机器人机构学基础于靖军课后部分参考答案

只有部分题型有参考答案 第1章绪论查阅文献，试回答连续体机器人与软体机器人有何区别。答：连续体机器人是一种新型仿生机器人,它模仿自然界中象鼻、章鱼臂等动物器官的运动机理,自身不存在运动关节,但能依靠连续柔性变形来实现运动和抓取操作。由于连续体机器人可在任意部位产生柔性变形,所以具有很强的避障能力,能够更好地适应非结构环境、更牢靠地抓取各种不规则形状的物体。因此它是对传统关节式机器人的补充,具有潜在的应用价值。软体机器人是机器人领域的一个热点，并被学术界视为一种最可能成为新一代机器人的发展方向，甚至在工业领域的应用和对社会革命的影响都非常广泛。软体仿生机器人通常由软体材料制作，与环境交互时，相比刚性机器人拥有更好的柔顺性和适应性。学者们正在进行相关的的研究，意在从根本上解决了机械手与人和环境相互作用的问题，为解决复杂环境适应性差、灵活性差等提供了新的思路和方向。“机器人三原则”由谁提出，具体内容如何表述？答：该原则最早在阿西莫夫的《我，机器人》中提出，阿西莫夫为这本书新写了《引言》，而《引言》的小标题就是《机器人学的三大法则》，把“机器人学三大法则”放在了最突出、最醒目的地位。而三大法则之间的互相约束，为后世的创作有一定的指导意义。三大法则具体表述如下：机器人不能伤害人类，也不能在人类受到伤害时袖手旁观；机器人必须服从人类命令，除非这些命令与第一条原则相冲突；在不违背第一、二条原则的前提下，机器人必须保护自己免受伤害。 第2章数学知识证明所有经过坐标原点O的线矢量必然满足。计算经过点r1和点r2的直线的Plücker坐标，并正则化该线矢量。计算经过点r且直线轴线的方向余弦为的直线Plücker坐标，并正则化该线矢量。填空：补充空格的数值，使之表示一条直线（或线矢量）。（1）（2）（3）（4）确定以下两条直线之间公法线的长度与夹角。（1），（2），填空：补充空格的数值，使之表示一个满足特定节距的旋量。（1），（2），（3），（4），证明旋量的节距是原点不变量。当旋量与其自身互为反旋量时称为自互易旋量（self-reciprocalscrew）。试证明自互易旋量有且只有线矢量和偶量两种类型。从射影几何的角度来看，偶量可看作是处于无穷远处的线矢量。试从极限的角度证明之。填空：补充空格的数值，使之表示一个单位旋量，并确定该旋量的节距和轴线坐标。（1）（2）试给出图2-12所示单位正方体中12条边所对应单位线矢量的旋量坐标表达，参考坐标系如图中所示。图2-12单位正方体试给出单位正方体中12条边所对应单位偶量的旋量坐标表达，参考坐标系如图2-10所示。旋量系的互易性满足坐标系无关性（frameinvariant）。试证明：旋量系的互易积与坐标系的选择无关。旋量系的阶数满足坐标系无关性（frameinvariant）。试证明：旋量系的阶数与坐标系的选择无关。

第3章位姿描述与刚体运动一矢量p绕zA轴旋转30，然后绕xA轴旋转45，求按上述顺序旋转后得到的旋转矩阵。答：物体坐标系{B}最初与惯性坐标系{A}重合，将坐标系{B}绕zB轴旋转30，再绕新坐标系的xB轴旋转45，求按上述顺序旋转后得到的旋转矩阵。答：在什么条件下，两个旋转矩阵可以交换顺序？答：一般情况对于既有原点平移和姿态改变的变换是不满足交换律的，只有在特殊情况下如：绕同一坐标轴进行连续旋转偏移，或者其中一个矩阵是单位矩阵时，旋转矩阵可以交换。如果旋转角度足够小，任意两个旋转矩阵是否可以交换？答：可以，角度足够小时，结果与转动顺序无关。假设一个刚体内嵌有两个单位矢量，试证明，无论刚体如何旋转，两个矢量的夹角保持不变。答：设两向量为，，令旋转轴为轴建立坐标系，已知，，已知坐标轴旋转角度为，则此时，夹角为坐标系下坐标为同理，坐标为此时由单位向量可知，单位向量点乘，结果为两向量，夹角余弦值，所以两矢量的夹角保持不变。证明任何旋转矩阵行列式的值恒等于1。证：由题意，假设有两个坐标系A和B及其中的6个相互正交的单位向量，则由定义可得考虑到系坐标轴的三个单位向量都满足相互正交、且模长为1，由此可以导出两边同时取行列式可得得证（姿态矩阵的行列式等于对应旋转矩阵的行列式值）证明和都是反对称矩阵。证：以角为例根据欧拉旋转定理，假设绕轴转过，当足够小时，角度与旋转顺序无关，因此可矢量合成则为反对称矩阵则显然为反对称矩阵。而对于由其对称性可知其乘积为反对称矩阵，也可计算验证得到。求解姿态矩阵R的特性：（1）求解姿态矩阵R的特征值，并求与特征值为1对应的特征向量；（2）令姿态矩阵，试证明；（3）证明姿态矩阵R满足。答：（1）使用欧拉角表示旋转矩阵观察上式为关于特征值的3次方程，可以在复平面求出3个解析解。将其表示成关于3个转角的数学通式太过复杂，实际问题中可以代入实际角度进行数值计算。考虑其特征值1，利用的性质所以一定有特征值1，其对应特征向量同样可以在实际问题中通过数值计算求出（2）证毕（3）略已知一刚体的齐次变换矩阵试求解该变换的逆变换。答：其中因此可知解得证明平面齐次变换矩阵（planarhomogenoustransformationmatrix）满足答：假设点经过平移变换得到点，点经过旋转变换得到坐标系其中则已知刚体绕z轴方向的轴线旋转30，且轴线经过点(1,1,0)T，求物体坐标系{B}相对惯性坐标系{A}的位形。答：设惯性坐标系为系，固联在刚体上的坐标系为系，定义两个中间坐标系和，它们的姿态分别与、系相同，它们的原点在，令系与系固联，系与系固联，则则此即为所求齐次变换矩阵。已知刚体绕x轴方向的轴线旋转30，且轴线经过点（1,0,1），求物体坐标系{B}相对惯性坐标系{A}的齐次变换矩阵。答：设惯性坐标系为系，固联在刚体上的坐标系为系，定义两个中间坐标系和，它们的姿态分别与、系相同，它们的原点在(1,0,1)T，令系与系固联，系与系固联，则则此即为所求齐次变换矩阵。已知一机器人末端工具中心点为p0，求：经过机器人的一般运动变换（旋转和平移）以后点p的表达，并写出其逆变换矩阵表达。答：已知旋转矩阵和平移矩阵，则该变换的齐次变换矩阵为则运动变换后的点表达式为逆变换的旋转矩阵逆变换的平移矩阵故逆变换的齐次变换矩阵为当前工业机器人领域经常要定义4种坐标系：惯性坐标系{A}、末端或工具坐标系{T}、图像坐标系{C}和工件坐标系{W}，如图3-51所示。图3-51工业机器人基于图中所给尺寸，试确定和；若，试求。答：（1）（2）试证明三次绕固定坐标轴X-Y-Z旋转的最终姿态与以相反顺序三次绕运动坐标轴x-y-z旋转的最终姿态相同，即。答：绕固定轴(绝对变换，连续左乘)，先轴转，再轴转，最后绕轴转的旋转,其旋转矩阵绕自身轴（相对变换，连续右乘）可以看到二者是等价的。在描述空间刚体姿态的各种方法中，欧拉角描述被称为是一种局部参数的描述方法。以Z-X-Z欧拉角为例，试证明当时，姿态矩阵奇异。答：注：题目有误，若按旋转，当时，姿态矩阵不可能奇异，故推测应为证明时，姿态矩阵奇异。证明过程如下：（1）当时，可以求出和的确定解，故姿态矩阵无奇异状态。（2）当时这是只能求出与的和，故姿态矩阵奇异。在欧拉角的定义中，连续旋转总是基于正交（坐标）轴来进行的，这种限制是否是必须的？答：不是的，是为了方便计算，因为正交轴里各轴互不干涉。已知姿态矩阵求与之等效的Z-X-Z欧拉角。答：由姿态矩阵得欧拉角：，两组解欧拉角：，两组解已知姿态矩阵求与之等效的R-P-Y角。答：因为 所以存在两组解。 1）第一组解 2）第二组解已知姿态矩阵求与之对应的等效轴-角及相应的欧拉参数。答：直接代入可得其欧拉参数为：因此该姿态矩阵的单位四元数为：再将姿态矩阵代入式（4.133）和式（4.135）中，可得等效轴-角为：T&T（Tilt&Torsion）是加拿大学者Benev提出的一种描述刚体姿态的方法，它实质上是一种修正的Z-Y-Z欧拉角。如果某类机构在运动过程中始终满足Torsion角为零，该机构称为零扭角机构（zero-torsionmechanism）。试通过查阅文献，找出35种零扭角机构的例子。答：略试证明相似变换答：已知姿态矩阵为正交矩阵，有则可以得到所以等式右边得证由于转换为等效转轴和转角为即存在使得等式左边得证。综上证毕若姿态矩阵能用只具有两个参数的欧拉角来描述，即试确定这两个欧拉角的取值范围？答：若姿态矩阵故可以由先绕轴旋转，再绕轴旋转来表示。因此的取值范围为，的取值范围为（为保证欧拉角的唯一性，章动角的范围为）。已知一速度矢量和齐次变换矩阵。，试计算。答：由题意旋转矩阵因为速度是自由矢量，故其在不同坐标系之间的映射只与旋转矩阵有关，而与坐标系的原点偏移无关。对于由移动p和旋转矩阵R组成的平面刚体变换，可以用齐次坐标将其表示为矩阵对应的单位运动旋量可以表示成，（1）证明任意平面刚体运动可以描述为关于某点的纯移动或纯转动。（2）证明绕点q的纯转动平面运动旋量和沿v方向的纯移动平面运动旋量为（纯转动） （纯移动）答：略证明伴随矩阵的特性：。答：略证明。答：略证明平面刚体运动的伴随变换可由下式给出：答：略就旋量的物理意义而言，除了运动旋量和力旋量之外，你还能举出其他具有物理意义的旋量类型吗？答：例如，动量旋量无论是空间速度还是物体速度，它们都可以旋量来表达。试问，空间加速度或物体加速度也可表示成旋量的形式吗？答：略已知某一刚体相对惯性坐标系{A}的空间速度和齐次变换矩阵。试计算物体速度。答：略求图3-51所示2自由度机器人末端执行器相对惯性坐标系{A}的空间速度。图3-52题3-32图答：略已知某一单位运动旋量为，求（1），r，h；（2）绘制出该运动旋量的轴线位置。运动旋量与约束旋量是一对互易旋量。能否给出其中的物理意义？如果刚体受到了纯力约束的作用，该刚体什么运动受到了约束？如果刚体受到了纯力偶约束的作用，该物体什么运动又受到了约束？答：略

第4章机器人机构在有些机器人机构中，会用到复杂铰链形式，例如图4-69所示的4种常用类型。试指出与这些复杂铰链相等效的运动副类型。(a)4R平行四边形子链(b)4U平行四边形子链(c)4S平行四边形子链(d)3-2S平行四边形子链图4-694种典型的复杂铰链答：4R平行四边形子链——P4U平行四边形子链——RRP4S平行四边形子链——ER3-2S平行四边形子链——PaPaR根据以下的各机器人机构示意图，给出该机构的符号表示。(a)球面五杆机构(b)Dunlop指向机构(c)Star机构(d)Tsai氏机构(e)动眼机构(f)HALF机构图4-70题4-2图答：（a）5R（b）3-RSR&1-SS（c）3-PRR（d）3-RRRaR（e）3-UPS&1-S（或者3-UPS-S）（f）3-PRR查阅相关文献资料，尝试给出以下几个机器人的机构示意图及符号表示。(a)三菱的“double-SCARA”机器人(b)Execho混联加工机器人(c)Metrom并联加工机器人(d)Omni-WristV(e)Omni-WristVI(f)Eclipse机器人(g)TriVariant机械手图4-71题4-3图答：略据瑞士某官网报道，ECOSPEED加工中心以最高精度完成空客框架的加工需要95分钟（AnECOSPEEDmachiningcentermilledanAirbusframetothehighestlevelofprecisioninabout95minutes）。查阅相关文献资料，试对该加工中心的组成进行剖析，给出其机构示意图及符号表示。答：略SCARA机器人与H4机器人具有相同的自由度类型（3个移动和1个转动），试比较各自的优缺点。答：SCARA机器人作为串联机器人，其工作空间更大且垂直方向刚度高，水平面内柔顺度好且便于控制，适合装配。但是相对而言，作为串联机器人，运动学正解易，逆解难，误差由传递效应，有逐级放大的现象，加速度也不够高。而H4机器人是并（混）联机器人，可以利用各支连连杆传递给末端的协调运动来控制末端执行器的位置，其精度高且加速度大，承载能力也强，合适于高速夹取，但是其作为并联机器人，工作空间相对较小，协调控制也更为困难。有一类机构中，构件在其转动中心处并没有实际的运动副存在，这种没有实际运动副存在的转动中心在此被定义为虚拟运动中心（VCM）。如果机构的输出构件具有VCM，则该机构称为虚拟运动中心机构（简称VCM机构）。如果虚拟固定点在机构的远端，则该机构称为远程运动中心机构（简称RCM机构）。图4-72所示就是两种典型的RCM机构。（1）查阅相关资料，了解RCM机构的主要用途；（2）自定义未知参数，建立该机构的虚拟样机模型，仿真该机构运动过程。(a)(b)图4-72RCM机构 答：略图4-73所示为一滑槽杠杆式抓取机构，可用作机器人手爪。该机构的工作原理如下：用气动或液压的活塞杆驱动，使左右手转动，完成抓取工件的动作。活塞杆1沿机架上下移动，固接在活塞杆上的滚子4在左右手爪2、3的直槽中滑动，手爪绕A、B点转动，依靠V形槽完成抓取工件的动作。该结构动作灵活，手爪绕A、B点转动，依靠V形槽完成抓取工件的动作。该机构动作灵活，结构简单，手爪开闭角度大，但增力较小。试绘制如下机器人的机构运动简图。图4-73滑槽杠杆式抓取机构答：（仅供参考）瑞士苏黎世联邦理工学院开发的CRAB机构如图4-74所示。每侧悬架由两套平行四边形机构和两端的支架组成两套平行四边形机构，并在中轮连接处相互铰接。两段支架铰接，并分别与两套平行四边形机构的水平两杆铰接。两侧悬架在支架处与平台通过差速杆机构实现差速。试问：该机构属于移动机器人的哪种类型？图4-74CRAB机构[23]答：按照移动机器人的移动机构来分类，属于轮式移动机器人。按照工作环境分类，属于地面移动机器人。按照结构特征分类：属于移动机器人中的混联机器人，前后两组平行四边形组成的两组开环，最顶上的悬杆与两部分相连形成部分闭环。按照运动特征分类：属于空间机器人机构，拥有空间移动转向越障能力。安装构件的柔度特征分类：属于刚性机器人。图4-75所示为一新型轮式复合越障机器人机构。（1）试从虚拟转动中心的角度分析该机构的工作原理；（2）对比与图4-74所示机构的优缺点；（3）利用ADAMS对该机构进行运动学仿真（模拟越障过程）。图4-75轮式复合越障机器人机构答：略图4-76所示为一新型轮式复合越障机器人机构。（1）试从虚拟转动中心的角度分析该机构的工作原理；（2）利用ADAMS对该机构进行运动学仿真（模拟越障过程）。图4-76轮式复合越障机器人机构答：略图4-77所示的是利用直线运动机构设计的一种行走机构。（1）根据工作原理设计该结构的组成；（2）自定义未知参数，建立该机构的虚拟样机模型，仿真行走机构运动过程，获取做直线运动的点（P1点）的位移曲线。图4-77一种利用直线运动机构的行走机构答：略图4-78所示的是荷兰艺术家TheoJansen发明的一种步行机构。（1）查阅相关资料，分析该机构的组成以及工作原理；（2）自定义未知参数，建立该机构的虚拟样机模型，仿真该机构运动过程。图4-78TheoJansen行走机构答：略经典机构。利用修正的G-K公式计算如图4-79所示经典机构的自由度。(a)三种仿图仪机构(b)Peaucellier直线机构及其变异机构图4-79经典机构答：(a)公共约束：3，，，，，， 公共约束：3，，，，，，公共约束：0，，，，，，(b)公共约束：3，，，，，，公共约束：3，，，，，，图4-80为传递两相交轴转动的双万向联轴节（又称双十字虎克铰），该机构由两个单十字虎克铰串联而成。试计算该机构的自由度，并调研该机构的主要特点。(a)结构示意图(b)实物图4-80双十字虎克铰答：自由度（5或者6）计算并分析平面3-RRR并联机构（图4-81）的自由度，注意每个支链中转动副的轴线方向相互平行。答：自由度试分析4-RRR并联机构（图4-82）的自由度：每个支链中R副的轴线相互平行，但相邻两个支链的运动副轴线相互垂直。图4-81平面3-RRR并联机构图4-824-RRR机构答：1自由度利用修正的G-K公式计算6-PSS型并联机构的自由度。答：运动副数：；自由构件数：；各运动副的自由度之和：；机构阶数：；冗余约束数：；局部自由度数：；则根据修正后的G-K公式得：6-PSS型并联机构的自由度为：试分析3-SPR并联机构（图4-83）的自由度，并区分该机构的运动与3-RPS平台机构的运动类型。图4-83图3-SPR并联机构图4-843-RPS并联角台机构答：自由度区别：3-SPR进行的是3维空间移动，3-RPS虽然也有三个自由度，但是进行的是2维转动+1维移动，移动方向与转轴所在平面垂直。试分析图4-84所示3-RPS并联角台机构的自由度，并区分该机构的运动与3-RPS平台机构的运动类型。答：自由度区别：角台机构运动形式为任意3维球面转动，3-RPS虽然也有三个自由度，但是进行的是2维转动+1维移动，移动方向与转轴所在平面垂直。图4-85所示为一种用于机器人手臂的减速器，1为输入，转速为n1，双联齿轮4为输出。已知各齿轮齿数为：z1=20，z2=40，z3=72，z4=70。试求：（1）分析内齿轮3的运动（是否存在自转角速度？）；（2）计算内齿轮3的公转角速度；（3）计算减速器的转速比i14。图4-85机器人减速器答：（1）齿轮3为固定在z2两个曲柄上的外齿圈，由于两个曲柄的转向和转速完全相同，因此齿轮3始终做平动运动，即自转角速度为0。（2）由于齿轮3跟随z2的两个曲柄转动，因此有(负号表示角速度方向相反)（3）齿轮3和齿轮4内啮合，传动比满足：已知解得可以得到该减速器的减速比为图4-86所示为一种RV减速器，齿轮1为主动件，两个从动轮2各固连着一个曲拐，两曲拐的偏心距及偏移方向相同。曲拐偏心端插入内齿轮3的孔中，在该传动装置运行时，轮3作平动。求该传动装置的自由度及传动比i14（假设各齿轮齿数已知）。图4-86机器人RV减速器答：由于RV减速器均为平行齿轮传动，在计算自由度时，可以视其为平面机构，其中可活动构件个数n=5，低副个数PL=6，高副个数PH=3。考虑到齿轮1使两个齿轮2以相同的速度和方向旋转，而齿轮3也使得两个齿轮2只能以相同的速度和方向旋转，因此有1个冗余约束，因此该机构的自由度齿轮3为固定在z2两个曲柄上的外齿圈，由于两个曲柄的转向和转速完全相同，因此齿轮3始终做平动运动，即自转角速度为0。由于齿轮3跟随z2的两个曲柄转动，因此有齿轮3和齿轮4内啮合，传动比满足：已知解得则减速器的传动比（zi为各齿轮齿数，ni为各齿轮转速）机器人中常见的驱动方式有哪些？试做个表格，比较这些驱动方式的优缺点。驱动方式优点缺点液压1、动力大；2、力（或力矩）与惯量比大；3、快速响应高；4、易于实现直接驱动等；5、超载安全性。1、需进行能量转换（电能转换成液压能）；2、速度控制多数情况下采用节流调速，效率比电动驱动系统低；3、液压系统的液体泄泥会对环境产生污染，工作噪声也较高。气动1、速度快；2、系统结构简单；3、维修方便；4、价格低；5、低重量及小尺寸。难于实现伺服控制。电动1、低惯量；2、大转矩；3、不需能量转换；4、使用方便，控制灵活；5、维护间隔长。1、需安装精密的传动机构；2、不能直接用于要求防爆的环境中；3、成本较以上两种驱动系统较高。机器人中常见的传动方式有哪些？试做个表格，比较这些传动方式的优缺点。传动方式特点运动形式传动距离应用条件实例（机器人型号）优点缺点齿轮用于手臂第一转动轴，提供大转矩转-转近臂部UnimatePUMA550响应快，扭矩大，刚性好，可实现旋转方向的改变和复合传动体积大，轴间距不大蜗轮蜗杆大传动比，重量大，有发热问题转-转近臂部腕部FANUCM1大速比，交错轴，体积小，回差小，响应小，刚度好，转矩大效率低，发热大行星传动大传动比，价格高，重量大转-转近臂部腕部UnimatePUMA560大速比，同轴线，响应快，体积小，刚度好，回差小，转矩大结构复杂，无轴间距谐波传动很大的传动比，尺寸小，重量轻转-转近臂部腕部ASEA大速比，同轴线，响应快，体积小，重量轻，回差小，转矩大结构复杂，无轴间距链传动无间隙，重量大转-转转-移移-转远移动部分腕部ASEAIR66扭矩大，刚度可调节，轴间距大速比小同步齿形带有间隙和振动，重量轻转-转转-移移-转远腕部手爪KUKA无间隙，轴间距大速比小，转矩小，刚性差钢丝传动远距离传动很好，有轴向伸长问题转-转转-移移-转远腕部手爪S.Hirose无间隙，轴间距大速比小连杆传动远距离传动力性能很好转-转远臂部手爪Unimate2000刚度大，负载大非线性，精度有限滚珠丝杠螺母很大的传动比，精度高，可靠性高，昂贵转-移远臂部腕部MotormanL10效率高，精度好，刚度好，无回差，可实现运动方式改变，“速比”大结构复杂，无轴间距齿轮齿条精度高，价格低转-移移-转远腕部手爪臂部Unimate2000效率高，精度好，刚度好，可实现运动方式变化轴间距交错

第5章串联机器人的位移分析对于串联机器人而言，求解其正反解的意义是什么？答：略利用几何法求平面3R机器人（图5-11）的位移正、反解，并以本章相关的例题结果进行对比。答：位移正解过程如下：平面机器人机构简图，定义各关节转角如图所示：图图1平面机器人机构简图 由几何知识易得： 位移反解如下： 设机械臂末端的的位姿为，有 对于三角形，有 从而 在三角形ABC中 因此 所以有与本章相关例题结果一致。证明串联机器人的正运动学中，机器人末端执行器的运动与转动及移动的顺序无关。证明：串联机器人中末端执行器相对于基坐标系的位姿可以如下表示:（1）（2）该位置解一般公式中，由前一关节的结构参数和现关节参数唯一确定，表示相邻连杆的相对运动关系，与连杆运动顺序无关，只要给定各相邻连杆之间的相对运动关系就唯一确定，由公式（1）即可得到末端运动关系式故末端执行器的运动与转动和移动的顺序无关。证明相邻杆之间的齐次变换矩阵就是两个连续的螺旋变换。答：略试分别建立图5-39所示各串联机器人在前、后置坐标系下的DH参数。(a)(b)(c)(d)图5-39四种3-DOF的串联机器人答：(a)前置DH1000200300(a)后置DH1002003000(b)前置DH1000200300(b)后置DH100200300θ0(c)前置DH1000200300(c)后置DH1002003000(d)前置DH100020030(d)后置DH100203000试建立图5-40所示串联机器人在前置坐标系下的DH参数。图5-404-DOF的RRRP串联机器人答：前置DH参数1000290°0030l0490°0d0试建立图5-41所示Stanford机器人在前置坐标系下的DH参数。图5-41Stanford机器人答：前置DH参数100l290°00390°0l0490°005−90°006−90°00对于下面给出的各个，求出与之对应的4个D-H参数值（前置坐标系下度量）。（1），（2），（3）答：前置公式(1)注意，题中数据出错，第一行第三列数字应该为0，第三行第三列数字为1，第三行第二列数字为0。首先由最后一列得到，，由第三列得知，即；同时由第一行可知，，即。代入其他数据验算无误。综上所述，。(2)由最后一列得到，由第三列得知，即；同时由第一行可知，即。代入其他数据验算无误。综上所述，。(3)题目中数据可能存在问题，应当是不是根据正常D-H参数进行坐标系变换进行的，可能是进行过关于轴的变换，导致根据正常的前置D-H矩阵无法解析。参照书141页，图5.18错误的坐标系设置，无法通过前置D-H坐标变换得到，但是可以通过一般变换得到转换矩阵。参照书中题的方式，无法给出参数，但是可以给出变换过程：其中，沿y轴平移不属于前置坐标变换，其余的参数分别为：。利用改进的D-H参数法对图5-39所示的四种串联机器人求位移正解。答：（1）根据连杆参数，得到（2）根据连杆参数，得到（3）根据连杆参数，得到（4）根据连杆参数，得到利用改进的D-H参数法对图5-40所示的4-DOF串联机器人求位移正解。答：前置D-H参数1000200300400有利用改进的D-H参数法对图5-41所示的Stanford机器人求位移正、反解。答：前置D-H参数如下：100l020030l104d3050060r对应各连杆坐标系矩阵为 得到其中：图5-42所示为一5-DOF串联机器人。图5-42a为机器人整体结构图，图5-42b为其中球形手腕及其分解结构图。试建立该机器人的D-H参数（前置坐标系下度量），并对其进行正、逆运动学求解。(a)机械手整体模型(b)球形手腕图5-42具有球手腕的5-DOF串联机器人答：D-H参数表：连杆变量10°0020030°4050，，，， Pieper准则中，提出了串联机器人存在解析解的两个充分条件：（1）三个相邻转动关节的轴线交于一点；（2）三个相邻转动关节的轴线相互平行。试从现有的商用工业机器人中各找出23个应用实例。答：略某一特定串联机器人的位移反解个数与哪些因素有关？是否与D-H参及连杆坐标系的选取有关？答：位移反解个数与机器人的结构特性紧密相关，和几何结构、运动模式以及当前的位置有关，和D-H参数与坐标系的选取无关，无论选取那种坐标系，解的个数都是相同的，只是解的表达形式不同。利用POE公式法对图5-40所示的4-DOF串联机器人求位移正解。答：略利用POE公式法对图5-41所示的Stanford机器人求位移正解。答：略某一特定串联机器人的位移反解个数与哪些因素有关？是否与D-H参及连杆坐标系的选取有关？与5-14重复对图5-39所示的四种串联机器人的逆运动学进行分解。答：略对图5-41所示的Stanford机器人的逆运动学进行子问题分解。答：略利用几何法求图5-11所示平面3R机器人（l1=l2=2l3）的可达工作空间和灵活工作空间。答：略

第6章串联机器人的速度雅可比与性能评价对于一个6自由度串联机器人的速度雅可比矩阵而言，各元素的单位量纲是否一致？答：不一致，无论是几何雅可比还是解析雅可比，矩阵都是由线速度和角速度构成的，采用国际单位制时，线速度的量纲为LT−1，角速度的量纲为T一个用Z-Y-Z欧拉角描述的3R串联机器人，求解反映末端杆输出角速度与各关节速度映射关系的雅可比矩阵。答：对于平面机器人，有则则则则由于则由于则利用递推法求解平面3R机器人相对基坐标系{0}的速度雅可比。答：由题意，当关节为旋转关节时，的角速度等于的角速度加上关节的角速度,则上述关系在系中可表示为两端左乘旋转矩阵,得到中的角速度表示：同理可以得到线速度表示：采用前置坐标系，则前置D-H参数矩阵为：123则对应各连杆坐标系的矩阵为对于基坐标系，满足则利用速度递推公式求解机器人末端速度矢量则：同时与之间的旋转矩阵为则利用递推法求解图5-39所示四种3自由度串联机器人相对基坐标系{0}的速度雅可比。答：a、建立坐标系如图：前置D-H参数如下10020030040000连杆之间坐标变换矩阵如下:由于该机器人仅包含旋转关节，仅用到递推公式（6.60）对于基坐标系，满足由于因此利用速度递推公式求解末端速度矢量计算结果及代码如下：（代码中用t代替θ）因计算结果冗长，只截取部分。b、建立坐标系如图：前置D-H参数如下：10020030040000连杆之间坐标变换矩阵如下:该机器人前两个关节为旋转关节，后一个为移动关节：对于基坐标系，满足由于因此利用速度递推公式求解末端速度矢量计算结果及代码如下：c、建立坐标系如图：前置D-H参数如下：10020030040000由于c的三个关节均为旋转关节，与a不同的地方仅为3轴的方向，因此与a过程相同，结果稍有不同，不再赘述d、建立坐标系如图：前置D-H参数如下：1002003040000可见，三个关节均为旋转关节，除了3轴指向基点外与的D-H参数基本相同，不再赘述。已知一个3R串联机器人的正运动学方程为求。答：已知平面3R串联机器人的正运动学方程为旋转矩阵已知图6-17所示的平面3R串联机器人。试利用直接微分法计算该机构的正反解运动学，并导出该机构的速度Jacobian矩阵。该机构是否存在奇异位形？如果存在，试给出奇异位形存在的几何条件。图6-17习题6-6图答：（1）采用前置坐标系：，，，得到：线速度矢量由最后一列元素得到：角速度矢量由矩阵可以看出：得到平面3R机器人末端相对于极坐标系的速度雅可比为：（2）解：若仅要求达到平面中的某一点而不要求末端指向，该平面3R机器人式冗余的，求解其奇异点即为、、均不满秩。解得仅当或时，存在奇异点，其中为边界奇异点。若不仅要求达到平面中的某一点且要求末端指向，该平面机器人为全自由度的，列出速度映射方程：其中不满秩时即为奇异点。对行列式进行变形，得到：即解得，故当或时平面机器人对于指定点和指定末端指向奇异，该解既包括边界奇异点（）又包括内部奇异点。利用微分变换法求解图5-39所示四种3自由度串联机器人相对基坐标系{0}的速度雅可比。答：略利用微分变换法求解图6-18所示RRRP串联机器人相对基坐标系{0}的速度雅可比。图6-18RRRP串联机器人 答：略利用微分变换法求解图6-19所示RRPRRR串联机器人的速度雅可比。图6-19RRPRRR串联机器人答：略图6-20所示为处于初始位形下的RRRP串联机器人。p为{b}系原点相对基坐标系{0}的坐标。确定当时，机器人相对{0}系的速度雅可比。图6-20RRRP串联机器人答： 建立该机器人的前置坐标系如下：H参数表：连杆变量10°0290°003-90°0T00°0，，，当，，时，，，利用微分变换法求解图6-21所示串联机器人相对基坐标系{0}的速度雅可比。图6-21习题6-11图答：略解析雅可比与几何雅可比有何异同？答：对于末端速度矢量X中的角速度部分，如果采用广义角速度矢量来表示，与之对应的速度雅可比矩阵为几何雅克比；如果采用姿态角速度矢量Θ来表达，其对应的速度雅可比矩阵为解析雅克比。这两种速度雅可比矩阵最终表达的速度矢量中的角速度形式不同，但可通过变换矩阵E(Θ)相互变换。利用POE公式求解图5-39所示四种3自由度串联机器人的空间雅可比矩阵。答：略已知图6-20所示的机器人机构，试利用POE公式求解该机构的空间雅可比矩阵。答：略利用POE公式求解图6-18所示RRRP串联机器人的空间雅可比矩阵。答：图6-18所示为处于初始位形下的RRRP串联机器人。p为{B}系原点相对基坐标系{S}的坐标。确定当时的空间雅可比矩阵。答： 建立该机器人的前置坐标系如下：H参数表：连杆变量10°0290°003-90°0T00°0，，，当，，时，，，利用POE公式求解图6-19所示RRPRRR串联机器人的空间雅可比矩阵。答：利用螺旋运动方程求解图6-20所示串联机器人的空间雅可比矩阵。答：略通常情况下，机器人的速度雅可比矩阵与所选择的参考坐标系（如基坐标系或工具坐标系）有关。试确定本章介绍的哪种性能指标可能与所选参考坐标系无关？答：略对于图5-2所示的曲柄滑块机构，求（1）建立该机构的正、反解方程；（2）计算该机构的速度雅克比；（3）如果滑块为主动件，试确定该机构的奇异位形；（4）若将曲柄的输入角度作为主动关节变量，试确定该机构的奇异位形，这时，各杆之间满足什么几何条件？答：略【例6-13】讨论过PUMA560的奇异位形问题，前提是部分连杆参数存在偏置。若PUMA560的连杆参数a3无偏置（a3=0），证明这种情况下会发生一种新的奇异，并给出奇异位形出现的几何条件。答：略试推导【例6-2】所示平面2R机器人各向同性点存在的条件。答：略试推导【例6-3】所示平面3R机器人奇异性与各向同性点存在的条件。答;平面机器人,易知有:则容易得到平面机器人的雅可比矩阵为:计算可以得到的行列式为则由此可知，当或时，系统内部发生奇异。除此之外，系统的边界也发生奇异。接下来计算各向同性条件。由于带着字母计算计算量极大，结果十分繁琐，而实际工程中杆长都是确定的数，因此不妨设则当平面机器人处于各向同性点时，要求所有特征值相等。当图6-9所示SCARA机器人的杆1和杆2长度之和为常数时，求解它们的相对长度为何值情况下，机器人的可操作度指标最大？答：仅供参考由于题目探讨杆长1和2对SCARA机器人可操作度的影响，故可将题目机器人简化为一平面2R机器人，则由几何法知则易验算知当且仅当时，阵不可逆由公式：编写matlab代码如下：clc;clear;symstheta1theta2L1L2;J=[-L1*sin(theta1)-L2*sin(theta1+theta2)-L2*sin(theta1+theta2)L1*cos(theta1)+L2*cos(theta1+theta2)L2*cos(theta1+theta2)];det(J*J')运行得ans=L1*L2*cos(conj(theta1))*sin(conj(theta1)+conj(theta2))*conj(L1)*conj(L2)*sin(theta1+theta2)*cos(theta1)-L1*L2*cos(conj(theta1))*sin(conj(theta1)+conj(theta2))*cos(theta1+theta2)*conj(L1)*conj(L2)*sin(theta1)+L1*L2*sin(conj(theta1))*cos(conj(theta1)+conj(theta2))*cos(theta1+theta2)*conj(L1)*conj(L2)*sin(theta1)-L1*L2*sin(conj(theta1))*cos(conj(theta1)+conj(theta2))*conj(L1)*conj(L2)*sin(theta1+theta2)*cos(theta1)由于theta1、theta2、L1、L2均为实数，化简得L1^2*L2^2*cos(theta1)*sin(theta1+theta2)*sin(theta1+theta2)*cos(theta1)-L1^2*L2^2*cos(theta1)*sin(theta1+theta2)*cos(theta1+theta2)*sin(theta1)+L1^2*L2^2*sin(theta1)*cos(theta1+theta2)*cos(theta1+theta2)*sin(theta1)-L1^2*L2^2*sin(theta1)*cos(theta1+theta2)*sin(theta1+theta2)*cos(theta1)即又因为为常数，所以当时，机器人可操作度最大！速度雅可比矩阵不仅与机器人所处的位形相关，也依赖于所选择的参考坐标系。这一特性势必影响对机器人性能的评价。试思考一下，在已知的奇异性、灵巧性等指标中，哪些性能可能不受位形或（及）参考坐标系的影响？答：奇异性、灵巧性以及传动角等都是几何特性，不受坐标系的影响。

第7章并联机器人运动学基础并联机器人有哪些潜在的优、缺点？并联机器人的位置反解一定比其位置正解简单吗？答：不一定。尤其对于含有2个以上转动自由度的并联机构。如图7-25所示为一对称分布的平面5R机构，图7-25a所示为机构的3D模型，结构参数分布与参考坐标系如图7-25b所示。试求（1）该机构的自由度；（2）该机构的位移正反解；（3）该机构的速度雅可比矩阵；（4）该机构是否存在奇异位形？(a)3D模型(b)结构参数与坐标系分布图7-25平面5R机构在图7-26所示的3-RPR平面并联机构中，移动副为驱动副。定义是在基坐标系下从坐标原点O到关节Ai的矢量，i=1,2,3；定义从动平台的原点P到关节Bi的矢量，i=1,2,3。（1）求解该并联机构的逆运动学。（2）推导求解该并联机构正运动学的过程。AA2B2B1A1PB3A3OxyYX图7-263-RPR平面并联机构3-RPR并联机构的3D模型如图7-27a所示，各结构参数分布与坐标系如图7-27b。试求（1）该机构的位移正、反解；（2）该机构的速度雅可比矩阵；（3）该机构是否存在奇异位形？(a)3D模型(b)结构参数与坐标系分布图7-273-RPR并联机构试推导图7-28所示3-CS平台机构的雅可比矩阵。3-CS机构简图如图7-28a所示，3个圆柱副的轴线方向固定且分别与机架相连，运动平台与3个分支各用球铰（S）相连，各个分支又与其所对应的圆柱副的轴线方向相垂直（图7-28b）。该机构的驱动副是组成圆柱副的移动副。试建立该机构的位移正、反解方程。(a)机构简图(b)结构参数与坐标系分布图7-283-CS并联机构答：见作者的一篇期刊论文“三自由度3-CS并联平台机构的运动学分析，航空学报。2001”试推导图7-11所示3-RPS平台机构的速度雅可比矩阵，并讨论其中是否存在奇异位形。对于如图7-29所示为一改进型Delta机器人机构，该机构由3个相同的支链RR(4R)R组成，因此又称为3-RR(4R)R型并联机构。图7-29a所示为机构的3D模型，单个支链的结构参数分布与参考坐标系如图7-29b所示。试求：有偏置（d0）和无偏置（d=0）两种情况下，（1）该机构的位移正、反解；（2）该机构是否存在奇异位形？(a)3D模型(b)结构参数与坐标系分布图7-293-RR(4R)R并联机构查阅文献，熟悉求解图7-30所示Stewart平台位移正解的数值解法。并思考：（1）位移正解方程的最高次数？（2）支链的特殊分布是否会简化该机构正解方程的最高次数？（3）该机构是否存在奇异位形？(a)3D模型(b)结构参数与坐标系分布图7-30Stewart平台并联机器人的奇异类型相比串联机器人而言，更为复杂多样，试结合具体实例，给出常见的并联机器人奇异类型？

第8章机器人静力学与静刚度分析试利用递推法推导平面2R机器人的静力平衡方程。答：根据平面机器人构型，如6-9中建立坐标系，可写有关参数如下，，，，，对于关节2对于关节1得到静力平衡方程已知平面2R机器人（相对基坐标系）的速度雅可比矩阵为为使机器人末端施加的静态操作力为，求相应的关节平衡力矩（忽略重力和摩擦的影响）。答：因为，，所以关节力矩在图8-15所示平面2R机器人的末端施加一个静态操作力，该力在其末端坐标系的表示为。不考虑重力和摩擦的影响，求此时该机器人相对应的关节平衡力矩。图8-15平面2R机器人答：平面机器人末端的静力雅可比在末端关节坐标系{3}中的表达式为：设则可得关节平衡力矩为PUMA机器人的腕关节如图8-16所示，其末端附着磨头，用于磨削工件表面。腕部各关节的位形参数如表8-1所示。磨头与工件表面的接触点为A，其在坐标系{3}中的坐标为(10,0,5)(cm)，试推导由关节位形至A点位移的63雅可比矩阵；在磨削过程中，作业在磨头A点上的力旋量坐标为63的F，试求相应的关节平衡力矩；特殊情况下，当工件表面与Ox0y0平面平行时，法向力，切向力，绕z3的力矩为0.04Nm，计算关节平衡力矩。其中关节角为；机器人的腕部力传感器与坐标系{3}固连，测得3个力与3个力矩，表示成求工具端点A处相对参考系{0}的作用力旋量F。表8-1PUMA机器人腕关节的位形参数i190040cm29000cm30010cm图8-16PUMA机器人磨削时的腕关节 答：略试推导图7-19所示对称分布的平面5R机构的笛卡尔静刚度矩阵。假设驱动关节处的等效刚度相同（均为ki）。答：略试推导图8-17所示平面并联3-RRR机器人的笛卡尔静刚度矩阵。假设驱动关节处的等效刚度相同（均为ki）。图8-17习题8-6图 答：略试对图8-18所示的两种柔性铰链进行全局柔度建模。(a)等腰梯形柔性铰链(b)交叉簧片型柔性铰链图8-18两种柔性铰链 答：（1）板簧单元在位于其质心的局部坐标系下的柔度矩阵为(1)板簧单元1、2坐标变换的伴随矩阵如下：，(2)式中，，，，。因此，该柔性模块在参考坐标系下的柔度矩阵为（2）该车轮型柔性模块的两个板簧单元相交于点O，且关于O对称。参考坐标系及各结构参数如图140所示。其柔度矩阵计算方法前面已有详述，这里不再赘述，只给出主要结果。板簧单元1、2坐标变换的伴随矩阵如下，(1)式中，，，因此，该车轮型柔性模块在参考坐标系下的柔度矩阵为(2)给定该型柔性模块参数如下：l=200mm，d=100mm，w=50mm，t=2mm，θ=30°，E=70GPa，泊松比μ=0.346由式(2)可计算得到柔度矩阵C，如下有一个并联柔性平台如图8-19所示，具体由3个柔性杆并联而成，在杆各自的中心处建立局部坐标系o1x1y1z1、o2x2y2z2和o3x3y3z3，在铰链的末端平台处建立参考坐标系oxyz。设该机构的各参数值，，，，求该并联柔性平台相对参考坐标系的全局柔度矩阵。图8-19并联柔性平台 答：对于柔性杆1、2、3，相应的坐标变换满足,t1=(1a),t2=(1b),t3=(1c)铰链的整体连接方式为并联。因此由式(4.4)和(4.10)，计算得到该并联系统的柔度矩阵，即(2)若取参数，，，，，代入式(2)，可计算得到该并联柔性模块的柔度矩阵值为一柔性移动单元如图8-20所示。该移动单元可看作是经2个平行双簧片模块串联后形成一个双平行四杆型模块，再将两个相同的双平行四杆型模块镜像并联得到。假设各簧片单元的尺寸长度L=33mm，厚度T=0.4mm，宽度W=24mm，而柔性移动单元的尺寸参数V1=19.4mm，V2=25.3mm，H1=11mm，H2=9.7mm。计算该机构的全局柔度矩阵；对该移动模块施加一平面载荷，即力旋量W=(m;f)T=(0,0,0.22,10,10,0)T，求对应的变形旋量；分别进行MATLAB编程计算及ANSYS有限元仿真，对结果进行比较、分析。格式要求：以学术论文形式撰写，但不必写摘要和参考文献。图8-20复合型柔性移动模块答：通过将两个串联式双平行四杆型柔性模块并联，可构成如图4.9所示的柔性移动模块P，该移动模块的柔度矩阵为（1）式中，伴随矩阵Adi对应的位移向量和旋转矩阵如下。 其中，每个串联式双平行四杆型柔性模块又由2个平行四杆型柔性单元串联而成。根据串联柔度叠加原则，可获得其柔度矩阵为 （2）式中， 假设各簧片单元的尺寸长度L=33mm，厚度T=0.4mm，宽度W=24mm，而柔性移动单元的尺寸参数V1=19.4mm，V2=25.3mm，H1=11mm，H2=9.7mm。将尺寸参数代入式（2）中，计算得到模块P的柔度矩阵值为 (3)对该移动模块施加一平面载荷，即力旋量W=(00MzFxFy0)T，对应的运动旋量为(4)不妨取一组具体载荷参数：Mz=0.22Nm，Fx=10N，Fy=10N，根据式（4）计算出运动刚体的柔度矩阵值，再通过与有限元数值仿真结果比较，具体如下表所示。表理论模型与有限元模型结果对比z/radx/mmy/mm理论模型2.23×10-50.00131.4478有限元模型2.27×10-50.00391.5153偏差1.75%66.39%4.45%

第9章串联机器人动力学基础求解串联机器人动力学的意义是什么？答：略求一均质、截面为圆（半径为r）、长度为l的圆柱体的广义质量矩阵（相对其质心）。答：以圆柱体的对称轴为z轴，建立直角坐标系，则有：因此有广义质量矩阵M为：试证明：。答：证明：若AB两坐标系共原点，则空间中任意一点在两坐标系中描述有： 根据惯性张量求解公式： 把以上两个坐标变换式代入A系该刚体惯性张量表达式得： 得证，证明过程中对于惯性张量的前一项化简中用到了姿态矩阵转置即为逆的性质，以及单位阵和标量可以交换相乘顺序的特点。有人用拉格朗日法推导的2自由度RP机器人动力学方程如下：其中有些项显然是错误的，请指出。答：取广义坐标，广义力则与关节力矩相对应。考虑到各杆质量均集中于一点，各杆相对质心坐标系的惯性张量可忽略不计。杆1质心位置和线速度： 杆2质心位置和线速度： 两杆动能 两杆势能 系统总动能 系统总势能 代入式(9.53)，并化简得： 与题目所给式子对比可得不同项。有人用拉格朗日法推导的平面RR机器人动力学方程如下：试求：其中部分项是不正确的，请指出（仅存在多余项与正负号错误）；去掉多余项并修正正负号后，将其写为机器人动力学方程通式形式（矩阵乘积形式），并指出惯性力项、科氏力项、向心力项和重力项。答：略试利用拉格朗日法求解SCARA机器人（图5-11）的动力学方程。答：SCARA机器人示意图如下为分析简便，将每根杆的的质量放到末端一点，同时认定Z轴方向如图竖直向上。第三和第四关节造成的自由度运动均放到质量块m3上一起分析。此时各连杆的惯性张量为： 选取广义坐标为杆1质心的位置和线速度： 杆2质心的位置和线速度： 杆3质心的位置和线速度： 三杆动能分别为：三杆势能分别为： 代入拉格朗日方程，求得 就计算效率而言，求解机器人动力学的牛顿-欧拉迭代法是否一定比拉格朗日法高？答：从计算机计算角度说，由于拉格朗日法中涉及大量计算机不擅长的偏导数计算，而牛顿-欧拉法则是计算机擅长的递推计算，因此牛顿-欧拉法的效率更高。但对于自由度少，或者通过机构设计实现某种运动学上解耦的机器人，牛顿-欧拉法仍具有较为复杂的形式，但拉格朗日法可以手推出形式简单的解。利用POE公式推导如图9-4所示的RP机械臂的动力学方程，假设每个杆的质量均集中在杆的质心处，分别为m1和m2。答：略利用牛顿-欧拉法推导如图9-4所示的RP机械臂的动力学方程，假设每个杆的质量均集中在杆的质心处，分别为m1和m2。解：假设杆的质量都集中在杆的末端，各杆质心位置如下： 各杆相对其质心坐标系的惯性张量均为0，即 选取广义坐标和广义力如下： 对旋转关节而言，有由于基座静止，因此有 对于杆1，对移动关节而言，有对于杆2，第二阶段，向内递推，计算各连杆的内力。首先计算惯性力、力矩： 对于杆2， 因此，关节2的关节力矩为 对于杆1，因此，关节1的关节力矩为写成矩阵的形式： 考虑电机的转子惯量时，其动能将出现以下新增项： 其中， 根据拉格朗日方程，得到与加速度相关的两个关节转矩新增项分别为 等效质量矩阵也会出现新增