原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第二章 第11讲 一元二次方程根的分布配套课件

第11讲一元二次方程根的分布课标要求考情分析结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围.另外备考中应该特别注意运用导数来研究函数零点④方程有两根(如图2-11-1)：x1>k，x2>k⇔图2-11-1⑤方程有两根(如图2-11-2)：x1<k，x2<k⇔图2-11-2⑥方程有两根(如图2-11-3)：x2>k，x1<k⇔af(k)<0；图2-11-3⑦方程有且只有一根在区间(k1，k2)内⇔f(k1)f(k2)<0(如图2-11-4)；图2-11-4⑧方程两根满足k1<x1≤x2<k2(如图2­11­5)

图2-11-5⑨方程两根满足k1<x1<k2≤p1<x2<p2题组一走出误区1.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足)f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点

B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点

C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点

D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点解析：因为f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0所以f(0)·f(1)<0，因为函数f(x)的图像在R上连续不断由零点存在定理，可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点.又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点.故选AC.答案：AC题组二走进教材

2.关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0有异号的两个实根，则a的取值范围是________.

答案：a<1

3.关于

x

的方程x2－ax＋a2－4＝0有两个正根，则实数a的取值范围是____________.题组三真题展现4.(2020年河北石家庄质检)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是( A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4}) B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}解析：由题意知a＝0时，满足条件，得0<a≤4，所以0≤a≤4.答案：D5.(2019年湖北武汉模拟)方程

x2＋ax－2＝0在区间[1，5]上有根，则实数a的取值范围为________.解析：解法一，由于方程x2＋ax－2＝0有解，设它的两个解分别为x1，x2，则

x1·x2＝－2<0，故方程x2＋ax－2＝0在区间[1，5]上有唯一解.设f(x)＝x2＋ax－2，则f(1)·f(5)≤0，即(a－1)(5a＋23)≤0，考点1一元二次方程根的分布自主练习

关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0. (1)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内，则m的取值范围为__________. (2)一根在(－1，1)，另一根不在(－1，1)内，则m的取值范围为__________. (3)一根小于1，另一根大于2，则m的取值范围为_______. (4)一根大于－1，另一根小于－1，则m的取值范围为____.(5)两根都在区间(－1，3)，则m的取值范围为__________.(6)两根都大于0，则m的取值范围为__________.(7)两根都小于1，则m的取值范围为__________.(8)在(1，2)内有解，则m的取值范围为__________.解析：设

f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4(2m2＋m＋1)>0

(4)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0，

考点2一元二次方程根的分布的应用师生互动[例1]已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值；有一个公共点，求实数a的取值范围.

综上所述，当a∈{－3}∪(1，＋∞)时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点.

【考法全练】

解析：因为函数f(x)＝loga(ax＋t)(a>0，a≠1)是“梦想函数”，

故选A.答案：A⊙运用分类讨论思想判断方程根的分布[例2]已知函数f(x)＝ax2＋x－1＋3a(a∈R)在区间[－1，1]上有零点，求实数a的取值范围.解：方法一，当a＝0时，f(x)＝x－1，令f(x)＝0，得x＝1，是区间[－1，1]上的零点.当a≠0时，函数f(x)在区间[－1，1]上有零点分为三种情况：①方程f(x)＝0在区间[－1，1]上有重根，

方法二，当a＝0时，f(x)＝x－1，令f(x)＝0，得x＝1，是区间[－1，1]上的零点.

当a≠0时，f(x)＝ax2＋x－1＋3a在区间[－1，1]上有零点1]上有解.

【策略指导】(1)函数f(x)＝ax2

＋x－1＋3a(a∈R)在区间[－1，1]上有零点，应该分类讨论：讨论a＝0与a≠0；讨论有一个零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论是否是重根；(2)函数f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标值；

(3)准确理解根的存在性定理：①f(x)在[a，b]上连续；②f(a)·f(b)<0；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件，并且满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在[a，b]上至少有一个零点；不满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在[a，b]上未必无零点，也可能有多个零点.(2019年江西上饶期末)若函数f(x)＝lg【高分训练】

ax2＋1在(0，＋∞)内存在两个互异的x，使得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)成立，则a的取值范围是()

即存在两个互异的x∈(0，＋∞)，使得(a2－2a)x2＋2a2x＋(2a2－2a)＝0成立， ①若a2－2a＝0，即a＝2时，方程可化为8x＋4＝0，解得

②若a2－2a≠0时，

(ⅰ)a2－2a>0，即a>2时，要想满足条件，答案：B

结合图象探讨一元二次方程根的分布方便记忆，另外要注意①方程有两正根；②方程有两负根；④方程有两根x1>k，x2