江苏省常州市金坛岸头中学2022年高三数学理模拟试题含解析

江苏省常州市金坛岸头中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在二项式n的展开式中，各项系数之和为4，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为A．6

B．9

C．12

D．18参考答案：B2.已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.若，，均为单位向量，且?=﹣，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．2 B． C． D．1参考答案：A【考点】平面向量的综合题；平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题设知==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，由此能求出x+y的最大值．【解答】解：∵，，均为单位向量，且?=﹣，=x+y（x，y∈R），∴==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1=0，∴3x2﹣3tx+t2﹣1=0，∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，∴△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，﹣3t2+12≥0，∴﹣2≤t≤2∴x+y的最大值为2．故选A．4.已知等差数列的前n项和为等于

（

）

A．144

B．72

C．54

D．36参考答案：B略5.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（

）A.6种 B.12种 C.18种 D.24种参考答案：A6.函数的定义域是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D7.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥S﹣ABCD，如图所示，则其体积为：VS﹣ABCD===．故选：B．8.平面向量满足，，，，则的最小值为（）A.

B.

C.

1

D.2参考答案：【答案解析】B解析：设，则有x=1,m=2,,得，所以，所以选B.【思路点拨】在向量的计算中，若直接计算不方便，可考虑建立坐标系，把向量坐标化，利用向量的坐标运算进行解答.9.若为内一点，且，在内随机撒一颗豆子，则此豆子落在内的概率为(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：A10.设集合U=R，集合M={x|x>0},N={x|x2≥x}，则下列关系中正确的是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是

．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】令g（x）=ax3﹣lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．【解答】解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．令g（x）=ax3﹣lnx，①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣1，此时g（x）∈，，∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为≥1，解得：．∴实数a取值范围是【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．12.若直线是曲线的切线，则实数的值为

.

参考答案：设切点为，由得，故切线方程为，整理得，与比较得，解得，故13.(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆的直径AB=6，为圆周上一点，．过作圆的切线，过A作的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=

．参考答案：答案：30解析：由RtACB的各边的长度关系知∠CAB=30,而弦切角

=∠CAB=30。那么在RtADC中∠ACD=60，故∠DAC=30。

14.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程=x确定出来x=2，类似地不难得到=．参考答案：【考点】类比推理．【分析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．【解答】解：可以令1+=t（t＞0），由1+=t解的其值为，故答案为．15.若变量x，y满足约束条件则的最大值是

．参考答案：11变量，满足约束条件在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．

16.已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于

。参考答案：答案：

17.不等式的解集为_______________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在三棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA⊥平面ABC．（1）证明：BC⊥PB；（2）若D为AC的中点，且PA=2AB=4，求点D到平面PBC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（1）推导出BC⊥AB，BC⊥PA，由此能证明BC⊥PB．（2）以A为原点，过A作BC的平行线为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面PBC的距离．【解答】证明：（1）∵底面ABC为直角三角形，AB=BC，∴BC⊥AB，∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，∵AB∩PA=A，∴BC⊥PB．解：（2）以A为原点，过A作BC的平行线为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，4），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，1，0），=（1，﹣1，0），=（0，﹣2，4），=（2，0，0），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，1），∴点D到平面PBC的距离d===．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.（本题满分18分）已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间（不必证明）；（2）当时，求函数在区间上的最小值；（3）设，函数在区间上既有最小值又有最大值，请分别求出、的取值范围（用表示）．参考答案：（1）当时，

，…………（2分）所以，函数的单调递增区间是和．…………（4分）（2）因为，时，．…………（1分）当，即时，．…………（3分）当，即时，．…………（5分）所以，

．…………（6分）（3）．…………（1分）①当时，函数的图像如图所示，由解得，……（1分）所以，．……（4分）②当时，函数的图像如图所示，由解得，……（5分）所以，，．……（8分）20.设函数

（I）求的值域；

（II）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求a的值。参考答案：略21.已知向量，，，且A为锐角。

(1)求角A的大小；

(2)求函数的值域。参考答案：解:(Ⅰ)由题意得由A为锐角得,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以

因为,所以,因此,当时,有最大值,当时,有最小值-3,所以所求函数的值域是略22.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，90°,,是的中点.

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小.参考答案：解法一：

（Ⅰ）取的中点，连，则∥，

∴或其补角是异面直线与所成的角.……2分

设，则，

.

∴.………………4分

∵在中，.……5分

∴异面直线与所成的角为.……………6分

（Ⅱ）连结，设是的中点，过点作于，连结，则

.又∵平面平面

∴平面.………8分

而

∴

∴是二面角的平面角.…………………9分

由=，=，，得.……………10分

即二面角为

∴所求二面角为.………………12分解法二：（Ⅰ）如图分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.……………………1分