考研数学二矩阵

考研数学二矩阵1.【单项选择题】A，B都是n阶矩阵，下列命题中正确的是A.AB≠OA≠O且B≠O．B.如AB=O，则必有A=O或B=O．C.如AB=O，则|A|=0或|B|=0．D.如AB=B，则A=E．正确答案：C参考解析：

由行列式乘法公式|AB|=|A||B|

．当AB=O时，有|A||B|=0所以|A|和|B|至少有一个为0，即(C)正确．

2.【单项选择题】已知A是任意一个n阶矩阵，则①A+AT；②A-AT；③AAT；④AA*；⑤ATA．上述矩阵中，对称矩阵一共有A.2个．B.3个．C.4个．D.5个．正确答案：C参考解析：(A+AT)T=AT+(AT)T=A+AT(AAT)T=(AT)TAT=AAT(ATA)T=AT(AT)T=ATAAA*=|A|E，所以①②③⑤均是对称矩阵而(A-AT)T=AT-(AT)T=-(A-AT)是反对称矩阵3.【单项选择题】下列矩阵中，初等矩阵是A.B.C.D.正确答案：D参考解析：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵是初等矩阵，而(A)(B)(C)均需要单位矩阵作两次初等变换才能得到．4.【单项选择题】已知A是n阶可逆矩阵，若A～B，则下列命题中①AB～BA，②A2～B2，③A-1～B-1，④AT～BT，正确的命题共有A.4个．B.3个．C.2个．D.1个．正确答案：A参考解析：由于矩阵A可逆，有

5.【单项选择题】已知A，B，C均为n阶矩阵，则运算法则中错误的是A.(A+B)+C=(C+B)+A．B.(AB)C=A(BC)．C.(A+B)C=AC+BC．D.A(B+C)=BA+CA．正确答案：D参考解析：矩阵加法有交换律、结合律，(A)正确．矩阵乘法有结合律，(B)正确．矩阵加法乘法有分配律，(C)正确．矩阵乘法没有交换律，(D)错误．6.【单项选择题】A.OB.-EC.ED.E+αTα正确答案：C参考解析：7.【单项选择题】设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是(  )．A.若A，B可逆，则A+B可逆B.若A，B可逆，则AB可逆C.若A+B可逆，则A-B可逆D.若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B参考解析：若A，B可逆，则|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，B正确。8.【单项选择题】设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则(  )．A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=4正确答案：C参考解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C)．9.【单项选择题】A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1正确答案：D参考解析：10.【单项选择题】设α为n阶矩阵，且|A|=0，则A(  )．A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C参考解析：因为|A|=0，所以r(A)<n，从而A的行个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．11.【单项选择题】设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是(  )．A.矩阵A与单位矩阵E合同B.矩阵A的特征值都是实数C.存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D.存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵正确答案：A参考解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A)．12.【单项选择题】设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则(  )．A.当m>n时，必有|AB|≠0B.当m>n时，必有|AB|=0C.当n>m时，必有|AB|≠0D.当n>m时，必有|AB|=0正确答案：B参考解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n}，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是|AB|=0，选B。13.【单项选择题】设A，B都是n阶可逆矩阵，则(  )．A.(A+B)*=A*+B*B.(AB)*=B*A*C.(A-B)*-A*-B*D.(A+B)*一定可逆正确答案：B参考解析：因为(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=|B|B-1·|A|A-1=B*A*，所以B正确。14.【单项选择题】设A为n阶矩阵，A2=A，则下列结论成立的是(  )．A.A=OB.A=EC.若A不可逆，则A=OD.若A可逆，则A=E正确答案：D参考解析：因为A2=A，所以A(E-A)=0，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选D。15.【单项选择题】设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有(  )．A.|A|=|B|B.|A|≠|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|>0，则一定有|B|>0正确答案：C参考解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若|A|=0，即r(A)<n，则r(B)<n，即|B|=0，应选(C)．16.【单项选择题】设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，E是，n阶单位矩阵，若AB=E，则(  )．A.B的行向量组线性无关B.B的列向量组线性无关C.A-1=BD.|AB|=|A||B|正确答案：B参考解析：由AB=E得，r(AB)=n，从而r(A)≥n，r(B)≥n，又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，故B的列向量组线性无关，应选(B)．17.【单项选择题】设A为n×m矩阵且r(A)=n(n<m)，则下列结论中正确的是(  )．A.若AB=AC，则A=CB.若BA=CA，则B=CC.A的任意n个列向量线性无关D.A的任意n个行向量线性相关正确答案：B参考解析：由BA=CA得(B-C)A=O，则r(A)+r(B-C)≤n，由r(A)=n得r(B-C)=0，故B=C，应选(B)．18.【单项选择题】设A是n(n≥3)阶可逆方阵，下列结论正确的是（）．A.①②B.②③C.③④D.①②③④正确答案：D参考解析：19.【单项选择题】A.B.-C.D.-正确答案：C参考解析：

20.【单项选择题】A.当k=1时，r(B)=1B.当k=-3时，r(B)=1C.当k=1时，r(B)=2D.当k=-3时，r(B)=2正确答案：B参考解析：由AB=0知，r(A)+r(B)≤3．若k=1，则r(A)=1，故r(B)≤2，所以，r(B)=1或，r(B)=2，A，C不正确．若k=-3，则，r(A)=2，故r(B)≤3-r(A)=1，又B是非零矩阵，故r(B)≥1，从而r(B)=1．21.【单项选择题】为（）．A.n=m=4B.n=5，m=4C.n=4，m=5D.n=m=5正确答案：A参考解析：P是初等矩阵，P左乘A，相当于把A的第1，3行交换，故交换偶数次，相当于不变，右乘A相当于把A的第1，3列交换，同理交换偶数次，相当于不变，故A正确．22.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4【解析】23.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

24.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

25.【填空题】已知A3=O，则(E+A+A2)-1=．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：E-A【解析】

(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E26.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则26.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则27.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：由A*=|A|A-1得28.【填空题】设α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：29.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：30.【填空题】A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要条件是AB=BA．31.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：32.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：33.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：34.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：35.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：因为|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．36.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：37.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：38.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：39.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：40.【填空题】设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵B，则B-1A=_____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】41.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：2【解析】于是r(AB)=r(A)=2．42.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】43.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】44.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】45.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：2【解析】故r(A)=2．46.【填空题】若An=0，n为正整数，则(E-A)-1=_____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：E+A+A2+…+An-1【解析】47.【填空题】设方阵A满足A2-3A-2E=0，则A-1=_____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】利用可逆矩阵的定义．

48.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】49.【填空题】设A是n阶可逆矩阵，A的每行元素之和均为k，则A-1的每行元素之和均为_____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】50.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：解找出An的规律．

51.【解答题】设n阶矩阵A和B满足条件AB=A+B.(1)证明A-E可逆.(2)求秩r(AB-BA+2E).(3)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)由AB=A+B有AB-B-A+E=E，即(A-E)B-(A-E)=E，从而(A-E)(B-E)=E．故矩阵A-E可逆．(2)因A-E可逆且(A-E)-1=B-E，有(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)，即有AB=BA，于是r(AB-BA+2E)=r(2E)=n．(3)由(1)知(B-E)-1=A-E，52.【解答题】已知A是n阶矩阵，证明A2=A的充分必要条件是r(A)+r(A-E)=n.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：53.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

54.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：A是对称矩阵，将A拆成两个矩阵，

55.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

56.【解答题】已知方阵A，B，(A+B)均可逆，求(A-1+B-1)-1.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：求抽象矩阵的逆，常用可逆的定义与(AB)-1=B-1A-1.57.【解答题】设A，B都是n阶方阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B，证明：AB=BA．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：由已知，58.【解答题】设A为2n+1阶正交矩阵，且|A|=1，证明：A-E不可逆．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：故|A-E|=0，所以A-E不可逆．59.【解答题】设n阶方阵A，B，满足A2=E，B2=E，且|A|+|B|=0，证明：A+B不可逆．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：由已知，只要证明|A+B|=0．由A2=E，B2=E，知|A2|=|A|2=|E|=1，及60.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：由AB+E=A2+B，可得AB-B=A2-E，则(A-E)B=A2-E．61.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：62.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

63.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：64.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

65.【解答题】正交矩阵．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：66.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：67.【解答题】设A为n阶可逆矩阵，A2=|A|E．证明：A=A*．请查看答案解析