初中数学课件：行程问题说题

数学说题

原题呈现方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇；…．请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶的路程

，与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；原题呈现（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

说解法说背景与价值说学情123说题流程说拓展5说教法46说反思

此题选自2015年杭州市中考数学卷第23题。本题考查的是一次函数图像的综合应用中很经典的问题——行程问题。说背景与价值该题注重日常生活取材，在设计问题时，跳出课本具体的知识内容，大量地运用生活中的真实情景，注重学生在相应学习领域的基础能力学习及其在生活实际中的应用，这正是学生能力国际评价PISA命题评价所反映的实质之一。说背景与价值知识点：待定系数法求函数解析式；函数值对应的自变量的取值范围的计算；利用一次函数的模型解决实际的问题。

4小问题层层递进，不仅能够体现出学生的基本功，更能反映出学生数学学习的综合能力，具有一定的选拔作用。说学情一次函数是学生函数学习的启蒙，而一次函数的应用是初中数学的重要内容，也是近几年命题者关注的热点。尤其是一次函数图像与相关行程问题结合紧密，它要求学生具备较好的提取图表信息能力，分析问题，解决问题的能力及较高的数学素养。说学情作为初三的毕业生，他们基本功基本较扎实。对于一些复杂的问题，还是有很多学生惧怕的。学生比较缺乏分析问题，寻找解决问题关键的能力，也无法熟练应用函数模型，数形结合等重要的数学思想方法来解决此类问题。所以这类函数应用问题还是很值得大家进一步去探究的。说解法第（1）问：分别由B(1.5，0)，C(,),D(4，),即可求出直线BC的函数表达式为y=40t-60;直线CD的函数表达式为y=-20t+80说解法第（2）问：有两种解法解法一：求出各段函数解析式，解不等式。根据CD段求得乙的速度为20km/h.所以A(1，20).因此只要考虑BC段，CD段即可。20<40t-60<30或20<-20t+80<30，解得2<t<2.25或2.5<t<3说解法第（2）问：解法二：利用函数图像解决同样先求出A(1，20)，再求出当y=20,30时对应的t值，再利用函数图像直接写出t的取值范围。GHEF说解法第（3）问：结合第（1）问可得出甲、乙的速度分别是60km/h,20km/h.进而得出行驶的路程s关于时间t的表达式。再利用“两点法”分别画出对应的图像。说解法第（4）问：有两种解法：解法一：（用行程图解决）先由丙乙相遇的时间求出丙的速度：再根据丙甲的行程图列出等量关系：60(t-1)+40t=80,解得t=1.4丙先出发1h甲走过的路程丙在甲出发后走过的相遇点MN说解法第（4）问：解法二：用函数模型解决。丙距M地的距离：说教法第（1）问属于基本功问题，方法要求不高，大多数学生可以得分，学生独立解决。第（2）（3）（4）问解决的关键在于学生能够识图，理清每一段图象的实际意义；拐点以及与坐标轴交点的实际意义。操作1：学生独立思考3-5分钟，并与同伴交流，请学生代表回答。OA：乙先出发1小时，甲还未出发，y就是乙走过的路程。AB:甲出发后开始追乙，两人相距越来越小，即y越来越小,B点表示甲追上乙，此时y=0。BC:甲超过乙继续向N地行进，C表示甲到达N地，而乙还未到达。CD：甲停在N地，乙继续向N地走，两人相距越来越小，直到t=4时，乙也到达N地。设计意图：培养学生识图能力，以及分析问题的能力。说教法设计意图：学生遇到行程问题，最熟悉的就是想到画行程图，培养学生把不擅长的转化为熟悉的问题的能力，以及渗透数形结合的数学思想，也为后面几问做铺垫。操作2：动手画。让学生根据前面的分析画出相应的行程图。乙先出发1h的路程甲出发后，乙被追上时走过的路程MNB(追及点)A说教法设计意图：第二种解法可以让学生感受到函数图象是解决问题很好的工具，进一步感受数形结合的妙处。第（2）问学生比较容易想到第一种方法，但是求直线OA、AB解析式关键在于解决A的坐标，根据对图像OA的分析，求A的坐标只需要知道乙的速度，引导学生思考根据行程图，结合函数图像，就可以由CD段求出乙的速度，进而求出MN之间距离，从而求出甲的速度，问题就迎刃而解了。而第二种方法图像法可能需要教师引导，学生讨论得出。说教法设计意图：既培养学生审题能力，也让学生先行——教师诊断——交流呈现——教师断后这种教学模式在课堂中发挥应有的价值

在甲乙速度知道后第（3）问就很好解决了，学生独立解决。但是很有可能求会出错。忽视甲晚出发1小时；另外，画图时容易忽视自变量t的取值范围，将线段画成直线或者射线。所以针对这些问题，我采取这样的措施：让学生先行，自己独立完成，然后教师诊断，接着学生交流，呈现出错误，最后教师在小结点评时，一定要点出t指的是谁的时间，是以谁为参照物的。说教法设计意图：学生自己动手，亲身体会，运用数形结合的思想方法解决问题。收获经验。在第二种方法的讨论中，感受函数模型的优越性.第（4）问同样学生比较容易想到第一种做法，利用行程图，自己动手画图，列出等量关系，求出t.老师再提出本题是一道一次函数的应用问题，能不能利用函数来解决呢？引导学生思考函数图象交点的意义有哪些？接着学生适当讨论，这时就有学生会提出求丙距离M地的距离关于时间t的解析式，然后求与交点的横坐标即可.说拓展设计意图：进一步巩固求交点坐标的方法，以及交点、拐点的实际意义。拓展一：求图（2）中两函数图象的交点坐标，并说出该点表示的实际意义。说拓展设计意图：本题涉及到参照物的问题，学生很容易出错，设计这样一个变式，可以让学生巩固理解，培养学生解题后反思的习惯，形成一定的解题经验。拓展二：设甲乙的速度不变，甲的行驶时间为t,y是甲乙之间的距离。（1）画出y关于t的函数图像；（2）求出甲乙行驶的路程，关于t的函数解析式。说反思现在一些问题的设计情境来源于生活，学生熟悉，注重考查解决实际生活中问题的能力，体现了数学在生活中的应用。这些题特点就是在题干中有一些刺激性材料（文字或图表）作为命题的情境，既可以激发学生兴趣，又可以考查学生运用知识解决实际问题的能力。在题干下又有若干个任务