若T在V1,2,n的某个基下的矩阵为准对角矩阵diag(A⋯,Am),则Vn可分解为T的m个不变子空间的直和.—11—三、常用方法1.求线性空间(子空间)的基(1)根据线性空间的构成规律,找出其中的一组特殊元素,使得线性空间的一般元素都可由这组元素线性表示.(2)若这组元素线性无关,则它就是线性空间的基;若这组元素线性相关,则它的一个最大无关组就是线性空间的基.2.求R(A)和N(A)的基(1)矩阵A的列向量组的一个最大无关组是R(A)的基.(2)齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系是N(A)的基.3.求R(T),N(T)及λ的基设线性空间V1,2,⋯,xn,线性变换T在该基n的一个基为x下的矩阵为A,记rankA=r,则有:(1)求出R(A)的一个基为α1,2,⋯,r(列向量),那么R(T)的一个基为1=(1,2,⋯,xn1,⋯,r=(1,2,⋯,xn)r(2)求出N(A)的一个基为1,2,⋯,n-r(列向量),那么N(T)的一个基为1=(1,2,⋯,xn1,⋯,n-r=(1,2,⋯,xnn-r(3)求出NI-A)的一个基为1,2,⋯,l(列向量),那么λ的一个基为1=(1,2,⋯,xn1,⋯,l=(1,2,⋯,xnl4.求过渡矩阵设线性空间Vn的两个基分别为(Ⅰ)1,2,⋯,n和(Ⅱ)1,2,⋯,n,由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为,那么求过渡矩阵有下述方法.(1)直接法:—12—1)计算yj在基(Ⅰ)下的坐标βj(j=1,2,⋯,n);2)写出C=1,2,⋯,n).(2)中介法:1)选取Vn的简单基,使Vn的元素在该基下的坐标能够直接写出;2)分别写出由简单基改变为基(Ⅰ)和基(Ⅱ)的过渡矩阵1和2;3)计算C=12.-1评注〕在中介法中,由于xj在简单基下的坐标可以直接写出,所以由简单基改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵1能够直接写出.同理,由简单基改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵2也能够直接写出.5.求在两个基下坐标向量成比例的非零元素设线性空间Vn的两个基分别为(Ⅰ)1,2,⋯,n和(Ⅱ)1,2,⋯,n,z∈Vn在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的坐标向量=λ为给定常数),求元素z的步骤如下:(1)求出由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.(2)求出齐次线性方程组I-Cβ=0的基础解系β1,2,⋯,l.(3)写出满足要求的全体线性无关的元素组1=(1,2,⋯,yn1,⋯,l=(1,2,⋯,nl那么,满足要求的全体非零元素为z=11+22+⋯+lzl(1,2,⋯,l不全为0)6.求线性变换的矩阵设线性空间Vn的一个基为x1,2,⋯,xn,线性变换T在该基下的矩阵为A,那么求线性变换的矩阵有下述方法.(1)直接法:1)计算Txj,并求出Txj在基x1,2,⋯,xn下的坐标βj(j=1,2,⋯,n);—13—2)写出A=1,2,⋯,n).(2)中介法:1)选取V12,⋯,n,使Vn的简单基,记作εn中的元素在该基下的坐标能够直接写出;2)写出由简单基改变为给定基的过渡矩阵;3)计算j,并写出j在简单基下的坐标βj(j=1,2,⋯,n),得到T在简单基下的矩阵B=1,2,⋯,n);4)计算T在给定基下的矩阵A=-1.评注〕中介法的第3步是采用直接法求线性变换在简单基下的矩阵.(3)混合法:1)选取V1,2,⋯n;n的简单基,记作ε2)写出由简单基改变为给定基的过渡矩阵;3)计算Txj,并写出Txj在简单基下的坐标βj(j=1,2,⋯,n),得到矩阵B=1,2,⋯,n),即T(1,2,⋯,n)=1,2,⋯,n)B;4)计算T在给定基下的矩阵A=C-1B.7.求线性变换的特征值与特征向量(1)选取线性空间V1,2,⋯,n,n的一个基(通常是简单基)x并求出线性变换T在该基下的矩阵A.(2)求出矩阵A的全体互异特征值λ1,2,⋯,s(1≤s≤n).(3)求出特征方程iI-A)x=0的基础解系1,2,⋯,()(i)βl).(4)写出线性变换T的对应于特征值λi的全体线性无关的特征向量1=(1,2,⋯,xn()()()(i)1,⋯,li=(x1,2,⋯,xnβli那么,T的对应于特征值λi的全体特征向量为()()()y=11+22+⋯+l1,2,⋯,liyli(ki不全为0)—14—8.求线性空间的基使线性变换的矩阵为对角矩阵(1)选取线性空间V1,2,⋯,n,n的一个基(通常是简单基)x并求出线性变换T在该基下的矩阵A.(2)求可逆矩阵P,使P-1=(对角矩阵).(3)构造V1,2,⋯,yn,使满足n的另一个基y(1,2,⋯,yn)=(1,2,⋯,xn)P那么,T在基1,2,⋯,yn下的矩阵为.评注〕并非对于任何线性变换T,都存在线性空间Vn的一个基,使T在该基下的矩阵为对角矩阵.但是在复数域上,任何n阶方阵都相似于Jordan标准形,因此总存在Vn的一个基,使T在该基下的矩阵为Jordan标准形特殊的准对角矩阵.9.求方阵的Jordan标准形设A∈Ci)×n的全体初等因子为λ-λ×n的全体初等因子为λ-λmi(i=1,2,⋯,s;m1+2+⋯+s=n),对应第i个初等因子λ-i)mi的Jordan块为i,那么A的Jordan标准形为J=diag(1,2,⋯,Js),求A的全体初等因子常用下面三种方法.(1)行列式因子法:1)计算I-A的行列式因子Dk)(k=1,2,⋯,n);2)计算I-A的不变因子k)=k)k-1)(k=1,2,⋯,n;0)=1)3)对1),2),⋯,n)分解因式,全体不可约因式(一次因式方幂)为A的全体初等因子.(2)初等变换法:1)用初等变换将λI-A化为对角矩阵diag(f1),f2),⋯,fn)),其中fk)(k=1,2,⋯,)是首1多项式;2)对f1),f2),⋯,fn)分解因式,全体不可约因式为A的全体初等因子.—15—(3)特征多项式分析法:1)计算A的特征多项式φ)=detI-A);2)求出)的全体不可约因式λ-i)ri(i=1,2,⋯,l;1+2+⋯+l=n)3)对于)的第i个不可约因式λ-i)ri,有i=1时,λ-i是A的一个初等因子;i>1时,λ-i)iI-A)个初等因子的ri是A的n-rankλ乘积.评注〕在特征多项式分析法中,当i≤3时,一定能够确定出λ-i)ri是几个初等因子的乘积;而当i>3时,不一定能够确定出λ-i)ri是几个初等因子的乘积,此时该方法可能失效。—16—四、内容结构框图—17—五、课后习题全解习题1.11.设1�2,证明1∩2=1,1∪2=2.证任取a∈1,由1�2知a∈(1∩2),从而1�(1∩2);又(1∩2)�1,所以(1∩2)=1.任取a∈(1∪2),由1�2知a∈2,故(1∪2)�2;又2�(1∪2),所以(1∪2)=2.2.判别数集{a+b2|,b∈Q}是否形成数域.解令S={a+b2|,b∈},任取S中两个数1+12和2+22,由于(1+12)±(2+22)=(1±2)+(1±2)2∈S(1+12)(2+22)=(12+212)+(12+21)2∈S1+122+22=12-212222-2b2+21-12222-2b22∈S所以S形成数域.3.判别下列集合对所指运算是否构成R上的线性空间.(1)次数等于m(m≥1)的实系数多项式的集合,对于多项式的加法和数与多项式的乘法;(2)实对称矩阵的集合,对于矩阵的加法和实数与矩阵的乘法;(3)平面上全体向量的集合,对于通常的加法和如下定义的数乘运算�x=解(1)否.因为两个m次多项式相加不一定还是m次多项—18—式,所以加法运算不封闭.(2)是.(3)否.因为x≠0时1�x=0≠x,所以定义中的性质(8)不能成立.4.证明:在实函数空间中,函数组1,cos2t,cos2t是线性相关的.证因为1-2cos2t+cos2t=0,所以1,cos2t,cos2t线性相关.5.求第3题之(2)中线性空间的维数与基.解用ij表示第i行第j列元素为1,而其余元素为0的n阶方阵,则(i=1,2,⋯,n),ij=ij+ji(i<j;i,j=1,2,⋯,n)线性无关,且当ij=ji时,有nA=(ij)n×n=∑i=1iiE+∑i<jaijFij因此,该线性空间的一个基为ii(i=1,2,⋯,n),ij(i<j;i,j=1,2,⋯,n),其维数为n(n+1).26.求3中向量x=(3,7,1)在基1=(1,3,5),2=(6,3,2),3=(3,1,0)下的坐标.解设x=11+22+33,比较等号两端向量的对应分量可得线性方程组163133312=752031其惟一解为1=33,2=-82,3=154.因此,x的坐标为(33,-82,154)T.7.求2[t]中向量1+t+2在基1,t-1,(t-2)(t-1)下—19—的坐标.解设1+t+2=1·1+2(t-1)+3(t-2)(t-1),比较等号两端关于t的同次幂的系数可得1-2+23=12-33=13=1求解得3=1,2=4,1=3.因此,1+t+2的坐标为(3,4,1)T.8.设线性空间V4的基(Ⅰ)1,2,3,4和基(Ⅱ)1,2,3,4满足1+22=32+23=41+22=32+23=4(1)求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵;(2)求向量x=21-2+3+4在基(Ⅰ)下的坐标.解(1)解出1,2,可得1=41+82+3-24,2=-21-42+43=1+22,4=2+23于是,由基(Ⅰ)改变基(Ⅱ)的过渡矩阵为4-210C=8-4211002-2100(2)x在基(Ⅱ)下的坐标为(2,-1,1,1)T,由坐标变换公式计算x在基(Ⅰ)下的坐标为211C-11=2341-5—20—9.在R4中有两个基1=1,2=2,3=3,4=41=(2,1,-1,1),2=(0,3,1,0)3=(5,3,2,1),4=(6,6,1,3)(1)求由前一基改变为后一基的过渡矩阵;(2)求向量x=12,34)在后一基下的坐标;(3)求对两个基有相同坐标的非零向量.解(1)设(1,2,3,4)=(1,2,3,4),直接写出2056C=1336-11211013(2)x在基x1,2,3,4下的坐标为1,23,4)T,而x在基1,2,3,4下的坐标为-11,23,4)T.111(3)由23-1=C23得(C-I)23=0,该方程组的通解为444(1,1,1,-1)1+2+3T,对两个基有相同坐标的非零向量为k(x-4),k为非零常数.10.设1,2,3是3的一个基,试求由1=1-22+33,2=21+32+23,3=41+132生成的子空间L(1,2,3)的基.解L(1,2,3)的基为1,2,3的一个最大无关组.在基1,2,3下,1,2,3的坐标依次为(1,-2,3)T,(2,3,2)T,(4,13,0)T该列向量组的一个最大无关组为(1,-2,3)T,(2,3,2)T.因此,1,2,3的一个最大无关组为1,2,即L(1,2,3)的一个基为—21—1,2.11.求R4的子空间V1={(12,3,4)|1-2+3-4=0}V2={(12,3,4)|1+2+3+4=0}的交V1∩V2的基.解设x=1,2,34)∈(V1∩V2),则x的分量满足1-2+3-4=01+2+3+4=0该方程组的基础解系为(1,0,-1,0)T,(0,1,0,-1)T,从而V1∩V2的一个基为(1,0,-1,0),(0,1,0,-1).12.给定×2={A=(ij)×2|ij∈R}(数域R上的二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘矩阵构成的线性空间)的子集V={A=(ij)2×2|11+22=0,ij∈R}(1)证明V是R×2的子空间;(2)求V的维数和基.解(1)设A=(ij)×2∈V,B=(ij)×2∈V,则有11+22=0,11+22=0因为A+B=(ij+ij)×2,(11+11)+(22+22)=0=(ij)2×2,(ka11)+(22)=0所以A+B∈V,kA∈V.又×2∈V,所以V是R×2的子空间.(2)在V中1=100-1,2=0100,3=0010线性无关.任意A=(ij)×2∈V,有11+22=0,即22=-11,于是A=111+122+213因此,V的一个基是A1,2,3,从而dimV=3.—22—13.证明所有二阶矩阵之集合形成的实线性空间,是所有二阶实对称矩阵之集合形成的子空间与所有二阶反对称矩阵之集合形成的子空间的直和.证设V=R×2,令V1={A=(ij)×2|ij=ji,ij∈R}V2={B=(ij)×2|ij=-ji,ij∈R}容易验证,V1与V2都是V的子空间.任意C∈V,有C=12(C+CT)+1T)+12(C-T)且12(C-CT)∈VT)∈V1,12(C-C2,所以V=V1+V2.因为T)∈VT)∈VD=(dij)×2∈V1∩V2�D∈V1且D∈V2�ij=dji且dij=-ji�ij=0(i,j=1,2)�D=O所以V1∩V2={},即V=V1īV2.习题1.21.判别下列变换中哪些是线性变换.3中,设x=ξ2(1)在R1,2,3),Tx=11+2,3);(2)在矩阵空间R×n中,TX=BXC,这里B,C是给定矩阵;(3)在线性空间Pn[]中,Tf()=f(t+1).解(1)否.因为T(2x)=(ξ22(21,21+2,3),所以当ξ1≠0时,T(2x)≠2(Tx).(2)是.设X,Y∈R×n,k∈R,则有T(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=TX+TYT(kX)=B(kX)C=k(BXC)=(TX)(3)是.设f(t),g(t)∈Pn[t],k∈R,则有—23—T[f(t)+g(t)]=f(t+1)+g(t+1)=Tf(t)+Tg()T[kf()]=kf(t+1)=kTf()2.在2中,设x=1,2),证明T1x=2,-1)与2x=1,-2)是R1+2,T12及21.2的两个线性变换,并求T解设k,l∈R,y=1,2)∈R2,则kx+=(1+l1,2+l2)于是有1(kx+ly)=(2+l2,-1-l1)=2,-1)+l2,-1)=(1x)+l(T1y)所以1是线性变换.同理可得2是线性变换.(1+2)x=1x+2x=1+2,-1-2)(12)x=1(2x)=11,-2)=(-2,-1)(21)x=2(1x)=22,-1)=21)3.在Pn[t]中,1f(t)=f(),2f(t)=tf(),证明12-T2T1=Te证设f(t)∈Pn[t],则(12-T2T1)f(t)=T1[2f(t)]-2[T1f(t)]=T1[tf(t)]-2[(t)]=f(t)+tf()-tf()=f(t)=Tef(t)故12-21=Te.4.在R1,23),定义Tx=(21-22+3,3中,设x=ξ1),试求T在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵.解1=(2,0,1)=21+02+132=(-1,1,0)=(-1)1+12+03—24—3=(0,1,0)=01+12+032-10故A=0111005.设1,2是线性空间V1与2是V2的基,T2的线性变换,11=1,12=2,且2(1+2)=1+2,2(1-2)=1-2,证明1=2.证设x∈V11+22.由于2,则x=k21+22=T2(1+2)=1+221-22=T2(1-2)=1-2所以21=1,22=2.于是1x=111+2T12=11+22=121+2T22=2x故1=2.6.六个函数1=ecos,2=esin,3=eatcos4=esin,x5=15=122eatcos,x6=16=122eatsin的所有实系数线性组合构成实数域R上的一个六维线性空间V6=L(1,2,3,4,5,6),求微分变换D在基x1,2,⋯,6下的矩阵.解因为Dx1=eatcos-eatsin=ax1-2Dx2=e1+ax2atsin+eatbcos=Dx3=e1+3-4atcos+eatcos-esin=xDx4=e2+3+ax4atsin+taeatsin+eatbcos=xDx5=eatcos+1atcos+122eatcos-1atcos-122esin=—25—3+5-6Dx6=eatsin+1atsin+122eatsin+1atsin+122eatcos=4+5+ax6故ab1000-ba0100A=00ab1000-ba010000ab0000-ba7.已知3的线性变换T在基x1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵为101110-121求T在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵.解设基(Ⅰ)为1,2,3;基(Ⅱ)为1,2,3.直接写出由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵-110-1=1011-11则由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为.于是T在基(Ⅱ)下的矩阵为101-11-2-1C110C=220-1213028.在2×2中定义线性变换—26—1X=abcdX,2X=Xabcd3X=abcdXabcd求1,2,3在基11,12,21,22下的矩阵.解111=a0c0=11+21112=0a0c=12+22121=b0d0=11+dE21122=0b0d=12+dE22故1在该基下的矩阵为a0b01=0a0bc0d00c0d类似地,可得2在该基下的矩阵为ac002=bd0000ac00bd由于3=1T2,所以3在该基下的矩阵为2abbca3=12=2bdadb2adcdcdbdd2—27—9.设T是线性空间V的线性变换,且Tk-1x≠0,但Tkx=0,求证x,Tx,⋯,Tk-1x(k>0)线性无关.证设一组数0,1,⋯,k-1,使得0x+1Tx+⋯+k-1Tk-1x=0两端用Tk-1变换,并利用Tkx=0可得0Tk-1x=0因为T0=0.k-1x≠0,所以c同理可得1=⋯=k-1=0,故x,Tx,⋯,Tk-1x线性无关.10.设T是3的线性变换,x=1,23)∈3,而Tx=(0,12),求T2的象子空间R(T2)和核子空间N(2)的基与维数.解由T12)=(0,0,1)可得2x=T(Tx)=T(0,ξR(2)={(0,0)|R}N(T2,3)|2,3∈R}2)={(0,ξ因此,dimR(2)=1,R(2)的一个基为(0,0,1);dimN(2)=2,N(T2)的一个基为(0,1,0),(0,0,1).11.给定3的两个基1=(1,0,1),2=(2,1,0),3=(1,1,1)1=(1,2,-1),2=(2,2,-1),3=(2,-1,-1)定义线性变换Txi=i(i=1,2,3)(1)写出由基1,2,3改变为基1,2,3的过渡矩阵.(2)写出T在基x1,2,3下的矩阵.(3)写出T在基y1,2,3下的矩阵.解(1)引进基1,2,3,则有121(1,2,3)=(1,2,3)1,1=011101—28—122(1,2,3)=(1,2,3)2,2=22-1-1-1-1所以(1,2,3)=(1,2,3),其中C=C-112=112=12-4-3323321-5(2)由T(1,2,3)=(1,2,3)=(1,2,3)C知,T在基1,2,3下的矩阵为.(3)T在基1,2,3下的矩阵为C-1=.12.设T是数域C上线性空间V3的线性变换,已知T在V3的基1,2,3下的矩阵310A=-4-104-8-2求T的特征值与特征向量.解求得A的特征值和特征向量为1=2=1,k(3,-6,20)T(k≠0)3=-2,k(0,0,1)T(k≠0)故T的特征值和特征向量为1=2=1,k(31-62+203)(k≠0)3=-2,kx3(k≠0)13.把矩阵-110A=-430102相似的变换为上三角矩阵.解第一步:detI-A)=λ-2)λ-1)2.—29—3-101=2,2I-A=4-100000001特征向量为0,取1=010,可求得1100201-11=03-401-1第2步:1=3-41-1,detI-1)=λ-1)2.1=1,1I-1=-24-12特征向量为21,取2=2011,可求得212=-11-20112=011020100,则P-1=-1=2111-21令P=1.14.试计算2A8-35+4+2-4I,其中102A=0-110103-λ+1,利用长除法或待定系数法

解detI-A)=λ求得λ8-5+4+2-4=3-λ+1)f)+(242-37λ+10)—30—其中f)=λ5+3-2+λ-14.由于3-2A+I=,所以-348-26原式=24A095-612-37A+10I=0-613415.设A=1-125,试求(24-123+192-29A+37I)-12-λ+7,利用长除法或待定系数法

解detI-A)=λ求得4-3+2-λ+37=2-λ+7)(22+5)+λ+2)由于A2-6A+7I=O,所以原式=(A+2I)-1=3-127-1=12371-2316.求下列矩阵的特征多项式和最小多项式.74-44-8-1-4-1-8;(2)0123-10-32-230-1-3-210(1).解(1))=detI-A)=λ-9)+9)2,m)是φ)的因式,检验知m)=λ-9)λ+9)=2-81.(2)利用[detI-A)]2=det[I-A)TI-A)]可求得)=detI-A)=2-20λ+(a22222m)是)的因式,检验知2-2a2222m)=λ0λ+(0+1+2+3)17.证明任意矩阵与它的转置矩阵有相同的最小多项式.证设A的最小多项式为mA),B=AT的最小多项式为—31—B).由A(A)=O可得A(B)=A(T)=[A(A)]T=O故B)|A).同理可得A)|B).因此A)=B).18.设1,2是数域C上的线性空间Vn的线性变换,且T1T21T2=21,证明:如果λ0是1的特征值,那么0是2的不变子空间.证对任意x∈V1x=0.由于0,有T1(2x)=2(1x)=20x)=0(2x)所以2x∈0,故0是T2的不变子空间.19.求下列各矩阵的Jordan标准形.12037-3(1)020;(2)-2-52;-2-1-1-4-1033100(3)-4-1007121.-7-6-10解(1)detI-A)=λ-1)λ-2)λ+1),A有3个不同1的特征值,从而A的Jordan标准形为2.-1(2)detI-A)=λ-1)λ-j)+j),A有3个不同的特征1值,从而A的Jordan的标准形为j.-j(3)写出特征矩阵—32—λ-3-100I-A=4λ+100-7-1λ-2-1761λ容易求得A的行列式因子41)=1,2)=1,4)=λ-1)位于λI-A的第2,3,4行与第1,2,4列处的三阶子式为4λ+10-7-1-1=2-λ+1776λ它与4)互质,所以3)=1,从而A的不变因子为1,1,1,λ-1)4.于是A的初等因子为λ-1)4,A的Jordan标准形为11J=1111120.设有正整数m使Am=I,证明A与对角矩阵相似.证设A的Jordan标准形为11)J=wss)i1ii)=iww1im×mii即存在可逆矩阵P,使-1=.由于Jm=-1mP=-1IP=I所以[ii)]m=Imi,从而mmi,从而mi=1,即ii)=i,也就是A与对角—33—矩阵相似.21.求解常微分方程组1dt=-1+22dt=-1+23dt=-1+2-3这里ξ1,23都是t的未知函数.解对方程组的系数矩阵A求可逆矩阵P,使P-1=.-110110100A=-430,J=10,P=210-88-1-142111作代换2=P2,将原方程化为331′11+22′=J2=23′3-3可求得η1=1et+2et,2=2t,3=3e-t,于是1()=1e2et+ct2()=21e2(2t+1)et+ct3()=41t+2(4t+2)t+3e-t其中1,2,3为任意常数.习题1.31.设x=1,2,⋯,n),y=1,2,⋯,n)是Rn的任意两个向量,A=(ij)×n是正定矩阵,定义(x,y)=xAyT.—34—(1)证明在该定义下Rn构成欧氏空间;(2)求R1=(1,0,⋯,0),2=(0,1,0,n中由单位坐标向量e⋯,0),⋯,n=(0,⋯,0,1)构成的基的度量矩阵;(3)写出Rn中Cauchy-不等式.T=[xAyT]T=yAxT=(y,x)

解(1)(x,y)=xAyT=k[yT]=k(x,y)

(kx,y)=()T=(x+y,)=(x+y)AzxAzT+yAzT=(x,)+(y,)当x=0时,(x,x)=xAxT=0;当x≠0时,由A正定知(x,x)=xAxT>因此,(x,y)是Rn中的内积,且在该内积定义下Rn构成欧氏空间.Tn中基e(2)由(i,j)=iAej=ij知,R1,2,⋯,n的度量矩阵为.nn(3)(x,y)=∑i,j=1ijξηij,|x|2=(x,x)=∑2=(x,x)=∑i,j=1ijj,|y|2=2=n(y,y)=∑i,j=1ijj,由|(x,y)|≤|x||y|得nnn∑i,j=1ij≤∑i,j=1ijij∑i,j=1ijj2.设1,2,⋯,xn是实线性空间V11+22n的基,向量x=ξ+⋯+nxn和y=11+22+⋯+nxn对应于实数n(x,y)=∑i=1ii.试问Vn是否构成欧氏空间.n是否构成欧氏空间.解设z∈V11+22+⋯+nxn,则有n,且z=cnn(x,y)=∑i=1ii=∑i=1iii=(y,x)nn(kx,y)=∑i=1i(ii=∑i=1iii=k(x,y)—35—n(x+y,)=∑i=1ii+i)i=nn∑i=1ii+∑ii=1iii=(x,)+(y,z)当x=0时,i=⋯=n=0,(x,x)=0;当x≠0时,实数ξ1,⋯,n不全为零,(x,x)>0.因此,(x,y)是Vn中的内积,且在该内积定义下Vn构成欧氏空间.3.在4中,求下面向量x与y的夹角〈x,,其内积按式(1.3.1)给出.(1)x=(2,1,3,2),y=(1,2,-2,1);(2)x=(1,2,2,3),y=(3,1,5,1).解(1)(x,y)=0,x,〉=π2;(2)(x,y)=18,|x|2=18,|y|2=3