微积分在不等式中的应用

摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括：微分、积分及其应用。微积分是与应用联系着发展起来的，微积分的发展极大的推动了数学的发展。不等式是数学学科中极为重要的内容，证明不等式的方法多种多样，有些不等式用以前学习的方法来证明比较麻烦，其证明通常不太客易。本文回忆了几种常用的证明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函数的单调性、极值〔最值〕的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，本文探讨了如何巧妙利用微积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。用微积分证明不等式成立,基本思路是构造一个辅助函数,把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态，然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与不等式的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。关键词：微积分；不等式；证明；应用AbstractThecalculusisstudyonthefunctionofHigherMathematicsinthedifferential,integralandrelevantconceptsandapplicationsofmathematicsbranch.Itisabasicdisciplineofmathematics,mainlyincluding:differential,integralanditsapplication.Calculusdevelopswiththeapplication,thedevelopmentofcalculusgreatlypromotedthedevelopmentofmathematics.Inequalityisaveryimportantcontentinmathematics,thevariousmethodstoproveinequality,somemethodsofinequalitybythepreviousstudytoprovetroublesome,itisusuallynottooeasy.Thispaperreviewstheelementarymethodstoproveinequality,_theuseofdifferentialmeanvaluetheorem,themonotoneofthefunction,extreme(maximum)determinationmethod,_convex-concavefunction,_theTaylorformula,_thedefiniteintegral,_someknowledgeofcalculusmethodtoproveinequality,thispaperdiscusseshowtoskillfullyusetheknowledgeandmethodofthecalculustosolvesomeoftheproblemsofinequality.Usingcalculustoproveinequality,thebasicideaistoconstructanauxiliaryfunction,theproofofinequalityintotostudyfunctionusingcalculusform,thenusethecalculuscalculatethepropertiesofthefunctiontoproveinequality.Hopethatthroughthispapercanmakepeopleawareofthecloserelationshipbetweencalculusandinequality,Letusbeawareoftheimportanceofintegratingtheorywithpractice.Keywords:calculus;inequality;prove;application目录摘要 I Abstract II1绪论 4 学术背景 4 微积分的实践意义 4 国内外研究现状 5 课题研究的主要内容 5 TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2微积分 6..微积分定义 6..微积分的发展史 7.本章小结 8..\o"CurrentDocument"3微积分在不等式中的应用 9.\o"CurrentDocument"利用微分中值定理证明不等式 9.\o"CurrentDocument"微分中值定理〔拉格朗日中值定理〕 9\o"CurrentDocument"微分中值定理在不等式中的应用 9.\o"CurrentDocument"利用函数的单调性证明不等式 1.0函数的单调性 1.0\o"CurrentDocument"函数单调性在不等式中的应用 1.0\o"CurrentDocument"利用函数的极值（最值）证明不等式 11函数的极值定理 11函数极值在不等式中的应用 12\o"CurrentDocument"利用函数的凹凸性质证明不等式 13函数的凹凸性质 13\o"CurrentDocument"函数的凹凸性质在不等式中的应用 13利用泰勒公式证明不等式 14泰勒公式 14泰勒公式在不等式中的应用 15\o"CurrentDocument"利用定积分的性质证明不等式 16定积分的性质 16定积分在不等式中的应用 16本章小结 174结论 1.8...\o"CurrentDocument"参考文献 1..9致谢 2..0...1绪论1.1学术背景微积分的产生是数学上的伟大创造，它是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。其地位介于自然和人文科学之间，成为高等教育成果硕然的中介。想真正理解数学的力量和表现，就必须从历史的角度来理解这一领域发展至今的现状，以广阔的视野看待数学。初等数学中不等式问题涉及知识面广方，法灵活多变，一直是数学学习和教学的难点。微积分理论是高等数学的基础同，样也是研究高中数学与中学数学关系时不可或缺的部分。它除了对中学数学有重要的指导作用外还，能在中学数学的许多问题上起到以简驭繁的作用微。积分应用于初等数学，使一些证明更严谨或更简单，并为许多问题提供了新的解决途径本。文试图应用微积分方法解决一些不等式中的证明问题。在学习微积分理论时，学生自然会透过公式的表象，从中去探索和挖掘自身的思维能力。此外，微积分证明不等式的教学理念在培养学生数学思维能力方面发挥着不可小觑的作用。因为微积分证明不等式能够不拘泥于固定的模式，途径灵活多样，通过这些优点令学生举一反三、易于掌握，将不等式的证明过程纳入到微积分理论领域中。微积分的实践意义微积分的研究，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。不等式的证明是数学学习中的重要内容之一其常用方法有：比较法、反证法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、特殊不等式法等假设干方法。不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法。例如，数形结合的思想、转化的思想、类比的思想、分类讨论思想、建模的思想等。不等式同时也是高中知识的一个重要的章节，高中时就学习了很多基本的不等式证明方法。不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位，是教学的一个重点，也是学习的一个难点。但是有些不等式利用上述方法证明起来比较困难，这时我们从函数的观点去认识不等式，以微积分为工具，把不等式的证明转化为利用微积分研究函数的性质，相比照较简单。利用微积分与不等式之间的密切联系，把微积分作为解决不等式问题的一种重要工具；用微积分证明不等式的实质就是构造函数，然后利用微积分与函数之间的关系来证明不等式。微积分作为数学学科的重要内容，利用其证明不等式是一种非常有效的方法，它能将某些不等式的证明化难为易。1.3国内外研究现状微积分在不等式证明中的应用已经在国内外都取得了一定的研究成果，特别是采用的方法上更是有着百花齐放的壮观。目前在这方面国内有了比较全面深度的研究，国外的研究更侧重深度的展开。课题研究的主要内容不等式涉及数量之间大小的比较，而通过比较常能显示出变量变化之间互相制约的关系，所以对不等式的研究无论是实践应用还是理论分析都有重要的意义。对于较复杂的不等式，用一般的解不等式的方法往往需要很多技巧，微积分是高等数学的重要组成部分，是一种实用性很强的数学方法和工具，用它来解不等式就可以使解题思路变得简单。本章就从此基点出发，介绍利用微积分证明不等式的几种方法：微分中值定理，函数的单调性，极值〔最值〕的判定法，函数的凸凹性质，泰勒公式，定积分的性质等对不等式证明进行了探究与归纳。0 1 n一0 1 n一1 n函数值fG)与ii艮I，这时我们称这个极限I为函af(x)db xJaf(x)d„I„lim<f(g)Axx ii即b xt0i„i数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作2微积分2.1微积分定义概念微积分〔Calculus〕是高等数学中研究函数的微分〔Differentiation〕、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。设函数在某区间内有定义，x及x+Ax在这区间内，假设函数的增量可00表示为Ay„AAx+o(A%)，其中A是不依赖于Ax的一个常数，o,Ax)是Ax的高阶无穷小，则称y„f(x)在点x处可微。AAx叫做函数y„f(x)在点x相应于自00变量增量Ax的微分，记作d，即d„AAx设函数f(x)=0在…a,b］上有解，在［a,b］中任意插入假设干个分点a„〜V現V•••<x.Vx„b把区间［a,b］分成n个小区0 1 n—1 n［x,x］・・・［x ,x］在每个小区间L,x］上任取一点g(x<g<x),i—1i i i—1 ii小区间长度的乘积f(g)Ax ，并作出iis„<,g)aii„1如果不管对［a,b］怎样分法，也不管在小区间上的点g怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和s总趋于确定的极2.2微积分的发展史从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决数，学也开始研究变化着的量数，学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。随着时代的发展微积分在数学领域得到了很重要的发展十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题作了大量的研究工作如，法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了奉献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里单独研究和完成了微积分的创立工作。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否认了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的发展开来。微积分的发展历史说明了人的认识是从生动的直观开始，进而到达抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展，人类对自然的探索永远不会有终点。2.3本章小结微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样，这和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样。微积分是证明许多定理与公式的工具，特别是在不等式中具有更重要的意义。3微积分在不等式中的应用3.1利用微分中值定理证明不等式3.1.1微分中值定理〔拉格朗日中值定理〕定理假设函数f(x)满足如下条件：〔i〕f(x)在闭区间［a,b］上连续，〔ii〕f(x)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点,,使得f'(,)„f⑹—f(a)b一a注：这里没有给出,确实切位置，而对于不等式而言，也不必精确•因此可用中值定理证，这时的关键是选择f(x)及区间［a,b］•拉格朗日中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，虽然它的结论形式似乎是一条等式，但是由于a…,…b，因此f'(,)将有一个取值范围，于是就可将等式转化为不等式。微分中值定理在不等式中的应用一般地，假设所要证明的函数不等式或数值不等式含有增量f(b)-f(a)或者可以生成增量f(b)-f(a)〔或增量的商〕f(b)一f(")，则可考虑借助于拉格b-a朗日中值定理证明，证明的关键是函数和区间的选取；证明区间上的不等式，特别是含有两个不等号时，可考虑利用拉格朗日中值定理。例1：证明：当x>0,证明亠…ln(1+x)…x1+x证明：设f(t)=lnt，区间为11,1+1］显然，f(t)在11,1+x］上满足拉格朗日中值定理条件则有ln(1+x)一ln1=广(,)(1+x一1)=1x，丘(1,1+x),即ln(1+x)=1x

又因为1<€<1，x,所以有丄<f<x,1+x€艮卩一^—<ln(1,x)<x1,x例2证明：当0<a<b时，口<ln-<baa证明：设f„x)=lnx,它在区间［a,b］满足拉格朗日中值定理的条件,lnb-lnab-a由于1<1<ab-ab-ab-a故< <b€ab-abb-ab<ln<aa利用函数的单调性证明不等式3.2.1函数的单调性函数的单调性，在微积分中用导数来判定.定理1.设函数f(x)在区间(a,b…上可导，则f(x)在(a,b…内递增(递减)的充要条件是：f'(x)>0(或f'(x)<0)，xe(a,b…2•设函数f(x)在［a,b］连续，在(a,b…内可导，如果在(a,b…内广(x)>0(或f'(x)<0)，那么f(x)在［a,b］上严格单调增加(或严格单调递减)3•设函数f(x)在(a,b…内可导，假设x)>0(或x)<0)，则f(x)在(a,b…内严格增加(或严格递减)函数单调性在不等式中的应用函数单调性本身就是不等式，利用此法证明不等式时，一般取不等式两边的函数之差为新函数f(x),然后讨论f(x)的单调性。函数f(x)可微，则f(x)在

(a,b)严格递增(递减)充要条件：f€(x)>0(或f€(x),0),根据导数判断函数单调性的特点，直接构造一个函数，使得被证明的不等式中含有这个函数的两个端点值，然后利用单调性即可解决问题。分为三步：第一步移项，使不等式一端为“0”，另一端为所构造的函数f(x)；第二步求出f€(x)，利用定理判断出所构造的函数在指定区间上的单调性；第三步求出区间端点的函数值，从而证明出不等式。例3证明：当x>1时，ex>xe证明：取f(x)=ex-xe，则f€(x)=ex-e当x>l时，f€(x„>0，即f(x)在〔1，g〕上弹调增又f(x)在［1,g〕上连续，且f(1)=0故当x>1时，有f(x)>f(1)=0即ex—xe>0所以，有ex>xex证明当x>0时,证明：令f证明：令f(x)==ln(1+x)一lnx一ln因为f€=——1+ 1 ,0〔x>0〕1+xx(1+x)2所以f(x)单调递减，又因为limf(x)=lim[ln(1+-)-—]=ln1-0=0xT8 xT8 x1+x故当x>0时，f(x)>limf(x)=0xTg从而ln(1+丄)>—x1+x3.3利用函数的极值(最值)证明不等式3.3.1函数的极值定理设f(x)在的某领域‘(x,5)内一阶可导，在x=x处二阶可导，且00f€(x)=0，f€€(x)'0，00(1)假设f€€(x)<0,则f(x)在x取得极大值；00

(2)假设f，，(x)>0,则f(x)在x取得极小值。

00函数极值在不等式中的应用在不等式证明中，我们常常构造函数f(x),而f(x)构造好后，如果在所给函数上无法判断f，(x)>0(或f，(x)„0)的符号，即当函数不具有单调性时，在某邻域内，函数取得极大值或极小值，可以考虑用极值与最值得特点进行证明不等式或当给定的不等式是具体的函数，且又给出自变量的变化范围，欲证明它大于等于或小于等于某个定数，这时往往用最值证明比较简单。证明思路：假设要证明f(x)…M(或f(x)>m)xe(a,b)，则只需证明：maxf(x)…M(或minf(x)>m)，首先要求出函数f(x)的最大值M(或f(x)的最小值m)，则在区间上有m…f(x)…M，就可得到要证的不等式成立。例5证明：当0vxv2时，4xlnx-x2-2x+4>0证明：设f(x)=4xlnx一x2一2x+4(0„x„2)因为f，(x)=4lnx-2x+2，f，，(x)=4一^x当f(x)=0时x=1且f(1)>1，故x=1是唯一极小值点即f(1)=1是f(x)在(02)内的最小值，从而f(x)>f(1)=1>0故，当0„x„2日寸,4xlnx-x2-2x+4>0…xp+(1…xp+(1-x)p…1例6证明不等式：当p>1，0…x…1时，2^-1证明：设函数f(x)=x+(1—x)Pf，(x)=pxp-1-p(1-x)p-1则令f，(x)=0，得x=2,“2”令m=min|f(0),f(1),ff1“2”M=maxM=max!f(0)，f(l)，f[1J“2”-则m二丄,M二12p€i故当p,1,0<x<1时，1 <Xp+(1-x)p<1有2P€1利用函数的凹凸性质证明不等式3.4.1函数的凹凸性质定义：设f(x)为定义在区间I上的连续函数，假设对于I上任意两点X，X，恒有2恒有2[f„X]…+f„x2)<nf2[f„X1)+f(x2)]<f'X+X、~1 2I2丿'X+X、~1 2I2丿X+X'—1 2'2丿,则称f(x)为I上的凸函数。或f(x)在某区间上凹〔或下凹〕O f““(X),0(或/““(X)”0),也即x+x+...+xf(-1—匚一n)”[f(X)+f(X)+...+f(X)]2nX+X+...+X〔或f(T 2 沪)，［f(X)+f(X)+...+f(X)］〕n 2 n定理：设函数f(x)在•a,b］上连续，在内具有一二阶导数，则(1)假设x—(a,b)时，恒有f"(x)>0，则函数在区间(a,b)内为凹函数;⑵假设x—(a,b)时，恒有f"(x)<0，则函数在区间(a,b)内为凸函数函数的凹凸性质在不等式中的应用如果函数f(x如果函数f(x…是凸函数，则在(a,b…上有丄［f(X)+f(X)<<f果函数f(x)是凹函数，则在(a,b…上有丄「f(X)+f(X)<>f2L1 2」—；如'X+X—1 V'X+X'~12-V2丿性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凸凹函数之间的关系，利用函数的凸凹性证明不等式是：首先构造适当的函数，求出此函数的二阶导数的符号，从而到达证明的目的；或函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导，假设2丿。函数凸凹f"(x)>0(或f"(x)<0)，则函数f(x)在•a,b］上为凹(或凸)函数。例7证明不等式：xIny,yInx>(x,y)lnX十y(x>0,y>0,x„y)2证明：假设f(x)=xlnx,xe(0,4w)那么广(x)=lnx,1,f"(x)=—>0 xe(0,4w)x所以，函数f(x)在(0,4W)上是凹函数，通过凹函数的定义,可以得到：f(x)+f(x)—2.2即(x+y)lnx+y<xlny+ylnx2所以：xlny+ylnx>(x+y)lnx；y所以：例8假设例8假设a,b,c>0且a+b+c=1，证明：>1000-~9~证明：设证明：设f(x)=x+— (x>0),Ix丿(1)((1)(1)x+—x,—Ix丿x4丿则f"(x)=6>0，所以f(x)在(0,4w)是凹函数所以所以f(a)+f(b)+f(c)>3f(1)(1)3

a+—Ia丿( 1)3b+_( 1)3c+—I c丿=1000=~9~)3 =1000=~9~=33+—3丿利用泰勒公式证明不等式3.5.1泰勒公式一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式〔或麦克劳林公式〕.定理假设函数f(x)满足如下条件：在开区间(a,b)上函数f(x)存在直到n阶导数，

f("，1)(„)(x-a)n,1.(n+1)!(ii)在闭区间［a,f("，1)(„)(x-a)n,1.(n+1)!f(x)=f(a)+f'(a)(x一a)+f⑷(x一a)2+...,f"(a)(x-a)n,2! n!泰勒公式在不等式中的应用对于所给条件涉及到具有二阶或更高阶导数的题目，特别是已知最高阶导数的取值范围时，可用泰勒公式来估计有关的量比较简单。f()例9设lim =1，f(x)二阶可导，且f"(x)>0，证明f(x)>xxfgxf()证明：由f(x)连续和lim=1，知f(0)=0xfgx又因为f…(0)=limf(x)-f(0)=lim山=1xf0 x一0 xf0x由泰勒公式有f(x)=f(0)+f…(0)x+乂f……(„)<x2又因为f"(x)<0所以f(x)>x例10求证皿>丄，Vx0,x sinx '2“证明：原式等价于f(x)=sinxtanx-x2>0因为f(0)=f…(0)=f〃(0)=0而f〃(而f〃(x)=sinxsec2-1)+bsin3xssec4x>0所以f(x)>0即当x0,即当x0,-‘时,'2丿tanxxsinx利用定积分的性质证明不等式3.6.1定积分的性质性质1设f(x),g(x)在区间［a,b］上都是可积函数，如果在区间［a,b］上满足f(x)€g(x)，则有Jbf(x)dx€fbg(x)dx.aa性质2 如果f(x)在［a,b］上的最大值和最小值分别为M和m,则m(b一a)€fbf(x)dx€M(b一a)a3.6.2定积分在不等式中的应用根据定积分的广义保号性和保序性、定积分中的绝对值不等式和柯西不等式相关性质来证明。当所求证不等式中含有积分号时，可以用定积分性质来处理问题，适当的放大或缩小，到达目的。例11已知f(x)…fx|sint|dt，当n为正整数且n兀€x€(n+1)兀时，0求证：2n€f(x„€2(n+1„证明：因为|sint\>0且n兀€x€

sintdt€证明：因为|sint\>0且n兀€x€

sintdt€f(x)<f(n+1)rt

sint所以Jn0又因为(n+1)兀sintdt0是以兀为周期的函数，在每个周期是积分值相等,所以fnK|sint|dt…nfKsintdt…2nf(n+1)rt000sintdt…(n+1)fKsintdt…2(n+1„0即2n€f(x„€2(n+1„例12证明不等式J1 dx€J2_0\2x2-x+1€严~7~证明：设函数f(x)=2x2，x+1，在|°，2＜上…1，fminmax min所以1，1所以1，1所以22dx01dx0 2x2—x„13.7本章小结本文把微积分证明不等式进行了多种方法的介绍，在面对实际问题时，需要具体问题具体分析，可能有的不等式证明需要用到一种甚至多种的方法，这就需要掌握一定的技巧。技巧是寓于方法之中的，证明方法的选择也是一种技巧，任何技巧都贯穿于解题过程之中。不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了变量之间很重要的关系，证明不等式有很多方法，但是没有什么固定方法，有时需要共同运用多种方法。但如果能巧妙的应用微积分方法，就会变得非常简单。高等数学中证明不等式的方法很多，利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了。本文针对微积分证明不等式的几种方法，进行了初步的思考与探究，并对运用某种方法给出了一定的结论。其实，对于一个不等式来说，可以用多种方法予以证明，对于一个学习数学的人来说，能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法，而利用微积分往往能让问题变的简单起来.通过以上举例，归纳总结了微积分的假设干概念定理性质等内容在不等式证明这一方面的应用。在学习微积分的过程中，我们用它解决了一些初等数学问题，将初等数学与高等数学的有关内容衔接起来，从而在整体上更好地理解有关数学知识。在此提出的以微积分证明不等式的几种方法在实际应用中具有较高的价值。4结论综上所述,微积分在求解较复杂的方程和不等式时,确实起着重要的作用。在教学中应用微积分法解决初等数学的问题，不仅能使问题变得简单易解，还能加深学生对微积分知识的理解。以上我们通过举例，归纳总结了微积分的假设干概念、定理、性质等内容在不等式证明这一方面的应用。在学习微积分的过程中，我们可以利用它来解决一些初等数学