2021年河北省廊坊市梁家务中学高一数学理测试题含解析

2021年河北省廊坊市梁家务中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=的图象是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】根据图象的平移法则即可得到．【解答】解：函数y==1﹣，则y=的图象是由y=﹣的图象先向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，故选：A2.下列函数中，最小正周期为的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由与为互相垂直的单位向量，我们易得，，代入，可求出?，又由与的夹角为锐角，故?＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围，但要注意，与同向的排除．【解答】解：∵与为互相垂直的单位向量∴，，又∵，且与的夹角为锐角，∴，但当λ=﹣2时，，不满足要求故满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）故选A4.下列函数与有相同图象的一个函数是（

）A

B

C

D参考答案：D略5.按如图1所示的程序框图，在运行后输出的结果为（

）

A．36

B．45

C．55

D．56参考答案：C6.已知在角终边上，若，则t=（

）A. B.-2 C.2 D.±2参考答案：C【分析】由正弦函数的定义求解．【详解】，显然，∴．故选C．【点睛】本题考查正弦函数的定义，属于基础题．解题时注意的符号．7.已知函数，那么的值为（

）A、

B、2

C、1

D、参考答案：C8.下列命题中正确的个数是（

）个①若直线上有无数个公共点不在平面内，则.②若直线与平面平行,则直线与平面内的任意一条直线都平行.③如果两平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④垂直于同一条直线的两条直线互相平行.参考答案：9.设集合 （）A． B． C． D．参考答案：B10.在中，角、、的对边分别为、、，，，当的面积等于时，_______________.参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的有

个参考答案：312.若α为锐角，且则sinα的值为________．参考答案：【知识点】两角和的正弦公式；三角函数求值.

解：sin＝，为锐角，故，cos=,，故答案为：.【思路点拨】先通过已知条件求出cos，然后把角分解成，再利用两角和的正弦公式求解即可.13.定义运算，例如，，则函数的最大值为

▲

.参考答案：.14.已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为

．参考答案：9【考点】众数、中位数、平均数．【分析】设样本数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a，推导出5a2=80，解得a=4，由此能求出2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数．【解答】解：设样本数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a，∵样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），∴S2=[（a1﹣a）2+（a2﹣a）2+（a3﹣a）2+（a4﹣a）2+（a5﹣a）2]=[a12+a22+a32+a42+a52﹣2（a1+a2+a3+a4+a5）a+5a2]=（a12+a22+a32+a42+a52﹣5a2）=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），∴5a2=80，解得a=4，∴2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为2a+1=9．故答案为：9．15.已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的通项公式an=．参考答案：2n【考点】8H：数列递推式．【分析】通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（an+an+2）=5an+1求出公比，推出数列的通项公式即可．【解答】解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（an+an+2）=5an+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{an}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．16.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，

参考答案：-x-117.已知数列1,，则其前n项的和等于

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）函数在区间上有最大值，求实数的值。参考答案：对称轴，当是的递减区间，；当是的递增区间，；当时与矛盾；所以或。…………12分19.已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn，，且恰为等比数列{bn}的前三项，记．(Ⅰ)分别求数列{an}、{bn}的通项公式；(Ⅱ)若，求cn取得最小值时n的值；(Ⅲ)当为数列{cn}的最小项时，m有相应的可取值，我们把所有的和记为；当为数列{cn}的最小项时，m有相应的可取值，我们把所有的和记为，令，求．参考答案：解：（Ⅰ）由，∴，∴，易得．（Ⅱ）若，则，当或，取得最小值0．（Ⅲ），令，则，根据二次函数的图象和性质，当取得最小值时，在抛物线对称轴的左、右侧都有可能，但都在对称轴的右侧，必有．而取得最小值，∴，等价于．由解得，∴，同理，当取得最小值时，只需解得，∴．可得．

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈（，）．（1）若cos（α+）=﹣，求x1的值；（2）若B（x2，y2）也是单位圆O上的点，且∠AOB=．过点A、B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由三角函数的定义有x1=cosα，求得，根据，利用两角差的余弦公式计算求得结果．（2）求得得，S2=．可得，化简为sin（2α﹣）．再根据2α﹣的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（α）取得最大值【解答】解：（1）由三角函数的定义有x1=cosα，∵cos（α+）=﹣，α∈（，），∴，∴==．（2）由y1=sinα，得．由定义得，，又由α∈（，），得α+∈（，），于是，=．∴====sin（2α﹣）．再根据2α﹣∈（，），可得当2α﹣=，即α=时，函数f（α）取得最大值．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．21.已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．参考答案：【考点】指、对数不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）可令t=x+1，则x=t﹣1，代入可得f（t），即f（x）的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；（2）运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；（3）f（x）在（﹣1，1）上为增函数．由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证．【解答】解：（1）f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x），可令t=x+1，则x=t﹣1，可得f（t）=lg（1+t）﹣lg（1﹣t），即有f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），由1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，则函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）由f（x）＜1即lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＜1，即为lg（1+x）＜lg10（1﹣x），可得0＜1+x＜10（1﹣x），解得﹣1＜x＜，则不等式的解集为（﹣1，）；（3）证明：f（x）在（﹣1，1）上为增函数．理由：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）=lg（1+m）﹣lg（1﹣m）﹣[lg（1+n）﹣lg（1﹣n）]=lg﹣lg=lg?=lg?，由于﹣1＜m＜n＜1，可得1﹣m＞1﹣n＞0，1+n＞1+m＞0，可得0＜＜1，0＜＜1，则0＜?＜1，即有lg?＜0，则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），故f（x）在（﹣1，1）上为增函数．22.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”。（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率。参考答案：（I）||=36，P（A）=（II）（III）【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（III）根据（I