2021年河北省唐山市迁安沙河驿高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年河北省唐山市迁安沙河驿高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的值域是（

）A．R

B.（0,+）

C.（2,+）

D.参考答案：D略2.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则函数F（x）=f（x）﹣x零点个数为（）A．4 B．3 C．1 D．0参考答案：B考点： 根的存在性及根的个数判断．

专题： 函数的性质及应用．分析： 利用奇偶性求解f（x）解析式构造f（x）=，g（x）=x，画出图象，利用交点个数即可判断F（x）零点个数．解答： 解：∵在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]=x2+2x，∴f（x）=，g（x）=x，根据图形可判断：f（x）=，与g（x）=x，有3个交点，即可得出函数F（x）=f（x）﹣x零点个数为3，故选：B．点评： 本题考查了复杂函数的零点的判断问题，构函数转化为交点的问题求解，数形结合的思想的运用，关键是画出图象．3.已知向量=（1，3），=（﹣2，m），若与+2垂直，则m的值为(

)A．﹣1 B．1 C．- D．参考答案：A专题：计算题；平面向量及应用．分析：求出向量，然后利用向量垂直数量积为0，求出m的值即可．解答：解：因为向量=（1，3），=（﹣2，m），所以=（﹣3，3+2m），因为与垂直，所以?（）=0，即（1，3）?（﹣3，3+2m）=0，即﹣3+9+6m=0，所以m=﹣1．故选A．点评：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力4.若函数对于任意的都有，且，则（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B试题分析：由可知函数周期，当时可知，，，因此.故选B.考点：函数的周期性.

5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①，②，③，④，其中属于“同簇函数”的是

A．①②

B．①④

C．②③

D．③④参考答案：D6.已知f（x）在R上是奇函数，图像关于直线x=1对称，当，则f（7）=

（

）

A．

B．2

C．

D．98参考答案：A略7.在球内有相距的两个平行截面,截面面积分别是和,球心不在截面之间,则球面的面积是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A如图,圆O是球的大圆,A1B1、A2B2分别是两条平行于截面圆的直径,过O作OC1⊥A1B1于C1,交A2B2于C2.由于A1B1∥A2B2,所以OC2⊥A2B2.由圆的性质可得,C1和C2分别是A1B1和A2B2的中点.设两平行平面的半径分别为r1和r2,且r1<r2,依题意πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.∵OA1和OA2都是球的半径R,∴OC1=,OC2=，∴-=1.解这个方程得R2=9,∴S球=4πR2=36π(cm2).∴球的表面积是36πcm2.8.如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则此几何体

的表面积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥即

为所求，且，，可求得表面积为.9.已知，则（

）

A．{(－1,1),(1,1)}

B．{1}

C．

D．[0,1]参考答案：C10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EF∥AB．若此几何体中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A．

B． C． D．参考答案：B【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理求出梯形ABFE的高，再计算出各个面的面积即可得出表面积．【解答】解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB﹣EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF==，FQ==，∴S梯形EFBA=S梯形EFCB==3，又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，∴几何体的表面积S=3++8=8+8．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以F1（－1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过点M（1，－）的椭圆的标准方程为＿＿＿参考答案：.12.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为

参考答案：y2=8x略13.阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为

．参考答案：414.关于实数的不等式的解集是

参考答案：15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是

。参考答案：

16.设数列(n＝1，2，3…)的前n项和满足，且成等差数列．则参考答案：34由已知，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，17.设双曲线的右顶点为，右焦点为．过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，则的面积为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

(12分)已知函数.(1)求的表达式;(2)判断的单调性;(3)若对于区间上的每一个x的值,不等式恒成立,求m的取值范围.参考答案：解析：(1)由,得,即,于是.又时,∈(0,1),所以∈(0,1).∴.(2)由于是上的增函数,且,所以是上的增函数,从而是(0,1)上的减函数.(3)即为,亦即在上恒成立.∴解得19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点.（1）证明：平面平面BCP.（2）若，二面角的余弦值为，求PD与平面BDF所成角的正弦值.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）由得平面PAE，进而可得证；（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，所以.又，，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：设，则，因为，所以，同理可证，所以平面.如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.易知为二面角的平面角，所以，从而.由，得.又由，，知，.设平面的法向量为，由，，得，不妨设，得.又，，所以.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.己知四棱锥中，平面，底面是菱形，且．，、的中点分别为，．（Ⅰ）求证．（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．参考答案：（）证明：连结，．∵平面，平面，∴．又∵底面是菱形，，，∴是正三角形．∵是的中点，∴．又∵，平面，平面，∴平面，∴．（）由（）得，由可得．又∵底面，∴，．∴以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，．∵平面，∴平面的法向量为．又∵，．设平面的一个法向量，则：，即，令，则，，∴．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值为．（）是线段上的一点，设．∵，∴．又∵，．设平面的一个法向量为，则：，即，∴，∵平面，∴，，即，解得．故线段上存在一点，使得平行于平面，是中点．21.已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于M，N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.参考答案：【知识点】极坐标方程和直角坐标方程的互化；参数方程的应用

N3【答案解析】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0

（*）△＝8a(4＋a)＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．[由（*）得t