2023年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷含解析

2023年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算5+(−3)的结果是(

)A.−3 B.−2 C.2 D.52.下列图形中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.据国家统计局数据，2022年中国国内生产总值约1210000亿元.将1210000用科学记数法表示为(

)A.0.121×107 B.1.21×107 C.4.下列图形中，能围成正方体的是(

)A. B. C. D.5.若菱形ABCD的对角线AC=6，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为(

)A.63 B.123 C.6.用配方法解一元二次方程2x2+4x−5=0时，将它化为(x+a)2=bA.8 B.92 C.72 7.如图，直线AD//BE，AC=BC.若∠DAC=2∠BAC，∠ABC=∠CBE，则∠C的度数是(

)A.108°

B.110°

C.112°

D.114°8.如图，直线y=kx+b经过点(−1,2)，则关于x的不等式(k+2)x+b>0的解集是(

)A.x<2

B.x>2

C.x<−1

D.x>−19.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，动点E从点B出发，沿折线BCD运动到点D停止，过点E作EF⊥BE交AD于点F，设点E的运动路程为x cm，DF=y cm，则y与x对应关系的图象大致是(

)

A. B.

C. D.10.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−3,y1)和(5,y2)，顶点坐标为A.m<−3 B.m<1 C.m>1 D.m>5二、填空题（本大题共8小题，共30分）11.代数式x−1在实数范围内有意义的条件是______．12.分解因式：3a2−12b213.中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程______．14.如图，无人机A的探测器显示，从无人机看树顶B的仰角为30°，看树底部C的俯角为60°，无人机与树的水平距离为6m，则树高BC为______m(结果保留根号)．

15.若关于x的不等式x+t≥2x−3恰有3个正整数解，则t的取值范围是______．16.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加______m.

17.如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠ACD=90°，点E在边AD上，连接BE交AC于F，取CE的中点G.若AF=EF=BF，CD=3，AD=5，则FG的最小值为______．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(m,n)，B(m+4,n−2)是函数y=kx(k>0,x>0)图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线OA交于点C.若BC=8，则k的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题12.0分)

(1)求值：x2(x−1)−x(x2+x−1)，其中x=12；20.(本小题10.0分)

不透明的袋子中装有3个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3．

(1)从袋子中随机摸出一个球，标号是奇数的概率是______；

(2)从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球.求两次摸到球的标号的积为偶数的概率．21.(本小题10.0分)

2023年3月，在北京顺利召开了第十四届全国人民代表大会和中国人民政治协商会议.某校组织全体学生开展了“学习两会精神，争做好少年”的主题阅读活动，为了解同学们的阅读篇数情况，七、八年级分别随机抽查了50名学生，根据抽查结果绘制了如下的统计图表：七、八两个年级的统计表平均数众数中位数七年级5.3665八年级5.5655.5(1)若该校七年级共有2000名学生，估计该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于6篇的学生约为______名；

(2)请判断该校七、八年级中，哪个年级学生参加本次主题阅读活动情况较好，并说明理由．22.(本小题10.0分)

【阅读材料】老师的问题：

已知：如图，直线l1//l2，点A在上l1，点B在上l2．

求作：菱形AEBF，使点E，F分别在

l小明的作法：

(1)分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧和较于P，Q两点；

(2)作直线PQ，分别交l1，l2于E，F；

(3)连接AF，BE．

四边形【解答问题】

请你判断小明的作法是否正确，并说明理由．23.(本小题10.0分)

如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=30°．

(1)求∠P的度数；

(2)若AC=6，计算图中阴影部分的面积．24.(本小题12.0分)

甲，乙两人沿同一条笔直的公路由A地匀速驶往B地，先到者原地休息，乙的速度是甲的速度的4倍.甲8：00出发，乙9：30出发，两人之间的距离y(km)与甲所用的时间x(ℎ)之间的函数关系如图所示．

(1)甲的速度为______km/ℎ；a的值为______ℎ；A，B两地之间的距离为______km；

(2)当甲，乙两人之间的距离为20km时，求甲所用的时间．25.(本小题13.0分)

正方形ABCD中，AB=2，点E是对角线BD上的一动点，∠DAE=α(α≠45°).将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线BF交射线DC于点G．

(1)当0°<α<45°时，求∠DBG的度数(用含α的式子表示)；

(2)点E在运动过程中，试探究DGDE的值是否发生变化？若不变，求出它的值.若变化，请说明理由；

(3)若BF=FG，求α的值．

26.(本小题13.0分)

定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)与某函数图象上的一点Q(x2,y2)，若y1−y2=x2−x1，则称点Q为点P在该函数图象上的“直差点”．

(1)已知点P(2,0)，求点P在函数y=2x+2图象上“直差点”的坐标；答案和解析1.【答案】C

解：5+(−3)

=5−3

=2，

故选：C．

运用有理数加法的计算方法进行求解．

此题考查了有理数加法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．

2.【答案】B

解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故选：B．

根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【答案】D

解：1210000=1.21×106．

故选：D．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n4.【答案】B

解：由题意知，图形可以折叠成正方体，

故选：B．

根据正方体的展开图得出结论即可．

本题主要考查正方体的展开图熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．

5.【答案】C

解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∠ABC=60°，

∴BO=OD，AO=CO=12AC=3，∠OBC=12∠ABC=30°，

∴OB=COtan∠OBC=333=33，

∴BD=63，

∴菱形ABCD的面积6.【答案】B

解：2x2+4x−5=0，

2x2+4x=5，

x2+2x=52，

x2+2x+1=72，

(x+1)2=72，

所以a=1，b=72，

所以a+b=97.【答案】A

解：∵AD//BE，

∴∠DAB+∠ABE=180°，

∵∠DAC=2∠BAC，∠ABC=∠CBE，

∴3∠BAC+2∠ABC=180°，

∵AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC，

∴5∠ABC=180°，

∴∠ABC=36°，

∴∠C=180°−∠ABC−∠BAC=180°−2×36°=108°，

故选：A．

根据平行线的性质得出∠DAB+∠ABE=180°，即3∠BAC+2∠ABC=180°，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠BAC，即可求得∠ABC=∠BAC=36°，利用三角形内角和定理即可求得∠C．

本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．

8.【答案】D

解：如图所示：可得直线y1=−2x经过(−1,2)，

∵不等式(k+2)x+b>0可变形为：kx+b>−2x，

由图象可得：kx+b>−2x的解集是：x>−1，

∴不等式(k+2)x+b>0的解集是x>−1．

故选：D．

由题意可得，直线y1=−2x与直线y2=kx+b相交于点A(−1,2)，观察直线y2=kx+b落在直线y1=−2x的上方的部分对应的x的取值即为所求．

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x9.【答案】A

解：①当点E在BC上运动时，

y=DF=CE=BC−BE=4−x，

即：y=4−x(0≤x≤4)，为一次函数；

②当点E在CD上运动时，如图，

则CE=x−4，DE=6−(x−4)=10−x，DF=y，

∵∠D=∠C=∠BEF=90°，

∴∠FED+∠EFD=90°，∠BEC+∠EBC=90°，

∴∠FED=∠EBC，

∴△BEC∽△EFD，

∴DFCE=DEBC，

∴yx−4=10−x4，

∴y=14(10−x)(x−4)=−14(x10.【答案】C

解：∵抛物线顶点坐标为(m,n)，

∴抛物线对称轴为x=m，

∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−3,y1)和(5,y2)，y1>y2>n，

∴−3+511.【答案】x≥1

解：要使二次根式x−1有意义，必须x−1≥0，

解得：x≥1．

故答案为：x≥1．

根据二次根式有意义的条件得出x−1≥0，再求出答案即可．

本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记a中a≥012.【答案】3(a+2b)(a−2b)

解：3a2−12b2=3(a2−4b2)

=3(a+2b)(a−2b)13.【答案】3(x−2)=2x+9

解：设有x辆车，则可列方程：

3(x−2)=2x+9．

故答案是：3(x−2)=2x+9．

根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

14.【答案】(6+2解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=6m，

∴BD=AD⋅tan30°=6×33=23(m)，

在Rt△ADC中，∠DAC=45°，

∴CD=AD⋅tan45°=6(m)，

∴BC=BD+CD=(6+23)m，

∴树高BC为(6+23)m，

故答案为：(6+23).

过点15.【答案】0≤t<1

解：∵x+t≥2x−3，

∴x≤t+3，

∵关于x的不等式x+t≥2x−3恰有3个正整数解，

∴3≤t+3<4，

解得：0≤t<1．

故答案为：0≤t<1．

根据已知不等式恰有3个正整数解，确定出t的范围即可．

此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．

16.【答案】(2解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标(−2,0)，

到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=−1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−1与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y=−1代入抛物线解析式得出：

−1=−0.5x2+2，

解得：x=±6，

所以水面宽度增加到26米，比原先的宽度当然是增加了217.【答案】85解：∵∠ACD=90°，CD=3，AD=5，

∴AC=AD2−CD2=52−32=4，

如图，过点C作CH⊥AD于H，

则∠AHC=∠ACD=90°，∠CAD+∠ACH=90°，

∵∠CAD+∠ADC=90°，

∴∠ACH=∠ADC，

∴△ACH∽△ACD，

∴ACAD=AHAC，

∴AC²=AH⋅AD，

∴AH=AC2AD=425=165，

∵AF=EF=BF，

∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠FEA，

∵∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠FEA=180°，

∴∠BAF+∠FAE=90°，

∴∠BAD=90°，

又∵G是CE的中点，

∴FG=12BC，

当CB⊥AB时，BC长度最小，FG最小，

此时四边形ABCH是矩形，

∴BC=AH=165，

∴FG的最小值85，

18.【答案】6

解：如图，作AD⊥x轴于点D，设直线CB与x轴交于点E，

∵点A(m,n)，B(m+4,n−2)，BC=8，

∴点D(m,0)，E(m+4,0)，CE=n+6，

∵AD//CE，

∴ADCE=ODOE，

∴nn+6=mm+4，

∴n=32m，

∴点A(m,32m)，B(m+4,32m−2)，

∵点A，B是函数y=kx(k>0,x>0)图象上的两点，

∴k=m⋅32m=(m+4)⋅(32m−2)，

解得m=2，

∴k=m⋅32m=6，

故答案为：6．19.【答案】解：(1)x2(x−1)−x(x2+x−1)

=x3−x2−x3−x2+x

=−2x2+x，

当x=12时，

原式=−2×(12)2+12

=−2×1【解析】(1)先去括号，再合并同类项，最后把相应的值代入运算即可；

(2)利用解分式方程的方法进行求解即可．

本题主要考查解分式方程，整式的混合运算，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．

20.【答案】23解：(1)从袋子中随机摸出一个球，标号是奇数的概率是23，

故答案为：23；

(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次摸到球的标号的积为偶数的结果有5种，

∴两次摸到球的标号的积为偶数的概率为59．

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸到球的标号的积为偶数的结果有5种，再由概率公式求解即可．

本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=21.【答案】960

解：(1)2000×(40%+8%)

=2000×48%

=960(名)，

即估计该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于6篇的学生约为960名，

故答案为：960；

(2)八年级学生参加本次主题阅读活动情况较好，

理由：由统计表可知，八年级的平均数和中位数都高于七年级，故八年级学生参加本次主题阅读活动情况较好．

(1)根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于6篇的学生人数；

(2)根据统计表中的数据，可以写出哪个年级学生参加本次主题阅读活动情况较好．

本题考查众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22.【答案】解：小明的作法正确，理由如下：

由作法得PQ垂直平分AB，

∴EB=EA，FB=FA，∠AEF=∠BEF，

∵l1//l2，

∴∠AEF=∠BFE，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∴EA=EB=AF=BF，

【解析】先利用基本作图得PQ垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到EB=EA，FB=FA，∠AEF=∠BEF，再根据平行线的性质得到∠AEF=∠BFE，进而得到∠BEF=∠BFE，得到BE=BF，所以EA=EB=AF=BF，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AECF为菱形．

本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定．

23.【答案】解：(1)连接OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB

∵∠BAO=30°，

∴∠PAB=90°−30°=60°，

∴△PAB是等边三角形，

∴∠APB=60°；

(2)连接OP，

∵OP=OP，OA=OB，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，

∴△AOP的面积=△BOP的面积，∠OPA=∠OPB=30°，

∴∠AOP=∠BOP=60°，

∴∠AOB=120°，

∵AC=6，

∴OA=12AC=3，

∴AP=3OA=33，

∴△AOP的面积=12AO⋅AP=12×3×33=9【解析】(1)连接OB，由切线的性质得到∠OAP=90°，由切线长定理推出PA=PB，求出∠PAB=60°，推出△PAB是等边三角形，得到∠APB的度数；

(2)由HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP得到△AOP的面积=△BOP的面积，求出AP的长，即可求出△AOP的面积，求出扇形AOB的面积，即可求出阴影的面积．

本题考查切线的性质，扇形面积、三角形面积的计算，关键是求出扇形OAB的面积，△AOP的面积．

24.【答案】10

2

60

解：由图象知，甲的速度为151.5=10(千米、小时)，

∵乙的速度是甲的速度的4倍，

∴乙的速度是40千米/小时，

由题意得10a=40(a−1.5)，

解得a=2；

由图象知，甲6小时走完全程，

∴A，B两地之间的距离为10×6=60(千米)．

故答案为：10，2，60；

(2)①甲、乙两人相遇前距离为20km时，

根据题意得：10x−40(x−1.5)=20，

解得x=43(舍去)；

②甲、乙两人相遇后距离为20km时，

根据题意得：40(x−2)−10(x−2)=20，

解得x=83；

③当乙到达B地，两人相距20km时，即甲距离B地20km，

此时甲所用时间为：60−2010=4(ℎ)．

综上所述，当甲，乙两人之间的距离为20km时，甲所用的时间为83ℎ或4ℎ．

(1)根据图象可以求出甲的速度，再得出乙的速度，然后根据甲乙相遇时所走路程相同列出方程，解方程求出a的值；根据甲的速度和甲走完全程所用时间求出A、B之间的距离；

25.【答案】解：(1)如图1中，设AF交BD于点O．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

由翻折变换的性质可知，∠ADE=∠AFE=45°，∠DAE=∠EAF，

∴∠ABE=∠AFE=45°，

∵∠AOB=∠EOF，

∴△AOB∽△EOF，

∴AOEO=BOFO，

∴AOBO=EOFO，

∵∠AOE=∠BOF，

∴△AOE∽△BOF，

∴∠DBG=∠EAF=∠DAE=α；

(2)DGDE=2，是定值．

理由：如图2中，连接EG，EC．

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠ADE=∠CDE=45°，

∵DE=DE，

∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴∠DAE=∠DCE，

∵∠EBG=∠DAE，

∴∠EBG=∠ECG，

同法可证，∠CEG=∠CBG，

∵∠CBG+∠CGB=90°，∠CGB=∠BEC，

∴∠CEG+∠BEC=90°，

∴∠BEG=∠D