智能控制-模糊控制2

第2章模糊逻辑控制华东理工大学自动化系罗健旭主讲本节内容2.3模糊关系模糊关系的概念、定义模糊关系的合成2.4模糊逻辑与近似推理预备知识：笛卡尔积令U和V为两个经典集合，U和V的笛卡尔积记为U×V,是所有序对（u,v)的集合，其中：即例1:则预备知识：经典关系经典集合U、V中的一个二元关系是笛卡尔积U×V的一个子集。例2：对于例1中U，V，如若令Q(U,V)表示U、V上的关系“第一个元素不小于第二个元素”。则：注：关系也是集合可以用下面的隶属度函数来表达一个二元关系：当包含的元素个数有限时，可将隶属度函数的值放到一个关矩阵中。如例2中的关系可用下面的关系矩阵表述：213234UV注：经典关系表达的是集合间的清晰关系，即集合的元素间要么有关系，要么没有关系。2.3模糊关系引言：用经典关系难以表述集合间的模糊关系，如“A与B很相似”，“x比y大很多”等。借助于模糊集合理论，可以定量地描述这些模糊关系。例3令

U={北京,苏州,哈尔滨}，V={上海,香港}，现打算确定这两个城市集合之间非常远这一概念。上海UV香港北京苏州哈尔滨2.3.1模糊关系的定义及表示定义：设是两个非空集合，则积空间、中的一个模糊子集称为从到的一个模糊关系，可表示为：说明：1、模糊关系是模糊集合，由其隶属函数完全刻画。序偶(X,Y)的隶属度为：2、当论域都是有限集时，模糊关系可以用模糊矩阵来表示。模糊关系的模糊矩阵表示设模糊矩阵的元素表示论域X中的第i个元素xi与论域Y中的第j个元素yj对于关系R的隶属程度,即模糊关系举例说明设{（(子，父),0.8），（(子，母),0.3），（(女，父),0.3），((女，母),0.6)}子女父母说明:模糊关系是定义在直积空间的模糊集合,所以他也遵从一般模糊集合的运算规则,如包含,交,并,补等为家庭中的儿子和女儿,对于“子女与父母长得相似”的模糊关系为家庭中的父亲和母亲,，如下：2.3.2模糊关系的合成设它具有隶属度：(1)交(2)代数积其中,∨是并,表示对所有取最大值;*可定义为如下运算:是论域，是到的一个模糊关系是到的一个模糊关系，的合成也是一种模糊关系记为：则和模糊关系合成举例例4:已知子女与父母的相似关系的模糊矩阵为R;父母与祖父母的相似关系的模糊矩阵为S：

求子女与祖父母的相似关系的模糊矩阵：R=子女父母父母S=

祖父祖母模糊关系合成举例1、采用最大—最小合成2、采用最大—积合成模糊关系合成的图解0.80.70.70.1子女父母祖父祖母一种较简便的合成方法的合成运算，可看作关系矩阵和关系矩阵的相乘。最大—最小合成：计算T的每个元素时，将每个乘积运算看作一个min运算，每个求和运算看作一个max运算。最大—积合成：计算T的每个元素时，每个求和运算看作一个max运算。2.4模糊逻辑与近似推理2.4.1语言变量L.A.Zadah为语言变量给出了如下的定义：

语言变量由一个5元组(x,T(x),U,G,M)来表征。其中x是变量的名称，U是x的论域，T(x)是语言变量值的集合，每个语言变量值是定义在论域U上一个模糊集合，G是语法规则,用以产生语言变量x的值的名称，M是语义规则，用于产生模糊集合的隶属度函数。

语言变量举例例如，考虑语言变量“速度”则x=“速度”,(语言变量名称）U=[0160]，（论域）T(x)=T(速度)={慢,适中,快,很慢,稍快,……}（语言变量值集合，其中每个值是定义在论域上的模糊集合）T(x)的取值集合是由语法规则G确定的；而模糊语言的隶属度函数是由语义规则M确定的。如：快中慢2.4.2模糊蕴含关系什么是模糊蕴含关系？

if—then规则：ifx是A，theny是B这叫做模糊规则，模糊蕴含或模糊条件语句。注：式中A和B是语言值，分别由x和y中模糊集合所确定。实质上，该表达式描述了变量x与y之间的关系。因此，我们可以把“if—then”规则定义为乘积空间中二元模糊关系。

例如：现有规则

if温度为高，then冷却水阀门开度为高。上述模糊规则蕴含了温度(x)与冷却水阀门开度(y)之间的关系，这个关系就是模糊蕴含关系。模糊蕴含关系的运算方法（1）模糊蕴含最小运算（Mamdani)(2)模糊蕴含积运算（Larson)模糊蕴含关系运算举例例5：若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”。用不同方法计算上述模糊蕴含关系。令x=“炉温”，y=“电压”，有X=Y={1,2,3,4,5}令A=“炉温低”={1/1，0.8/2,0.6/3,0.4/4,0.2/5}令B=“电压高”={0.2/1,0.4/2,0.6/3,0.8/4,1/1}则上述模糊规则可表示为：如果x是A,则y是B.其模糊蕴含关系计算如下：1、模糊蕴含最小运算方法为了运算方便，离散的模糊集合可用相应的模糊向量来表示。2、模糊蕴含积运算方法2.4.3近似推理基于传统二值逻辑的假言推理：前提1(事实):x是A前提2(规则)：ifx是A，theny是B

结果(结论):y是B在这里，前提1中的A与前提2中的A严格一致。近似推理基于模糊逻辑的近似推理例如有隐含“如果苹果红了，则苹果熟了”，现在有“苹果有点红了”，则可推出“苹果有点熟了”。

这里，A’接近于A,B’接近于B。当A’,A,B’,B是适当论域中的模糊集合时，上述推理过程称之为近似推理或模糊推理，也称作广义的假言推理(简写成GMP)前提1(事实)：x是A’前提2(规则)：ifx是A，theny是B

结果(结沦)：y是B’近似推理过程前提1(事实)：x是A’前提2(规则)：ifx是A，theny是B结果(结沦)：y是B’注：（1）模糊蕴含关系R的计算可以采用上多种方法，但模糊控制中通常选用上面介绍的两种方法RC,RP。（2）合成方法的选择如下。

则：合成算法介绍：1、最大-最小合成算法2、最大-代数积合成算法近似推理举例例6（前提同例5）若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”。试问当炉温为“低”、“非常低”、”略低”、“不低”时，应施加怎样的电压?

令x=“炉温”，y=“电压”，有X=Y={1,2,3,4,5}令A=“炉温低”={1/1，0.8/2,0.6/3,0.4/4,0.2/5}令B=“电压高”={0.2/1,0.4/2,0.6/3,0.8/4,1/1}则上述模糊规则可表示为：如果x是A,则y是B.设A’为A、非常A，略A和非A时，B’是什么？模糊蕴含采用最小算法，合成算法采用最大_最小算法近似推理的直观解释采用最小模糊蕴含和最大—最小合成。W称为规则的匹配度A’BB’A多输入、多规则的近似推理1、句子连接词“and”前提1(事实)：x是A’andy是B’前提2(规则)：ifx是A，andy是B,thenz是C结果(结沦)：z是C’推理过程:模糊蕴含关系:A×B→C合成: 看作积空间X×Y上的模糊集合2、规则连接词“ALSO”

ifx是Ai，andy是Bi,thenz是Ci规则之间用Also连接.对also采用求并运算.习题与思考题考虑三个二元模糊关系，他们由下面的关系矩阵定义：用最大—最小合成法和最大—代数积合成法