2023年湖南省泸溪县九年级下学期竞赛数学试题解析版

九年级数学竞赛试题姓名__________班级________（时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每题只有一个正确答案，共6题。每小题5分，共30分）1、设a=，b=，c=，则a，b，c之间的大小关系是（）A、a<b<cB、c<b<aC、c<a<bD、a<c<b2、已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2—（c2—a2—b2）x+b2=0，则方程根的情况是（）。A、有两相等实根B、有两相异实根C、无实根D、不能确定3、已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（）。A、第一、二象限B、第二、三象限C、第三、四象限D、第一、四象限4、函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2—a2等代数式的值中，正数有（）A、2个B、3个C、4个D、5个5、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为、、，则下列结论正确的是（）。A、<<B、<<C、<<D、<<6、设m是整数,关于x的方程mx2—（m—1）x+1=0有有理根，则方程的根为（）。A、B、C、D、有无数个根二、填空题（每小题5分，共30分）7、已知a是质数，b是奇数，且a2+b=2009，则a+b=。8、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需元。9、已知有理数x满足：，若的最小值为a，最大值为b，则ab=。10、使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是。11、若x+y=—1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于。12、从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是。三、解答题（每题15分，共60分）13、甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行。甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进。两车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回。当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地的距离。14、已知a、b、c都是整数，且a—2b=4，ab+c2—1=0，求a+b+c的值。15、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD。过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE。16、要使关于x的方程的一根在—1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a的值。九年级数学竞赛试题一、选择题（每题只有一个正确答案，共6题。每小题5分，共30分）1、设a=，b=，c=，则a，b，c之间的大小关系是（A）。A、a<b<cB、c<b<aC、c<a<bD、a<c<b2、已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2—（c2—a2—b2）x+b2=0，则方程根的情况是（C）。A、有两相等实根B、有两相异实根C、无实根D、不能确定3、已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（B）。A、第一、二象限B、第二、三象限C、第三、四象限D、第一、四象限4、函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2—a2等代数式的值中，正数有（A）A、2个B、3个C、4个D、5个5、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为、、，则下列结论正确的是（D）。A、<<B、<<C、<<D、<<6、设m是整数,关于x的方程mx2—（m—1）x+1=0有有理根，则方程的根为（C）。A、B、C、D、有无数个根二、填空题（每小题5分，共30分）7、已知a是质数，b是奇数，且a2+b=2009，则a+b=2007。8、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需6元。9、已知有理数x满足：，若的最小值为a，最大值为b，则ab=5。10、使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是84。11、若x+y=—1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于1。12、从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是0.25。三、解答题（每题15分，共60分）13、甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行。甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进。两车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回。当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地的距离。解：设甲车的速度为x千米/小时，设乙车的速度为y千米/小时，A、B两地的距离为s千米。则：即：有①÷②得：化简得：解得：答：A、B两地的距离是190千米。14、已知a、b、c都是整数，且a—2b=4，ab+c2—1=0，求a+b+c的值。解：将代人得：。解得∵b,c都是整数∴b,c只能取,,,。相对应。故。15、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD。过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE。解：先证明CD是⊙O的切线。连结OD，OD∥AD，∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠1＝∠2，∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC。∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，∴BC⊥OB。∴∠OBC＝900，∴∠ODC＝900，∴CD⊥OD。∴CD是⊙O的切线。再证点P平分线段DE。过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB。∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴FA∥DE∥CB,∴。在△FAC中，∵DP∥FA,∴。∵FA、FD是⊙O的切线，∴FA=FD，∴。在△ABC中，∵EP∥BC,∴。∵CD、CB是⊙O的切线，∴CB=CD，，∴，∴DP=EP，∴点P平分线段DE。16、要使关于x的方程的一根在—1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a的值。解：令f（x）=ax2－(a+1)x－4，∵f（x）=0在（－1，0）之间有一