学案3二项式定理

学案3二项式定理二项式定理会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

二项式定理在高考中一般以选择题、填空题的题型出现，重点考查求二项展开式中特定项的系数，求二项展开式中某指定的项或项数，求二项展开式的二项式系数或展开式的系数的性质.有时也考查两个二项式的积或三项式的特定项系数或特定项问题，还有以二项式定理为载体考查数列求和、不等式证明等.1.二项式定理的内容(a+b)n=

.右边的多项式叫做(a+b)n的

，其中的系数(r=0,1,…,n)叫做展开式的

，式中的第r+1项an-rbr叫做二项展开式的

，记作Tr+1=

(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*).二项展开式二项式系数通项2.二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

.（2）增减性与最大值由知，当k<时，二项式系数是逐渐的

，由对称性知它的后半部分是逐渐的

，且在中间取最大值.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项

相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和为2n，即

=2n.（4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即增大减小考点1求二次展开式的特定项

【解析】

【评析】

（1）二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数.（2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力.（1）(1+x+x2)(x-)6的展开式中的常数项为

.（2）在(x+)20的展开式中，系数为有理数的项共有

项.【解析】(1)所以常数项为1×(-20)+=-5.(2)展开式的通项由0≤r≤20,∈Z得r=0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项.（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分别为___________.【分析】根据条件可求出n；再根据n的奇偶性，确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式组确定.考点2最大项问题【解析】T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有·25=·26n=8.∴(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1120x4,设第r+1项系数最大,则有·2r≥·2r-1·2r≥·2r+12(8-r+1)≥rr≤6r+1≥2(8-r)r≥5又∵r∈N，∴r=5或r=6,∴系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6.5≤r≤6.

【评析】(1)求二项式系数最大的项，要根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法.在(3x-2y)20的展开式中,求:(1)二项式系数最大的项是______________;(2)系数绝对值最大的项是_____________;(3)系数最大的项是_____________________.(1)二项式系数最大的项是第11项,T11=310(-2)10x10y10=610x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项,·320-r·2r≥·319-r·2r+1·320-r·2r≥·321-r·2r-1,3(r+1)≥2(20-r)2(21-r)≥3r,解得≤r≤.所以r=8.即T9=312·28·x12y8是系数绝对值最大的项.于是化简得(3)由于系数为正的项为奇数项,故可设第2r-1项系数最大,于是·322-2r·22r-2≥·324-2r·22r-4·322-2r·22r-2≥·320-2r·22r,10r2+143r-1077≤010r2+163r-924≥0.解之得r=5,即2×5-1=9项系数最大.T9=·312·28·x12y8.化简得设（2-x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+…+a100;（3）a1+a3+a5+…+a99;（4）（a0+a2+…+a100）2-(a1+a3+…+a99)2.考点3利用赋值法求二项式系数和的有关问题【分析】利用二项式系数的性质.【解析】（1）由(2-x)100展开式中的常数项为·2100，即a0=2100,或令x=0，则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1，可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100，①∴a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.（3）令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100，②与x=1所得到的①联立相减可得a1+a3+…+a99=.（4）原式=［(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)］［(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)］=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.

【评析】

（1）求关于展开式中系数和的问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,-1,0,….（2）一般地，对于多项式g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+…+anxn.g(x)的各项的系数和为g(1),g(x)的奇数项的系数和为［g(1)+g(-1)］,g(x)的偶数项的系数和为［g(1)-g(-1)］.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=（）A.29B.49C.39D.59

B(由通项公式可知，(1-3x)9的展开式中含x的奇次幂的项的符号均为“-”，即a1,a3,…,a9均小于零.∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9.因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中令x=-1，便可求出其值.即|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=［1-3(-1)］9=49.故应选B.)（1）已知n∈N*,求证:1+2+22+23+…+25n-1能被31整数;（2）求0.9986的近似值,使误差小于0.001.考点4二项式的综合应用【分析】(1)要先用等比数列的前n项和公式,然后应用二项式定理转化成含31的倍数的关系式.(2)把0.998变成1-0.002,然后应用二项式定理展开.【解析】(1)证明:1+2+22+23+…+25n-1==25n-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+·31n-1+·31n-2+…+·31+1-1=31(31n-1+·31n-2+…+)显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.(2)∵0.9986=(1-0.002)6=1-(0.002)+(0.002)2-(0.002)3+…,第三项T3=15×(0.002)2=0.00006<0.001,以后各项更小，∴0.9986≈1-0.012=0.988.

【评析】用二项式定理证明整除问题时，首先要注意（a±b）n中，a,b有一个是除数的倍数.其次展开式有什么规律,余项是什么,必须清楚.近似计算时,可根据精确度要求,展到需要的项即可.证明：2≤(1+)n<3,其中n∈N*.证明：当n=1时，(1+)1=2.当n>1时，(1+)n=1+·+·+·+…+·=1+1+·+…+·>2.当n=1时等号成立.∴(1+)n≥2成立.∵∴(1+)n=1+·+·+…+·≤1+1+<2+=2+=2+1-()n-1=3-()n-1<3.∴2≤(1+)n<3成立.1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr+1=an-rbr,注意(a+b)n与(b+a)n虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不相同的,我们一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是指字母外的部分.

2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr+1.有时还需先求n，再求r，才能求出Tr+1.

3.有些三项展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.