电磁场与电磁波第3章

第3章介质中的麦克斯韦方程

本章将讨论一般介质中的麦克斯韦方程，这首先需要了解介质的电与磁的性能以及一些简单概念。通过分析发现，如果引入极化矢量和磁化矢量，就可以很方便地来描述普通介质中麦克斯韦方程的一般形式。本章还将引入介质中相对介电常数的定义,而且会看到与介质折射率n之间存在着直接的联系。真空中的麦克斯韦方程或介质中的麦克斯韦方程预测极化电荷极化电流磁化电流1.介质特性：电偶极矩、分子极化率、极化矢量4.一般媒质中的麦克斯韦方程重点：3.磁偶极矩、磁化强度矢量、

2.介质的折射率、相对介电系数

5.介质中的三个物态方程6.场量的边界条件

3.1电介质及其极化

1.电介质一般来讲电介质可分为两大类：一类是无极分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质中正负电荷的中心是重合的，处于电中性状态，对外不显电性，如Ｈ2、Ｎ2等气体物质。第二类是有极分子电介质，如Ｈ2O当没有外电场作用时，这类电介质中的正负电荷中心不重合，每个分子可等效为一个电偶极子，但由于分子的无规那么热运动，使得电偶极子的分布排列是无规那么的。因此，整体仍呈电中性，对外也不显电性。3、束缚电荷〔boundcharge〕不能离开电介质，也不能在电介质内部自由移动的电荷。2、电介质的极化

在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及外表上出现束缚电荷的现象。假设电场中分子内部的电荷q在电场的作用下从它的平衡位置移动了一段距离x，如果被移动的电荷质量为m，其受到的恢复力与位移成正比，那么电荷的受力方程可以表示为3.2单个分子的分子偶极矩

式中：为阻尼力，为弹性恢复力，为加速度。在时谐电场中因此有那么电荷位移式中虚部与有关，这说明我们所讨论模型的衰减使得位移与电场力不同相。定义：分子内的电偶极矩

并且假设引入分子极化率那么电偶极矩为3.3极化矢量

对介质中的一般分子模型所进行的讨论，说明我们可以在两组不同的条件下来描述介质中的电荷特性。根据电荷偏离其平衡位置时的位移,我们对分子中的电荷特性进行过讨论，虽然这时电荷能够发生位移,然而它们的移动范围却是受到分子约束的。尽管很高的场强会使介质中的电荷摆脱这种约束而变成自由电荷并造成介质中产生“击穿〞现象,但对这种情况我们暂且不作讨论。对属于介质中分子的电荷来说〔这种电荷又称为“束缚电荷〞〕，其它的电荷是被吸引进介质的——例如自由离子或自由电子,其运动不受分子约束力限制,故被称为“自由电荷〞，于是我们可以将这两种不同类型的电荷集中表示为极化矢量的定义与电荷密度和电流密度之间的关系，与分子偶极矩之间的联系。如下图，假设某介质的单位体积内包含有个分子，设每个分子由相距为的正负电荷组成，考虑介质内某曲面上的一个面.当偶极子的负电荷位于图中的体积中时，其正电荷就穿出界面外。穿出界面dS外的正电荷为其中：故有上述结论与介质结构的情况无关,具有普遍意义。这样,我们就可以对任何介质写出其应满足的麦克斯韦方程。麦克斯韦方程的一般形式为对闭合面积分，得到闭合体积内穿出的总的正电荷用表示单位体积中的极化电荷，那么进一步有在上式中令又由于故有此式称为反映介质极化的物态方程相对介电常数介电常数3.5高密度介质中的电场当出现外加电场时，介质中的每个分子都被极化，并产生一个电偶极矩，从而在周围建立自己的电场．出于库仑作用是长程的，每个分子除了受到加电场的作用之外，还要受到其他分子的感应电矩的电场的作用；这两部分电场合起来记作，称为局域场(localfield)．为宏观外加的电场；对于单个分子来说才是真正的外电场，这里没有计及来自这个分子本身内部电荷的电场，而这个分子以外的所有因素却都考虑到了．因此，极化强度应写成与的线性关系()而不是与的线性关系

气体中，由于分子的整体旋转热运动的结果，使内电场的取向随着分于一起旋转；因此其效应在作热平均值时抵消了，在宏观上就表现不出来．这时，可以简单地认为分子本身内部电荷的电场为零，对于晶体结论也是成立的。

考察一种介质,它是由呈气态或液态的中性分子所组成。对于这种流体介质，一般可以认为它是各向同性的〔isotropic〕。由于单个分子中的电荷是别离的，所以如果施加一个电场就会产生介质的极化，极化的方向与所施加电场的相同。比方，在静电场的情况下，介质充满于平行板电容器〔parallel-plateCapacitor〕的两个极板之间，介质中任一点处的场与以下因素有关：〔i〕金属板上的电荷与介质极化面电荷所构成的介质外外表的电荷分布；〔ii〕所考察的场点周围分子偶极子所产生的附加影响。3.5高密度介质中的电场前面一种因素的作用较为简单，它可由单位面积上的自由电荷来确定，其中包括了电解质的宏观效应的奉献，即在对上述第二种因素的影响进行讨论时,我们遵循的是洛伦兹的方法，即作一个包围场点的半径为R的球面，如下图，在球面的内部,可认为介质能够表达出单个分子的特性,而在球面外部那么认为介质是呈电中性的。球内的介质在球心产生的电场，且为零球外的介质在球心产生的电场E1归结为电介质被挖去一个球体后，球腔内壁电荷在球心所产生的电场洛伦兹有效场3.5由于全局部子偶极子在球体中心的总的场强矢量和的值为零，因此,能在球体中心产生电场就只剩下两个来源了：(i)介质外外表极板上的电荷(ii)球的内外表上的极化电荷。因此,局部电场可以表示为即此式说明，局部电场的影响可使电场增强洛伦兹有效场洛伦兹有效场修正又因为比较上面两式可得如果不可虑内部场加强效应，那么成为前面的结果3.6折射率与相对介电常数介质的折射率(refractiveindex)n定义为其中c是电磁波在真空中的速度，v那么是电磁波在折射率为n的介质中的速度。前面我们已经定义了一个反映介质特性的量——相对介电常数下面我们来寻求折射率n与之间的关系：令那么介质中的麦克斯韦方程变为方程4那么为对方程4两端取旋度，并代入方程2和方程3，可得这是一个关于B的波动方程波速ｖ为因为所以3.7磁化的概念介质的磁化〔Magnetization〕和介质的极化一样，也是和物质的结构紧密相关的。根据原子的简单模型，电子沿圆形轨道围绕原子核旋转，其就像一闭合的圆电流，具有一定的磁矩，电子和原子核还在自旋，也存在磁效应。所有的磁效应可等效为一个圆电流，这个圆电流成为分子电流。即磁偶极子(magneticdipole)。由于热运动等原因，物质中的圆电流的磁场常常互相抵消，因而总体对外并不显示磁性。介质中的电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动形成的电流，称为束缚电流(boundcurrent)，也称磁化电流〔Magnetizationcurrent〕。在没有外加磁场的作用下，绝大局部材料中所有原子的磁偶极矩(magneticdipolemoment)的取向是杂乱无章的，结果总的磁矩为，对外不呈现磁性。在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化。可以证明，磁介质磁化后对磁场的影响，可用磁化电流密度来等效磁化电流不同于自由电流，其电荷运动是被束缚在媒质内部的，因而也叫束缚电流。为了描述及衡量介质的磁化程度，我们定义磁化强度矢量式中是一个分子电流的磁矩，也称磁偶极矩，3.8磁化电流与磁化矢量可以证明，磁介质磁化后对磁场的影响，可用磁化电流密度来等效磁化电流不同于自由电流，其电荷运动是被束缚在媒质内部的，因而也叫束缚电流。3.9磁场强度引入磁化电流后，磁介质中安培环路定律的微分形成可写成即令那么称为磁场强度，它也是描述磁场的一个物理量。对于各向同性及线性磁介质，由实验可证明式中为磁化率（Magneticsusceptibility），是一个标量常数。可得称此式为反映介质磁化的物态方程。

式中为磁介质的磁导率，为磁介质的相对磁导率。3.10磁介质所谓磁介质，就是在外加磁场的作用下，能产生磁化现象，并能影响外磁场分布的物质。事实上，除了真空外，其它任何物质都是可磁化的磁介质，只不过磁化效应的强弱存在差异而已。根据物质的磁效应的不同，磁介质通常可分为：抗磁质、顺磁质、铁磁质、亚铁磁质等。抗磁质主要是电子轨道磁矩产生磁化现象引起的，自旋磁矩可忽略，在外磁场的作用下，电子轨道磁矩的方向和外磁场的方向相反。这时磁化率，相对磁导率，与的方向相反，磁介质内变小。顺磁质主要是电子自旋磁矩引起的。轨道磁矩的抗磁效应不能完全抵消它，在外磁场作用下电子的自旋磁矩和外磁场方向一致,这时磁化率，相对磁导率，与的方向相同。铁磁质在外磁场的作用下，呈现强烈的磁化，能明显地影响磁场的分布。在铁磁材料中，存在许多天然小磁化区，即磁畴。每个磁畴由多个磁矩阵方向相同的原子组成，在无外磁场作用时，各磁畴排列混乱，总磁矩相互抵消，对外不显示磁性。但在外磁场作用下，磁畴企图转向外磁场方向排列，形成强烈磁化。因此，铁磁性物质的磁化，是由于外磁场与磁畴作用的结果。撤去外磁场后，局部磁畴的取向仍保持一致，对外仍然呈现磁性，称为剩余磁化。时间长了，或温度升高，会消失。铁磁材料是一种非线性磁介质，其曲线与磁化历史有关，形成了一个磁滞回线。亚铁磁质是指其中某些分子〔或原子〕的磁矩与磁畴平行，但方向相反。在外磁场作用下，这类材料也是呈现较大磁效应，但由于局部反向磁矩的存在，其磁性比铁磁材料要小。在工程技术上用得较多的是铁氧体，其最大特点是磁导率是各向异性的，而介电常数那么呈各向同性。3.11介质中的麦克斯韦方程组引入反映介质极化的物态方程引入反映介质磁化的物态方程可写出一般媒质中的麦克斯韦方程从物理本质上看，E和B是场的根本物理量，D和H是辅助物理量另外，还有电流连续性方程可以证明:由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连续性方程，可导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。也就是说，麦克斯韦方程组的四个方程，再加上电流连续性方程这5个方程，事实上只有三个方程是独立的。为了获得电磁场的解，还需要利用三个物态方程：才可得到一般媒质中完整的麦克斯韦方程组的解。3.12电磁场的边界条件研究边界条件的出发点仍然是麦克斯韦方程组，但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，使得场量也可能产生突变，因此，微分形式的方程可能不再适用，而只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导出边界条件。电磁场的边界条件通常包括边界面上场量的法向分量〔Normalcomponent〕切向分量〔Tangentialcomponent〕1、一般媒质界面的边界条件如图为两种一般媒质的交界面，第一种媒质的介电常数、磁导率、电导率分别为，，；第二种媒质的分别为,,媒质1媒质2〔1〕D的边界条件如下图，在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上下底面与分界面平行.在柱形闭合面上应用高斯定律：那么此式即为的法向边界条件，它表明：的法向分量在分界面处产生了突变当时，的法向分量变为连续。或面电荷C/m2同样的道理可以得出P的边界条件或与上图类似，应用高斯定律得：〔2〕B的边界条件即此式即为的法向边界条件，它表明：的法向分量在分界面处总是连续的。或与上图类似，由电流连续性原理故说明：当分界面处电荷面密度发生变化时，其电流密度的法向分量产生突变，突变量为电荷面密度的变化率。〔3〕J的边界条件得即或如图，电场强度的边界条件通常用电场的切向分量来表示，h为无限小量。可得说明：电场强度的切向分量是连续的。由麦克斯韦第二个方程：〔4〕E的边界条件得或故可得说明：当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向方向是连续的。与上图类似，由安培环路定律知〔5〕H的边界条件左边右边或线电流密度，定义为垂直通过单位横截线的电流（A/m）说明：当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向方向是连续的。〔5〕H的边界条件在上式的两边同时叉乘并注意到可得故同样的道理可以得出M的边界条件或边界条件总结理解与记忆！法向分量切向分量思考2、几种特殊介质的边界条件在研究电磁场问题时，下述分界面的讨论经常出现：〔1〕两种无损耗线性介质的分界面，也就是两种理想介质的分界面理想介质属无损耗介质，其电导率这时有

理想介质中没有传导电流。对于无源的情况，因为所以有

这说明：在无源空间，理想介质分界面上，各场量连续。〔2〕理想介质与理想导体的界面

理想介质的电导率理想导体的电导率可知：理想导体内部不存在电场。根据

根据电场旋度方程可知，理想导体内部不存在电场，也不会存在单独的磁场；根据磁场旋度方程可知内部不存在时变电流密度；根