人教版2023年九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测卷 含详解

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A．x2﹣y+2＝0B．x2+2x﹣5＝0

C．D．x﹣y＝2

2．将方程2x2﹣1＝3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A．2，1，3B．2，﹣1，3C．2，﹣3，﹣1D．2，﹣3，1

3．解方程x2﹣4x＝3，下列用配方法进行变形正确的是（）

A．（x﹣2）2＝19B．（x﹣4）2＝7C．（x﹣2）2＝4D．（x﹣2）2＝7

4．方程2x2﹣2＝0的解是（）

A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝±1

5．若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（）

A．2B．3C．﹣4D．﹣9

6．一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（）

A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根

C．没有实数根D．无法判断

7．某工厂由于采用新技术，生产量逐月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至月产量为3000件．若设月平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（）

A．2000（1+x）＝3000B．2000（1+x）2＝3000

C．2000（1+x%）2＝3000D．2000+2000（1+x）＝3000

8．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（）

A．9人B．10人C．12人D．15人

9．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（）

A．7B．8C．9D．10

10．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（）

A．0或B．0或2C．2或D．0或或2

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．已知3xm﹣4+x﹣6＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．

12．把一元二次方程x（x﹣1）＝4（x+1）化为一般形式是．

13．方程x2+5x＝0的解为．

14．有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了个人．

15．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4＝0有实数根，则m．

16．若（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8＝0，则x2+y2的值是．

三．解答题（共6小题，满分52分）

17．（8分）解方程：

（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；

（2）4x2﹣8x+1＝0．

18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．

（1）当m＝﹣1时，请求出方程的解；

（2）试说明方程总有两个实数根．

19．（8分）如图，用80m长的篱笆在墙边（墙长40米）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？

20．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

21．（9分）一种服装的进价为100元/件，经销商经过市场调查发现该种服装如果销售单价为x元/件，则年销售量为（1000﹣2x）件．销售这种服装的员工每年工资等其它费用总计40000元．

（1）用含x的代数式表示每年销售这种服装的获利金额；

注：每年获利金额＝（销售单价﹣进价）×年销售量—其它费用．

（2）若经销商希望该种服装一年的获利金额达32800元，且要使产品年销售量较大，你认为销售单价应定为多少元/件？

22．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．

（1）当x为何值时，点P、N重合；

（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

第21章一元二次方程

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．【解答】解：A．方程x2﹣y+2＝0是二元二次方程，选项A不符合题意；

B．方程x2+2x﹣5＝0是一元二次方程，选项B符合题意；

C．方程是分式方程，选项C不符合题意；

D．x﹣y＝2是二元一次方程，选项D不符合题意．

故选：B．

2．【解答】解：由方程2x2﹣1＝3x可得：

2x2﹣3x﹣1＝0，则有a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；

故选：C．

3．【解答】解：x2﹣4x＝3，

x2﹣4x+4＝3+4，

（x﹣2）2＝7，

故选：D．

4．【解答】解：2x2﹣2＝0，

2x2＝2，

x2＝1，

解得x＝±1．

故选：D．

5．【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2+a﹣4＝0，

则2a2+a＝4，

则6a2+3a﹣9＝3（2a2+a）﹣9＝12﹣9＝3．

故选：B．

6．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×5＝9﹣40＝﹣31＜0，

∴2x2﹣3x+5＝0没有实数根，

故选：C．

7．【解答】解：根据题意得：2000（1+x）2＝3000．

故选：B．

8．【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，

依题意得：x（x﹣1）＝90，

整理得：x2﹣x﹣90＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．

故选：B．

9．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，

∴a+b＝＝﹣1，ab＝＝﹣8，

∴a＝﹣1﹣b，

∴a2+2a+b

＝a2+a+（a+b）

＝a（a+1）+（a+b）

＝a（﹣1﹣b+1）+（a+b）

＝﹣ab+a+b

＝8﹣1

＝7．

故选：A．

10．【解答】解：∵x2≥0，

∴x≥0，

①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；

②1≤x＜2时，x2＝2，解得x＝或x＝﹣（舍）；

③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；

④x≥3时，方程无解；

综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x＝，

故选：D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．【解答】解：由题意，得

m﹣4＝2，

解得m＝6，

故答案为：6．

12．【解答】解：x2﹣x＝4x+4，

x2﹣5x﹣4＝0，

故答案为：x2﹣5x﹣4＝0．

13．【解答】解：分解因式得：x（x+5）＝0，

可得x＝0或x+5＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣5．

故答案为：x1＝0，x2＝﹣5

14．【解答】解：设每轮传染中平均每人传染m人，

依题意，得（1+m）2＝256，

解得：m1＝15，m2＝﹣17（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均每人传染了15人，

故答案为：15．

15．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4＝0有实数根，

∴m≠0且△≥0，即32﹣4×m×（﹣4）≥0，解得m≥﹣，

∴m的取值范围为m≥﹣且m≠0．

故答案为：≥﹣且m≠0．

16．【解答】解：令x2+y2＝x，

则原方程可变形为：x（x+2）﹣8＝0，

整理得到：x2+2x﹣8＝0，

解得：x＝﹣2或x＝4，

∵x2+y2≥0，

∴4x2+y2＝4，

故答案为：4．

三．解答题（共6小题，满分52分）

17．【解答】解：（1）由原方程得：（x﹣2）（x+1）＝0，

∴x﹣2＝0或x+1＝0，

解得x1＝2，x2＝﹣1，

所以，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣1；

（2）解：∵a＝4，b＝﹣8，c＝1，

∴Δ＝（﹣8）2﹣4×4×1＝64﹣16＝48＞0，

∴，

解得，，

所以，原方程的解为，．

18．【解答】（1）解：当m＝﹣1时，原方程化为x2+4x+3＝0，

∴（x+1）（x+3）＝0，

∴x+1＝0或x+3＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝﹣3；

（2）证明：∵x2﹣4mx+3m2＝0中，a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2，

∵4m2≥0，即Δ≥0，

∴原方程总有两个实数根．

19．【解答】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（80﹣2x）米，

根据题意得：x（80﹣2x）＝750，

整理得：x2﹣40x+375＝0，

解得：x1＝15，x2＝25，

当x＝15时，80﹣2x＝80﹣2×15＝50＞40，不符合题意，舍去；

当x＝25时，80﹣2x＝80﹣2×25＝30＜40，符合题意．

答：矩形草坪的长为30米，宽为25米．

20．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，

理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，

∴2a＝2b，

∴a＝b，

∴△ABC的形状是等腰三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴a＝b＝c，

∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，

∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，

即x2﹣x＝0，

解得：x1＝0，x2＝1，

即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．

21．【解答】解：（1）设每年销售这种服装的获利金额为w，

根据题意得：w＝（x﹣100）（1000﹣2x）﹣40000

＝﹣2x2+1200x﹣140000；

（2）根据题意得：﹣2x2+1200x﹣140000＝32800，

解得：x1＝360，x2＝240，

∵要使产品销售量较大，

∴x＝240．

答：销售单价应定为240元．

22．【解答】解：（1）∵P，N重合，

∴2x+x2＝20，

∴，（舍去），

∴当时，P，N重合；

（2）因为当N点到达A点时，x＝