高考数学之函数知识点总结

函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点1：映射的概念例1．（1），，；（2），，；（3），，．上述三个对应（2）是到的映射．例2．若，，，则到的映射有81个，到的映射有64个，到的函数有81个例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（）8个12个16个18个考点2：判断两函数是否为同一个函数例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（n∈N*）；（4），；（5），考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1．已知二次函数满足，求.例2．（09湖北改编）已知=，则的解析式可取为题型2：求抽象函数解析式例1．已知函数满足，求考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.（08年湖北）函数的定义域为()A.;B.；C.;D.题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．（2007·湖北）设，则的定义域为（）A.；B.；C.；D.例2．已知函数的定义域为，求的定义域例3．已知的定义域是，求函数的定义域例4．已知的定义域是（-2，0），求的定义域(-3<x<-1)考点5：求函数的值域求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（－48）（9）对勾函数法像y=x+，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了三种模型：（1）如，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x[-1,0)(0,4],求值域（2）如，求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）（3）如，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。4、函数的最大（小）值设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。（二）考点分析考点1函数的单调性题型1：讨论函数的单调性例1．（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2），，令，得或，令，或∴单调增区间为；单调减区间为．例2.判断函数f(x)=在定义域上的单调性.解：函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},则f(x)=,可分解成两个简单函数.f(x)==x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数，∴f(x)=在（-∞,-1］上为减函数.题型2：研究抽象函数的单调性例1．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式．解：（1）令，得，∴，令，得∴，∴，∴是偶函数．（2）设，则∵，∴，∴，即，∴∴在上是增函数．（3），∴，∵是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴，解得：，即不等式的解集为．题型3：函数的单调性的应用例1．若函数在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；例2．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；考点2函数的值域（最值）的求法求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型1：求分式函数的最值例1．（2007上海）已知函数当时，求函数的最小值。[解析]当时，，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。题型2：利用函数的最值求参数的取值范围例2．（2008广东）已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。[解析]在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3，即函数的奇偶性（一）知识梳理1、函数的奇偶性的定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断（2）利用定义的等价形式,，（）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称3．函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数，，。（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．（二）考点分析考点1判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性例1．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）题型2：证明抽象函数的奇偶性例1.(09年山东)定义在区间上的函数f(x)满足：对任意的，都有.求证f(x)为奇函数；[解析]令x=y=0，则f(0)+f(0)=∴f(0)=0令x∈(－1,1)∴－x∈(－1,1)∴f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0∴f(－x)=－f(x)∴f(x)在(－1，1)上为奇函数例2．（1）函数，，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数。（2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。考点2函数奇偶性、单调性的综合应用例1．已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。[解析]是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数，解得实数的取值范围是例2．设函数对于任意的，都有，且时,（1）求证是奇函数；（2）试问当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。例3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.[解析]设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数y=()的单调减区间是结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3).函数的周期性（一）知识梳理1．函数的周期性的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。2．周期性的性质（1）若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；（2）若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；（3）如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；（4）①若f(x+a)=f(x+b)则T=|b-a|；②函数满足，则是周期为2的周期函数；③若恒成立，则；④若恒成立，则.（二）考点分析考点2函数的周期性例1．设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值考点2函数奇偶性、周期性的综合应用例1.（09年江苏题改编）定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则1________。[解析]由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得又由是上的偶函数得又在已知等式中令得，即所以例2．已知函数的定义域为，且满足（1）求证：是周期函数；（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数。2.5二次函数（一）知识梳理1．二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，；（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时，。3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)。4．根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(a>0)，(1)x1<α,x2<α,则;(2)x1>α,x2>α,则(3)α<x1<,α<x2<,则(4)x1<α,x2>(α<),则(5）若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，则有5最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响6二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是（二）考点分析考点1．求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。法一：利用一般式设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得：∴f(x)=-4x2+4x+7法二：利用顶点式∵f(2)=f(-1)∴对称轴又最大值是8∴可设，由f(2)=-1可得a=-4法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a=-4或a=0(舍)∴f(x)=-4x2+4x+7例2．已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式．解：∵二次函数的对称轴为，设所求函数为，又∵截轴上的弦长为，∴过点，又过点，∴，，∴考点2．二次函数在区间上的最值问题例1．已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x属于[0,1]时有最大值2，求a的值。思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解：f(x)=-(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),对称轴x=a10a<0时，200≤a≤1时30a>1时，综上所述：a=-1或a=2例2．已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。答案：例3．已知函数的最大值为，求的值．分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题．解：令，，∴，对称轴为，（1）当，即时，，得或（舍去）．（2）当，即时，函数在单调递增，由，得．（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）．综上可得：的值为或．考点3．一元二次方程根的分布及取值范围例1．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图（2）练习：方程在（-1，1）上有实根，求k的取值范围。宜采用函数思想，求的值域。【反思归纳】根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例2．已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得．解法二：由题知或，得．指数与指数函数（一）知识梳理1．指数运算；；；；；2.指数函数：（），定义域R，值域为（）.⑴①当，指数函数：在定义域上为增函数；②当，指数函数：在定义域上为减函数.⑵当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.（二）考点分析例1．已知下列不等式，比较，的大小：（1）(2)变式1：设，那么（）A.a＜a＜bB.a＜b＜aC.a＜a＜bD.a＜b＜a例2．函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为（）A．B.2C.4D.例3．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．对数与对数函数（一）知识梳理1．对数运算：；；；；；；2．对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.（二）考点分析例1．已知函数，，且求函数定义域判断函数的奇偶性，并说明理由.例2．已知是上的减函数，那么的取值范围是A. B. C. D.例3．若，且，求实数的取值范围.变式1：若，则的取值范围是（） A． B． C． D．幂函数（一）知识梳理1、幂函数的概念一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数2、幂函数的图像及性质定义域RRR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点，；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。（二）考点分析考点1：利用幂函数的单调性比较大小例1．已知，试比较的大小；例2．已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．函数图象（一）知识梳理1．函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(xh)；Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)h。②对称变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。y=f(x)x=f(y)Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x)y=f(2ax)。③翻折变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；y=f(x)y=af(x)Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。(x)y=f(x)y=f()（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面（二）考点分析例1．（08江苏理14）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为4__【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0即时，≥0可化为，设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；当x＜0即时，≥0可化为，在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4【答案】4点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；例2．（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 （）A.在时刻，甲车在乙车前面B.时刻后，甲车在乙车后面C.在时刻，两车的位置相同D.时刻后，乙车在甲车前面答案A解析由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.（2）1xy1OAxy1xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DO答案A解析函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.例3．已知函数满足，且当时，，则与的图象的交点个数为（）A、2B、3C、4D、5yxO1-115解析：由yxO1-115当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，log5x>1,与的图象不再有交点，故选C[巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)=-f(x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,则f()=.题型3：函数的图象变换例5．（2008全国文，21）设，函数．（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．解：（Ⅰ）．因为是函数的极值点，所以，即，因此．经验证，当时，是函数的极值点． 4分（Ⅱ）由题设，．当在区间上的最大值为时，，即．故得． 9分反之，当时，对任意，，而，故在区间上的最大值为．综上，的取值范围为． 12分例6．（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有