山东省威海市第四中学高三数学理联考试题含解析

山东省威海市第四中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．2.已知等比数列中，若，则该数列的前2011项的积为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，得B（a，2﹣a），联立，得A（1，1），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知zmax=2×1﹣1=1，zmin=2a﹣2+a=3a﹣2，由=﹣2，解得：a=．故选：A．4.实数满足的值为A.8 B.-8 C.0 D.10参考答案：A略5.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3 B．5 C．﹣31 D．33参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质．【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列前n项和公式求．【解答】解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==．故选D．6.若、为锐角△的两内角，则点是…(

)(A)第一象限的点

(B)第二象限的点

(C)第三象限的点

(D)第四象限的点参考答案：D7.等差数列{an}中，a2=3，a3+a4=9则a1a6的值为（）A．14 B．18 C．21 D．27参考答案：A【考点】等差数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6【解答】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1∴a1a6=2×7=14故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题8.各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于(

)

(A)

150

(B)

-200

(C)

150或-200

(D)

-50或400参考答案：解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．Tq10=2．(－3舍)∴S40=10(q40－1)=150．选A．9.某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2C由三视图知几何体为圆锥的，则V=Sh==【思路点拨】根据三视图得到为圆锥的，再根据体积公式求出体积。10.如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心.从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为

（

）A．K

B．H

C．G

D．B′

参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调增区间是_________参考答案：本题主要考查复合函数的单调性，考查了对数函数的定义域，难度较小.

因为函数在定义域上都是递增函数，所以函数的单调增区间即为该函数的定义域，即，解得，所以所求增区间是.12.已知函数，若存在，使得，则实数a的值为______．参考答案：【分析】函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可．【详解】函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.参考答案：9根据不等式组约束条件可知目标函数在(3,0)处取得最大值为9.

14.（5分）已知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是．参考答案：【考点】：基本不等式．不等式的解法及应用．【分析】：正实数a，b满足=3，可得，b+2a=3ab．展开（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2，即可得出．解：∵正实数a，b满足=3，∴，化为，当且仅当b=2a=时取等号．b+2a=3ab．∴（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2．故答案为：．【点评】：本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．15.已知tanα=﹣2，则sin2α+cos2α=．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】方法1：利用“弦化切”及其平方关系即可解决．方法2：利用“切化弦”的转化思想，找到sinα与cosα的关系，利用sin2α+cos2α=1的平方关系，即可得到答案．【解答】解法1：解：∵sin2α+cos2α=1，tanα=﹣2，∴sin2α+cos2α====解法2：解：∵tanα=﹣2，∴sinα=﹣2cosα?sin2α=4cos2α又∵sin2α+cos2α=1∴4cos2α+cos2α=1解得：cos2α=，sin2α=∴sin2α+cos2α=16.已知一元二次不等式的解集为，则的解集为_______。参考答案：略17.（6分）（2015?嘉兴一模）若实数x，y满足不等式组，目标函数z=x+2y，若a=1，则z的最大值为，若z存在最大值，则a的取值范围为．参考答案：6，[，+∞）。【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．若z存在最大值，利用数形结合确定满足条件的不等式关系即可．解：（1）若a=1，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+2y得z=2×2+2=6．（2）由ax+y≤4，得y≤﹣ax+4，则直线y=﹣ax+4过定点（0，4），若﹣a≥0，即a≤0时，目标函数z=x+2y无最大值，此时不满足条件．若﹣a＜0，即a＞0时，要使z存在最大值，则直线y=﹣ax+4的斜率﹣a，满足﹣a，即a≥，故此时a的取值范围为[，+∞）故答案为：6，[，+∞）【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某先生居住在城镇的处,准备开车到单位处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如下图(如

算作两个路段：路段发生堵车事件的概率为,

路段发生堵车事件的概率为).

(Ⅰ)请你为其选择一条由到的路线,便得途中发生堵车事件的概率最小；

(Ⅱ)若记路线中遇到堵车次数为随机变量,求的数学期望.参考答案：解析:（1）记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率为同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率为为.(小于).路线A→E→F→B中遇到堵车的概率为(小于)显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．P（=0）=P（··）=，P（=1）=P（AC··）+P(·CF·)+P(··FB)

=··+··+··=,P（=2）=P（AC·CF·）+P（AC··FB）+P（·CF·FB）

=··+··+··=，P（=3）=P（AC·CF·）=··=，∴E=0×．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为．19.如图，中，点，。圆是的内切圆，且延长线交AB与点D，若（1）求点C的轨迹的方程（2）若椭圆上点处的切线方程是①过直线上一点M引的两条切线，切点分别是，求证直线恒过定点N；②是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。参考答案：解析：（1）据题意从而可得由椭圆定义知道，C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆

所以所求的椭圆的方程为.

（2）①设切点坐标为,,直线上的点的坐标.则切线方程分别为.又两切线均过点,即,从而点的坐标都适合方程,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线的方程是,显然对任意实数,点都适合这个方程,故直线恒过定点.②将直线的方程,代入椭圆方程,得

,即..不妨设.,同理.所以

.故存在实数,使得.略20.（本小题满分10分）

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F连结CE．（1）求证：；（2）求证：参考答案：证明：（1）连结，，∵为的直径，∴，∴为的直径,∴,∵，∴,∵为弧中点，∴，∵,∴,∴∽，∴，

………………5分（2）由（1）知，,∴∽,∴,由（1）知，∴．

………………10分21.已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．参考答案：（1）（2）

当时，由，解得；当时，，不成立；当时，由，解得．所以不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵，∴，又不等式的解集不是空集，所以，，所以，即实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几