辽宁省本溪市工学院附属中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

辽宁省本溪市工学院附属中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l1：,l2：,若,则a的值为A．0或2 B．0或一2 C．2 D．-2参考答案：B略2.2．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B3.双曲线与抛物线相交于A,B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：4.在的展开式中，含项的系数为（

）A．6

B．－6

C．24

D．－24参考答案：B的展开式的通项为．的展开式的通项为=．由6﹣r﹣2s=5，得r+2s=1，∵r，s∈N，∴r=1，s=0．∴在的展开式中，含x5项的系数为．故选：B．

5.某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是:抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是（

）A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率参考答案：A6.已知抛物线上的点M到其准线的距离为5，直线l交抛物线于A，B两点，且AB的中点为，则M到直线l的距离为（

）A．或

B．或

C．或

D．或参考答案：B根据题意设A，由点差得到故直线l可以写成点到其准线的距离为，可得到M的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4，由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为或.故答案为：B.

7.已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．【解答】解：因为函数为奇函数，所以在[0，6]上必有f（0）=0．当时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．因为函数是周期为3的奇函数，所以f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（）=f（）=﹣f（），所以f（）=0，即f（）=f（）=f（）=0，此时有两个零点，．所以共有9个零点．故选D．8.已知，则（

）A.－4

B.4

C.

D.参考答案：C因为，所以，所以，故选C.

9.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知集合则为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）（2015?浙江模拟）如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已AC=3，BC=4，AB=5，过圆心O的直线l交圆O于P、Q两点，则?的取值范围是．参考答案：[﹣7，1]【考点】：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用；直线与圆．【分析】：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得，=r（3+4+5），解得r=1，则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圆O：x2+y2=1，当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k＜0），代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1，+1），则有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）=﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，则有﹣3＜﹣3+≤1．同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，可得﹣7≤﹣3+＜﹣3．．综上可得，?的取值范围是[﹣7，1]．故答案为：[﹣7，1]．【点评】：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量的坐标运算，同时考查直线和圆联立求交点，考查不等式的性质，属于中档题．12.若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于

．参考答案：1【考点】指数函数单调性的应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．13.设a，b，c，d都是正数，且．求证：．参考答案：证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，又a，b，c，d都是正数，∴?≥ac+bd＞0，①同理?≥ad+bc＞0，∴xy≥．14.已知幂函数f（x）=（t3﹣t+1）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，则t的值为

．参考答案：1或﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义先求出t的值，然后结合幂函数的单调性和奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）是幂函数，∴t3﹣t+1=1，即t3﹣t=0，则t（t2﹣1）=0，则t=0或t=1或t=﹣1，当t=0时，f（x）=x7为奇函数，不满足条件．当t=1时，f（x）=x2是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足条件．当t=﹣1时，f（x）=x8是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足条件．故t=1或t=﹣1故答案为：1或﹣1【点评】本题主要考查幂函数的性质，利用幂函数的定义求出t的值是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．15.如图，PC、DA为的切线，A、C为切点，AB为⊙O的直径，若D，则AB=

。参考答案：略16.（5分）（2015?钦州模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，若bcosC+（2a+c）cosB=0，则内角B的大小为．参考答案：【考点】：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】：运用正弦定理，将边化为角，由两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，结合特殊角的三角函数值，即可得到B．解：由正弦定理，bcosC+（2a+c）cosB=0，即为sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，即（sinBcosC+sinCcosB）=﹣2sinAcosB，即sin（B+C）=﹣2sinAcosB，即有sinA=﹣2sinAcosB，则cosB=﹣，由于0＜B＜π，则B=，故答案为：．【点评】：本题考查正弦定理及运用，考查两角和的正弦公式和诱导公式，考查特殊角的三角函数值，考查运算能力，属于基础题．17.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 。

参考答案：【知识点】古典概型及其概率计算公式由题意可得所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，∴他们选择相同颜色运动服的概率为P==，故答案为：【思路点拨】由分步计数原理可得总的方法种数为9，而选择相同颜色运动服的方法共3种，由概率公式可得．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．（I）求数列,的通项公式；（II）设，求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）由题意，，得．

…………3分

，，，两式相减，得数列为等比数列，．

…………7分（Ⅱ）．当为偶数时，

=．

……………10分当为奇数时，（法一）为偶数，

……………13分（法二）

．

……………13分

……………14分19.（本小题满分12分）已知函数有极大值18

(Ⅰ)

求的值；

（Ⅱ）若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点，试求的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)∵，又函数有极大值

∴令，得或

∴在上递增，在上递减∴，得

………………4分

（Ⅱ）设切点，则切线斜率

所以切线方程为将原点坐标代入得，所以切线方程为由得设，则

………………8分

令，得所以在上递增，在上递减若，则，得

……12分略20.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知：是以为直径的半圆上一点，⊥于点，直线与过点的切线相交于点[来，为中点，连接交于点，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．参考答案：见解析考点：几何选讲（Ⅰ）证明：因为AB是直径，

所以∠ACB＝90°

又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB

因此∠BCF=∠CAB

（Ⅱ）解：直线CF交直线AB于点G，

由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2

……①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2

……②

由①、②得：FG2-2FG-3=0

解之得：FG1＝3，FG2＝－1（舍去）

所以AB＝BG＝

所以⊙O半径为．

21.某人欲投资A，B两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测，A，B两支股票可能的最大盈利率分别为40%和80%，可能的最大亏损率分别为10%和30%．若投资金额不超过15万元．根据投资意向，A股的投资额不大于B股投资额的3倍，且确保可能的资金亏损不超过2.7万元，设该人分别用x万元，y万元投资A，B两支股票．（Ⅰ）用x，y列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该人对A，B两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润．参考答案：【考点】简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据条件建立约束条件，画出约束条件的可行域如图，（Ⅱ）利用数形结合，结合线性规划的应用即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，约束条件为，画出约束条件的可行域如图：（Ⅱ）设利润为z，则z=0.4x+0.8y，即y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得x=9，y=6，此时Z=0.4×9+0.8×6=8.4，故对A股票投资9万元，B股票投资6万元，才能使可能的盈利最大．盈利的最大值为8.4万元2