2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

10102007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II卷3至4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷注意事项:.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目..每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效..本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.参考公式：如果事件AB互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4nR2如果事件A,B相互独立，那么 其中表示球的半径P(A.B)=P(A)・P⑻ 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么V=-nR3次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径P(k)=Ckpk(1-p)n—k(k=0,1,2, ,n)nn一、选择题(1)是第四象限角,tana=-"，则sina=(A.11B.-A.11B.-C.55

D.—13 13 a1+i-、⑵设是实数,且不+-是实数,则(A.1B.C.3D.22(3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5)，则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向(4)已知双曲线的离心率为,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )x2y2x2y2x2y2x2y2A.————1B.————1C.————1D.————1412 12 4 10 6 6 10

(5)设a,beR，集合{1,a+b,a}={o,2,b1,则b-a=( )A.B.C.D.2 \x+y—1<0,⑹下面给出的四个点中,到直线X-y+1=0的距离为F,且位于1x-y+->0表示的平面区域内的点是(A.(11)B.(-11)C.(-1,-1)D.(「1)(7)如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB,则异面直线A1B与AR所成角的余弦值为()(8)设a>1,函数f(x)(8)设a>1,函数f(x)=logx在区间[a，2a]a1上的最大值与最小值之差为3，则()A.B.C,2<2d.f(x),g(x)是定义在上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件( 1V x2--的展开式中，常数项为,则( )I x)A.B.C.D.(11)抛物线y2=4x的焦点为,准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,AK±l，垂足为，则△AKF的面积是()A.B.3d3c.4y3d.x(12)A.函数f(x)=cos2x-2cos2-的一个单调增区间是(12)A.(一兀、c.0，wd.k3)注意事项:.答题前,考生先在答题卡上用直径0。5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号

填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．.第H卷共2页，请用直径0。5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效．.本卷共10题，共90分.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上.(13)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.(用数字作答)(14)函数y=f(x)的图像与函数y=logx(x>0)的图像关于直线j=x对称,则3f(x)=.(15)等比数列｛〃｝的前项和为，已知，2S，成等差数列，则｛〃｝的公比为.n 2n(16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为．三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)设锐角三角形ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c,a=2bsinA.(I)求的大小；(H)求cosA+sinC的取值范围.(18)(本小题满分12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为1 2 3 4 50。4 0.2 0.2 0。1 0。1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元;分2期或3期付款，其利润为250元;分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.(I)求事件：“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率尸(A)；(H)求的分布列及期望.(19)(本小题满分12分)四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC1底面ABCD.已知SCANABC=45。,AB=2,BC=20SA=SB=耳SCA(I)证明SA±BC；(H)求直线与平面SAB所成角的大小.(20)(本小题满分12分)设函数f(x)=ex-e-x.(I)证明:f(x)的导数f(x)三2；(II)若对所有X三0都有f(x)三ax，求的取值范围.(21)(本小题满分12分)x2y2已知椭圆彳十三二1的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于B,D两点，过的直线交椭圆于AC两点，且AC±BD,垂足为.(I)设点的坐标为(x，y),证明:x2+yt<1；00 32(II)求四边形ABCD的面积的最小值.(22)(本小题满分12分)已知数列｛〃｝中a=2,a=(J2-1)(a+2)，n=1,2,3,.n 1 n+1 n(I)求｛a｝的通项公式；n(I)若数列%｝中b=2,b=n+:，n=1,2,3,,n1 n+12b+3n证明：J2<bWa,n=1,2,3,.n 4n-32007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(必修+选修I)参考答案、选择题：

(5)C(6)CD(11)C(12)A(13)(14)3x(x(5)C(6)CD(11)C(12)A(13)(14)3x(xgR)(15)3(16)2v-13三、解答题：(17)解:(I)由a-2bsinA，根据正弦定理得sinA-2sinBsinA,所以sinB-1,"一 兀由△ABC为锐角三角形得B--.( ( 兀八sin兀—z—AV 6J(II)cosA+sinC-cosA+(兀\-cosA+sin—+AV6J-cosA+1cosA+且sinA2 2由^ABC为锐角三角形知,兀一B一兀—1一，兀、所以5smA+-<2V3J.仁兀、smA+-<V3J所以,cosA+sinC的取值范围为|g,3(18)解:(I)由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”P(A)=(1—0.4)2-0.216,P(A)-1-P(A)-1-0.216-0.784.

(II)的可能取值为200元，250元，300元.P(n二200)=P(m二1)=0.4,P(n二250)二P6二2)+P(m=3)=0.2+0.2=0.4,p(n二300)=1-p(n=200)—p(n=250)=1-0.4—0.4=0.2.的分布列为2=、2=、.5.又NABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO±OB.CBDSA=60,-1),如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系OCBDSA=60,-1),AQ2,0,0),B(0,2,0),C(0,—\；2,0),S(0,0,1)(II)取AB中点,ECB=(0,2<2,0),SACb=(II)取AB中点,E连结，取中点，连结OG,GSEJ—，变,1SE.OG=0,AB.OG=0,OG与平面SAB内两条相交直线,AB垂直.所以OG1平面SAB,OG与DS的夹角记为，与平面SAB所成的角记为，则与互余.D(<2,2<2,0),DS=(-02\@1).cosa=两Dcosa=两D=堂OG・DSsinP二22211，(当且仅当x(当且仅当x=0时，等号成立).22所以，直线与平面SAB所成的角为arcsin号.(20)解:(I)f(x)的导数f(x)=ex+e-x.由于ex+e-x三2eex・e-x=2，故f(x)三2.(I)令g(x)=f(x)-ax，则g'(x)=f'(x)-a=ex+e-x-a,(i)若a&2，当x>0时，gf(x)=ex+e-x-a>2-a三0,故g(x)在(0,+8)上为增函数,所以，x三0时，g(x)三g(0)，即f(x)三ax.

a+aa2-4(ii)若a>2，方程g'(x)=0a+aa2-4(ii)若a>2，方程g'(x)=0的正根为x=ln——-——12此时，若x£(0，x),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.1所以，x£(0x1)时，g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax，与题设f(x)三ax相矛盾.综上，满足条件的的取值范围是(-8,2].(21)证明：(I)椭圆的半焦距c="万一2=1，由AC±BD知点在以线段FF为直径的圆上，故x2+12y02=1,x2 y2 x2 y2 1所以,才+甘<宝+4=2<1.(II)(i)当BD的斜率存在且k中0时，BD的方程为y=k(x+1)，代入椭圆方程x2 y2—+—=1，并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2一6=0.32设B(x1,甲，D(x2,y2)，则6k23k2—6x+x=- ，xx= 1 2 3k2+2 12 3k2+2|BD|=Ji+k2|=q(1+k2)・[(x+x)2-4xx12」_4<3(k2+1)3k2+2 ;因为AC与BC相交于点，且AC的斜率为-1，l，14& +1所以，|AC|=—f-3x上+2k2四边形ABCD的面积c四边形ABCD的面积c1 24(k2+1)2S=BDACC\= 三2 (3k2+2)(2k2+3)24(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)962=25.当k2=1时，上式取等(ii)当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为96.(22)解:(I)由题设：a=«'2-1)(a+2)n+1 n=(v;2-1)(a-、②+«,2-1)(2+、②n=(v2-1)(a-%,2)+、”na-、2=(<2-1)(a-22).n+1 n所以，数列-”｝是首项为2-Q,公比为、立-1的等比数列,na-2/2=<12(<2-1)n,n即的通项公式为an=21[G/2-1)n+1],n=1,2,3,(II)用数学归纳法证明.(i)当n=1时，因J2<2,4=a1=2,所以<2<bWa，结论成立.TOC\o"1-5"\h\z1 1(ii)假设当n=k时，结论成立，即$2<bWa,k 4k-3也即0<b-；2Wa-<3.k 4k-3当n=k+1时，b-22=3bW-垃k+1 2b+3k(3-2内b+(4-3<2)= k 2b+3kTOC\o"1-5"\h\z(3-2x/2)(b I)= k >0,2b+3k1 一又 <r—=3-2V2,bk+3 22+3(3-2<2)(b-72)所以b -收=-——"八kJk+1 2b+3k<(3-2<2)2(b_、②